高考数学 考前三个月复习冲刺 专题5 第22练 基本量-破解等差、等比数列的法宝课件 理.ppt

专题5数列 第22练基本量 破解等差 等比数列的法宝 题型分析 高考展望 等差数列 等比数列是高考的必考点 经常以一个选择题或一个填空题 再加一个解答题的形式考查 题目难度可大可小 有时为中档题 有时解答题难度较大 解决这类问题的关键是熟练掌握基本量 即通项公式 前n项和公式及等差 等比数列的常用性质 常考题型精析 高考题型精练 题型一等差 等比数列的基本运算 题型二等差数列 等比数列的性质及应用 题型三等差 等比数列的综合应用 常考题型精析 题型一等差 等比数列的基本运算 例1已知等差数列 an 的前5项和为105 且a10 2a5 1 求数列 an 的通项公式 解设数列 an 的公差为d 前n项和为Tn 由T5 105 a10 2a5 解得a1 7 d 7 因此an a1 n 1 d 7 7 n 1 7n n N 2 对任意m N 将数列 an 中不大于72m的项的个数记为bm 求数列 bm 的前m项和Sm 解对m N 若an 7n 72m 则n 72m 1 因此bm 72m 1 所以数列 bm 是首项为7 公比为49的等比数列 点评等差 比 数列基本运算的关注点 1 基本量 在等差 比 数列中 首项a1和公差d 公比q 是两个基本的元素 2 解题思路 设基本量a1和公差d 公比q 列 解方程 组 把条件转化为关于a1和d q 的方程 组 然后求解 注意整体计算 以减少计算量 变式训练1 1 2014 安徽 数列 an 是等差数列 若a1 1 a3 3 a5 5构成公比为q的等比数列 则q 解析设等差数列的公差为d 则a3 a1 2d a5 a1 4d a1 2d 3 2 a1 1 a1 4d 5 解得d 1 1 2 2015 课标全国 已知等比数列 an 满足a1 3 a1 a3 a5 21 则a3 a5 a7等于 A 21B 42C 63D 84解析设等比数列 an 的公比为q 则由a1 3 a1 a3 a5 21得3 1 q2 q4 21 解得q2 3 舍去 或q2 2 于是a3 a5 a7 q2 a1 a3 a5 2 21 42 故选B B 题型二等差数列 等比数列的性质及应用 例2 1 2015 广东 在等差数列 an 中 若a3 a4 a5 a6 a7 25 则a2 a8 解析因为 an 是等差数列 所以a3 a7 a4 a6 a2 a8 2a5 a3 a4 a5 a6 a7 5a5 25 即a5 5 a2 a8 2a5 10 10 2 设各项都是正数的等比数列 an Sn为前n项和 且S10 10 S30 70 那么S40等于 A 150B 200C 150或 200D 400或 50解析依题意 数列S10 S20 S10 S30 S20 S40 S30成等比数列 因此有 S20 S10 2 S10 S30 S20 即 S20 10 2 10 70 S20 故S20 20或S20 30 又S20 0 因此S20 30 S20 S10 20 S30 S20 40 答案A 点评等差 比 数列的性质盘点 变式训练2 1 已知正数组成的等差数列 an 前20项和为100 则a7 a14的最大值是 a1 a20 10 a1 a20 a7 a14 a7 a14 10 当且仅当a7 a14时取等号 故a7 a14的最大值为25 答案25 2 在等差数列 an 中 a1 2016 其前n项和为Sn 若 2 则S2016的值为 所以S2016 2016 2016 题型三等差 等比数列的综合应用 例3 2015 陕西 设fn x 是等比数列1 x x2 xn的各项和 其中x 0 n N n 2 1 证明 函数Fn x fn x 2在内有且仅有一个零点 记为xn 且证明Fn x fn x 2 1 x x2 xn 2 则Fn 1 n 1 0 又F n x 1 2x nxn 1 0 x 0 因为xn是Fn x 的零点 所以Fn xn 0 2 设有一个与上述等比数列的首项 末项 项数分别相同的等差数列 其各项和为gn x 比较fn x 与gn x 的大小 并加以证明 设h x fn x gn x 当x 1时 fn x gn x 所以h x 在 0 1 上递增 在 1 上递减 所以h x h 1 0 即fn x gn x 综上所述 当x 1时 fn x gn x 当x 1时 fn x gn x 方法二由已知 记等差数列为 ak 等比数列为 bk k 1 2 n 1 则a1 b1 1 an 1 bn 1 xn bk xk 1 2 k n 当x 1时 ak bk 所以fn x gn x k 1 xk 2 xx k 1 1 而2 k n 所以k 1 0 n k 1 1 若0 x 1 xx k 1 1 m k x 0 若x 1 xx k 1 1 m k x 0 从而mk x 在 0 1 上递减 在 1 上递增 所以mk x mk 1 0 所以当x 0且x 1时 ak bk 2 k n 又a1 b1 an 1 bn 1 故fn x gn x 综上所述 当x 1时 fn x gn x 当x 1时 fn x gn x 点评 1 对数列 an 首先弄清是等差还是等比 然后利用相应的公式列方程组求相关基本量 从而确定an Sn 2 熟练掌握并能灵活应用等差 等比数列的性质 也是解决此类题目的主要方法 变式训练3 2015 北京 已知等差数列 an 满足a1 a2 10 a4 a3 2 1 求 an 的通项公式 解设等差数列 an 的公差为d 因为a4 a3 2 所以d 2 又因为a1 a2 10 所以2a1 d 10 故a1 4 所以an 4 2 n 1 2n 2 n 1 2 2 设等比数列 bn 满足b2 a3 b3 a7 问 b6与数列 an 的第几项相等 解设等比数列 bn 的公比为q 因为b2 a3 8 b3 a7 16 所以q 2 b1 4 所以b6 4 26 1 128 由128 2n 2 得n 63 所以b6与数列 an 的第63项相等 高考题型精练 1 2014 重庆 对任意等比数列 an 下列说法一定正确的是 A a1 a3 a9成等比数列B a2 a3 a6成等比数列C a2 a4 a8成等比数列D a3 a6 a9成等比数列 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析设等比数列的公比为q 答案D 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 2014 天津 设 an 是首项为a1 公差为 1的等差数列 Sn为其前n项和 若S1 S2 S4成等比数列 则a1等于 D 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 已知 an 为等差数列 其公差为 2 且a7是a3与a9的等比中项 Sn为 an 的前n项和 n N 则S10的值为 A 110B 90C 90D 110解析 a3 a1 2d a1 4 a7 a1 6d a1 12 a9 a1 8d a1 16 又 a7是a3与a9的等比中项 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 a1 12 2 a1 4 a1 16 解得a1 20 答案D 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4 2014 大纲全国 等比数列 an 中 a4 2 a5 5 则数列 lgan 的前8项和等于 A 6B 5C 4D 3解析数列 lgan 的前8项和S8 lga1 lga2 lga8 lg a1 a2 a8 lg a1 a8 4 lg a4 a5 4 lg 2 5 4 4 C 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析设等差数列 an 的公差为d 若a1 a2 0 a2 a3 a1 d a2 d a1 a2 2d 由于d正负不确定 因而a2 a3符号不确定 故选项A错 若a1 a3 0 a1 a2 a1 a3 d a1 a3 d 由于d正负不确定 因而a1 a2符号不确定 故选项B错 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 若a1 0 则 a2 a1 a2 a3 d d d2 0 故选项D错 答案C 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 2B 3C 4D 5 解析由等差数列的前n项和及等差中项 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 即正整数n的个数是5 答案D 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7 设 an 是公比为q的等比数列 q 1 令bn an 1 n 1 2 若数列 bn 有连续四项在集合 53 23 19 37 82 中 则6q 解析由题意知 数列 bn 有连续四项在集合 53 23 19 37 82 中 说明 an 有连续四项在集合 54 24 18 36 81 中 由于 an 中连续四项至少有一项为负 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 q1 an 的连续四项为 24 36 54 81 6q 9 答案 9 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8 2014 北京 若等差数列 an 满足a7 a8 a9 0 a7 a100 a8 0 a7 a10 a8 a9 0 a9 a8 0 数列的前8项和最大 即n 8 8 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9 2015 浙江 已知 an 是等差数列 公差d不为零 若a2 a3 a7成等比数列 且2a1 a2 1 则a1 d 解析因为a2 a3 a7成等比数列 所以a a2a7 即 a1 2d 2 a1 d a1 6d 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2a1 a2 1 2a1 a1 d 1即3a1 d 1 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10 公差不为0的等差数列 an 的部分项ak1 ak2 ak3 构成等比数列 且k1 1 k2 2 k3 6 则k4 解析根据题意可知等差数列的a1 a2 a6项成等比数列 设等差数列的公差为d 则有 a1 d 2 a1 a1 5d 解得d 3a1 故a2 4a1 a6 16a1 a1 n 1 3a1 64a1 解得n 22 即k4 22 22 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由an 1 an 1 an 1得an 1 an 1 19 an 2 1 a1 a1 0 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 所以Sn a1 an 1 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 证明因为4Sn 2 5Sn 8Sn 1 Sn 1 n 2 所以4Sn 2 4Sn 1 Sn Sn 1 4Sn 1 4Sn n 2 即4an 2 an 4an 1 n 2 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 所以4an 2 an 4an 1 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 求数列 an 的通项公式 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12