n阶行列式的定义及性质.ppt

1 3n阶行列式的定义及性质 二 n阶行列式的性质 一 n阶行列式的定义 一 n阶行列式的定义 为了给出n阶行列式的定义 我们要先研究三阶行列式的结构 2 各项所带的正负号可以表示为 1 t 其中t为列指标排列p1p2p3所决定 称为p1p2p3的逆序数 三阶行列式可以写成 其中t为排列p1p2p3的逆序数 表示对1 2 3三个数的所有排列p1p2p3取和 三阶行列式的结构一 特别规定一阶行列式 a 的值就是a 由n2个数aij i j 1 2 n 构成的代数和 称为n阶行列式 记为 简记为det aij 其中p1p2 pn为自然数1 2 n的一个排列 t为这个排列的逆序数 表示对所有排列p1p2 pn取和 在n阶行列式D中 数aij为行列式D的 i j 元 n阶行列式的传统定义 为了给出n阶行列式的第二种定义方式 我们再进一步研究三阶行列式的结构 三阶行列式的结构二 其中Aij 1 i jMij Mij是D去掉第i行第j列全部元素后 按原顺序排成的n 1阶行列式 称Mij为元素aij的余子式 称Aij为元素aij的代数余子式 n阶行列式的递归法定义 由n2个数aij i j 1 2 n 组成的n阶行列式 是一个算式 当n 1时 定义D a11 a11 当n 2时 定义D a11A11 a12A12 a1nA1n 余子式与代数余子式的一个例子 A23 1 2 3M23 M23 例如 已知 则a23的余子式和代数余子式分别为 方阵与行列式 设 为n阶方阵 则A的行列式可记为 A 或detA 即 3 只有方阵才有行列式 矩阵与行列式的区别 1 行列式是一个算式 一个数字行列式经过计算可求得其值 2 矩阵仅仅是一个数表 它的行数和列数可以不同 例1证明n阶下三角行列式 证 对n作数学归纳法 当n 2时 结论成立 假设结论对n 1阶下三角行列式成立 则由定义得 例2计算n阶行列式 副对角线以上元素全是0 解 利用行列式定义 可得 递推可得 n阶行列式的性质 性质1设A为方阵 则 AT A 即转置不改变方阵的行列式 由此性质可知 行列式中的行与列具有同等的地位 行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立 反之亦然 性质2 行列式按行展开法则 行列式等于它的任一行各元素与其对应的代数余子式乘积的和 即D ai1Ai1 ai2Ai2 ainAin i 1 2 n 推论 行列式按列展开法则 行列式等于它的任一列各元素与其对应的代数余子式乘积的和 即D a1jA1j a2jA2j anjAnj j 1 2 n 例设 则 1 A的第3列元素3 2 4 8正好是AT的第3行元素 2 A的第3列元素的余子式 正好是 AT 的第3行元素的余子式的转置 故 A AT AT的第3行元素与其对应的代数余子式乘积的和 A的第3列元素与其对应的代数余子式乘积的和 又对应元素的代数余子式的符号关系一致 性质3 线性性质 1 行列式的某一行 列 中所有的元素都乘以同一数k 等于用数k乘此行列式 2 推论 1 行列式中某一行 列 的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面 2 某一行 列 的所有元素全为0的行列式其值为0 性质4行列式中如果有两行 列 完全相等 则行列式等于零 推论行列式中如果有两行 列 元素成比例 则行列式等于零 性质5把行列式的某一行 列 的各元素乘以同一数然后加到另一行 列 对应的元素上去 行列式不变 即 性质6 反对称性质 行列式的两行 列 对换 行列式的值反号 证 即 初等变换与行列式 性质3 1 设以下A B都是方阵 则 B k A 则 B k A 性质5 则 B A 性质6 则 B A 综上 我们有 命题 则 A 与 B 要么同时为0 要么同时不为0 2 设n阶方阵A满足 A 0 且A经过有限次初等行变换变成行简化阶梯矩阵R 则R En 则 B A 则 B A 注在计算行列式中 经常需要用初等变换来 打洞 可以看出 打洞 中起主要作用的是性质5 性质7行列式某一行 列 的元素与另一行 列 的对应元素的代数余子式乘积之和等于零 即ai1Aj1 ai2Aj2 ainAjn 0 i j 或a1iA1j a2iA2j aniAnj 0 i j 综合结论 则A12 A22 4A32 2A42 D 57 A21 2A22 4A23 2A24 0 例对于n阶上三角行列式 有 提示 利用性质1及下三角行列式的结果 上三角形 下三角形及对角形行列式的值等于主对角线上n个元素的乘积 2 例设5阶方阵 求 A 解 从而 A 0 注此题中A是所谓的反对称矩阵 奇数阶反对称矩阵的行列式的值必为0 第14页例4