实变函数论第三版课件.ppt

实变函数论与泛函分析 曹广福 第1讲集合及其运算 目的 了解集合的表示法 掌握集合的基本运算 熟悉一些常用集合的符号 准确理解集合序列的上 下限集 重点与难点 集合序列的上 下限集 基本内容 一 背景1 Cantor的朴素集合论2 悖论3 基于公理化的集合论 第1讲集合及其运算 二 集合的定义 具有某种特定性质的对象的全体1 集合的几种表示法我们在诸如 数学分析 等前期课程中已接触过集合这个概念 所谓集合 指的是具有某种特定性质的对象的全体 通常用大写英文字母A B X Y 等表示 集合中的每个对象称为该集合的元素 一般说来 我们总用小写字母a b x y 表示集合中的元素 集合及其运算 对于集合A 某一对象x如果是A的元素 则称x属于A 记作 如果x不是A的元素 则称x不属于A 记正如定义所说 集合是由具有某种特定性质的对象全体组成的 因此 在表示一个集合时 常把这一性质写出来 例如 A是由具有性质P的元素全体组成时 通常记为 其中P可以是一段文字 也可以是某个数学式子 集合及其运算 2 几个特殊的集合及其表示 除了上述方法之外 有时也用特殊记号表示某些特殊的集合 比如 在大多数场合下 R始终表示实数全体 或直线 C始终表示复数全体 或复平面 N Z Q分别表示自然数 整数 有理数全体 以后如无特别声明 我们也都不加解释地使用这些符号 此外 直线上的区间也采用诸如 a b a b 等记号 如果一个集合仅由有限个元素组成 则最方便的办法是将其一一列出 例如 1到10的自然数全体可记作 1 2 3 10 不含任何元素的集合称为空集 记作 集合及其运算 三 集合的运算1 集合的子集假设A B是两个集合 如果A中的元素都是B中的元素 则称A是B的子集 记作前者读作 A包含于B中 后者读着 B包含A 显然 空集是任何集合的子集 任何集合是其自身的子集 假如要证明A是B的子集 最常用的办法是 任取 如果A是B的子集 且存在 则称A是B的真子集 记作 如果A是B的子集 B又是A的子集 则称A与B相等 记作A B 集合及其运算 2 交运算所有既属于A 又属于B的元素组成的集合称为A与B的交集 或通集 记作 若 则称A与B互不相交 显然B当且仅当且 对于一簇集合 可类似定义其交集 即 集合及其运算 3 并运算假设A B是两个集合 所谓A与B的并集 或和集 指的是由A与B中所有元素构成的集合 记作 换句话说 对于一簇集合 可类似定义其并集 即 例 注 在本书中我们未把0包含在N内 不在 中 例 例 集合及其运算 4 差 余 运算由所有属于A但不属于B的元素组成的集合 称为A减B的差集 记作A B A B 也就是说 但 集合及其运算 应该注意的是 此处并未要求B是A的子集 假如B是A的子集 则称A B为B关于A的余集 记作CAB 需要指出的是 我们讲某个集合的余集时 要弄清相对于哪个集合的余集 特别是涉及到多个集合时 尤其应注意 有时 我们总是限定在某个固定集合A内讨论一些子集 在这种情况下 可以省略A 而将CAB记作CB 或BC 集合称为A与B的对称差 记作 第1讲集合及其运算 四 集合的运算问题1 回忆数的四则运算 由此猜测集合的运算应该具有什么性质 集合及其运算 定理1 1 2 3 4 5 6 集合及其运算 7 8 9 10 11 12 集合及其运算 上述基本性质都是常用的 其中 9 10 两式通常称为德摩根 DeMorgan 法则 它们的证明也是容易的 现在以 10 式为例进行证明 集合及其运算 集合及其运算 五 集合序列的上 下 极 限集 上极限集 例 设A2n 0 1 A2n 1 1 2 则上极限集为 0 2 下极限集 例 设A2n 0 1 A2n 1 1 2 则上极限集为 0 2 下极限集为 1 上极限集 如果集列的上极限集与下极限集相等 即 极限集 则称集列收敛 称其共同的极限为集列的极限集 记为 单调增集列极限 定理9 单调集列是收敛的 单调增集列极限分析 当An为单调增加集列时 单调减集列极限分析 当An为单调减小集列时 例 例 例 例 第1讲集合及其运算 一 域与 域有理数全体 或实数全体 相对于四则运算是封闭的 人们通常称它们为有理数域 或实数域 整数集则不然 前面已经定义了集合的 并 交 差 运算 那么什么样的集簇相对于集合的运算是封闭的呢 第1讲集合及其运算 这就是下面要引进的定义 定义2假设S是一个给定的集合 F是以S的一些子集为元素的一个集合 称为S的子集簇 如果它满足 1 2 当时 3 当 则说F是S的一些子集构成的一个域 或代数 如果还有是F中一列元素时 有则称F为S的一些子集构成的一个域 或代数 第1讲集合及其运算 不难发现 如果 1 2 3 成立 则必有 且对任意 如果 3 成立 则对任意有 域的最简单例子是S的一切子集构成的簇 这是S的子集簇中最大者 另一个例子是由空集和S本身构成的簇 这是S的子集所构成的域中最小者 第1讲集合及其运算 问题5 对于一个给定集合的子集簇F 它关于集合的运算可能不是封闭的 1 如何构造一个 域包含F 2 这样的 域有多少 3 存不存在满足上述条件的最小的 域 4 如何构造 第1讲集合及其运算 我们所要的域G F 必须满足这样两个条件 i ii 任何包含F的域都包含G F 换句话说 G F 是包含F的域中最小者 满足 i 的域不难找 S的一切子集构成的域便是一个 问题在于如何找最小的一个 为此 不妨把包含F的所有域相交 记这个集合为 则显然有 而且任何包含F的域当然也包含了 如果我们证明了是一个域 则它就是包含F的最小域 第1讲集合及其运算 下面的定理说明 不仅是含F的最小域 而且是满足 i ii 的唯一域定理3假设F是S的子集簇 则是满足 i ii 的唯一的域 第2讲势的定义 目的 掌握势的定义 熟悉势的性质 了解势的比较 重点与难点 势的定义及比较 第2讲势的定义 7苹果 1 2 3 4 5 6 7 7桔子 一 势的定义问题1 回忆有限集是如何计数的 问题2 有限集的计数方法如何移植到无限集情形 第2讲势的定义 第2讲势的定义 定义1假设是两个集合 如果在A与B之间存在一种一一对应关系 即对A中任一元素 通过与B中唯一元素对应 反之 对B中任一元素 A中也有唯一元素通过与之对应 则称集合A与集合B是对等的或它们有相同的势或基数 记作 或 满足上述条件的称为A和B之间的一个1 1对应 第2讲势的定义 显然 任何集合A与它自身是对等的 即 若 则也有 若 则 例1作对应关系则是与之间的一一对应 从例1看出 虽然是的真子集 甚至直觉上比的元素少很多 但他们却是对等的 这在有限集情形是做不到的 后面将会看到 一个集合可以与其真子集对等是无穷集的一个特征 第2讲势的定义 第2讲势的定义 例2N与R1不对等 即 若不然 存在与的一个一一对应 将与N中n对应的元素记为 则上至少有一个单位长度的区间不含 不妨设此间分为三等分 则中至少不含 以表示这个区间 将三等分 其左 右两个区间中至少有一个区间不含 记为 依此类推 可得一串闭区间 满足 1 且的长度趋于0 2 第2讲势的定义 第2讲势的定义 由闭区间套定理知 但对任意 换言之 不在R1中 这是不可能的 这一矛盾说明 N与R1不可能对等 例2说明 两个无限集的确可能有不同的势 既然势可以不同 如何对其进行比较呢 下面的定义给出了比较的方法 势的比较问题3 如何判断两个有限集含相同数量的元素 问题4 从有限集所含元素个数的比较 启发我们如何比较无限集的势 第2讲势的定义 第2讲势的定义 定义2假设A B是两个集合 若A与B的某个真子集B 对等 但不与B对等 则说A的势小于B的势 记作 或说B的势大于A的势 记作 第2讲势的定义 问题5 从通常自然数大小的比较 对无限集的势我们自然会猜测什么 第2讲势的定义 从直觉上判断 上述定义是自然和合理的 但有没有可能发生这样的情况呢 即A与B不对等 但A可以与B的真子集对等 B也可以与A的真子集对等 如果是这样的话 将会出现既有 又有 这显然是不合理的 伯恩斯坦 Bernstein 定理指出这种情况不会发生 第2讲势的定义 定理1 Bernstein 假设A B是两个集合 如果A与B的某个子集对等 B又与A的某个子集对等 则 证明 略 第2讲势的定义 由Bernstein定理不难证明 若 且 则 从合理性方面讲 任何两个集合A和B的势都应该是可以比较大小的 即下面三种情况必有且仅有一种情况出现 i ii iii 第2讲势的定义 遗憾的是 至今尚无法证明或否认这是真的 Zermelo给集合论加上了一条公理 即Zermelo选择公理 依据这条公理便可证明 i ii iii 有且仅且一种情形发生 第2讲势的定义 选择公理 Zermelo 设是一簇两两不相交的非空集 则存在集合L满足下列条件 1 2 L与F中每一个集合有且只有一个公共元素 三 Zorn引理 第2讲势的定义 直观地看 可以从F的每个集合中各自仅取出一个元素来构造一个新的集合L 这条公理与后面要介绍曹恩 Zorn 引理是等价的 换句话说 可以由选择公理出发证明Zorn引理 也可以由Zorn引理出发证明选择公理 首先让我们对一般的集合引进所谓的序关系 第2讲势的定义 定义3设S是一非空集合 如果在S的部分元素之间引进了某种序关系 满足 i ii 若 iii 若 则称是一个偏序集 如果对任意必有一个成立 则称为一个全序集 定义4设是一个偏序集 若对一切 都有 则称是的一个上界 如果 使得中不存在 使 则称是的一个极大元 第2讲势的定义 第2讲势的定义 Zorn引理如果偏序集中的任何全序子集在S中都有上界 则S中一定存在极大元 目的 熟悉常见的两类集合的势 掌握其基本性质 重点与难点 可数集合的性质 连续势的性质 第3讲势的定义 可数集合与连续势 第3讲势的定义 可数集合与连续势 一 可数集合定义凡是与自然数对等的集称为可数集或可列集 凡与R1对等的集称为具有连续势 可数集性质 定理2任何无穷集都包含一个可数子集 证明 假设是一个无穷集 任取 因无穷 故亦无穷 因此又可以从中任取一个元素 显然 假如已从中取出个元素 则由是无穷集知仍是无穷集 从而可从中取出一个元素 由归纳法知可从中取出互不相同得元素 第3讲势的定义 可数集合与连续势 排成一无穷序列 显然是的可数子列 证毕 第3讲势的定义 可数集合与连续势 定理3可数集合的无穷子集仍是可数的 证明 假设是可数集 是的无穷子集 由定理2 含可数子集 于是 但 故 从而也是可数的 证毕 第3讲势的定义 可数集合与连续势 定理4设是可数集 是有限集或可数集 则可数 证明 由于有限或可数 故有限或可数 所以可以写成 或 又因可数 从而可以写成 将按如下方法排列 当时 将排成 第3讲势的定义 可数集合与连续势 当将排成无论哪种情形 显然都是可数的 证毕 第3讲势的定义 可数集合与连续势 定理5有限个或可数个有限集或可数集的并仍是有限集或可数集 证明 不妨假设是一列有限或可数集 有限个集合情形证明相仿 将中元素排列成 如果是有限集 则排列成 于是表示中的 第3讲势的定义 可数集合与连续势 第个元素 记 则对任意自然数 满足的数组必为有限个 首先按从小到大的顺序进行编号 即将编为对每个 将重新写成 第3讲势的定义 可数集合与连续势 即按第一个下标从小到大的顺序排列 应该注意的是中可能含一些重复的元素 暂且将重复元素留着 最后将排成在上述序列中 去掉重复元素 则剩下的是有限集或可数集 证毕 第3讲势的定义 可数集合与连续势 第3讲势的定义 可数集合与连续势 如果说表示正整数 表示一个有限集与可数集之并的势 表示个可数集之并的势 表示可数个可数集之并的势 则定理5蕴含了下列各式 1 2 3 4 定理6 证明 记 显然是可数集 故可数 同理每个也可数 从而可数 于是 第3讲势的定义 可数集合与连续势 是可数的 即 证毕 定理6告诉我们 尽管有理数全体在数轴上处处稠密 然而 它和自然数集却是对等的 这与我们的直觉是多么不同 第3讲势的定义 可数集合与连续势 第3讲势的定义 可数集合与连续势 问题1 可数集合的性质与有限集合的性质有何异同 其本质差别是什么 前面已经看到 可数集是无穷集中势最小者 下面的命题指出 任一无穷集并上一个可数集不影响它的势 第3讲势的定义 可数集合与连续势 命题1假设A是无穷集 B是可数集或有限集 则 证明 由可数或有限知也可数或有限 且 故不妨假设与不相交 由定理2知含可数子集 不妨记为 则仍可数 于是与 第3讲势的定义 可数集合与连续势 对等 又与自身对等 不妨设是与的1 1对应 是到自身的恒等映射 则令 易知是 第3讲势的定义 可数集合与连续势 的1 1对应 从而 证毕 二 无限集的特征问题2 有限集与无限集的本质差别是否也体现在一般的无限集 这种差别是否正是无限集的特征 第3讲势的定义 可数集合与连续势 命题2是无穷集当且仅当它可以与其真子集对等 证明 先证必要性 若可数 则结论显然 故不妨设不是可数集 由定理2 含可数子集 由于非可数 所以仍是无穷集 由命题1立知 第3讲势的定义 可数集合与连续势 即与其真子集对等 为证充分性 我们要证 若与其真子集对等 必是无穷集 假若不然 是有限集 不妨设为 与其真子集对等 记与对等的真子集为 是与之间的1 1对应 则 注意 第3讲势的定义 可数集合与连续势 且因是一一的 故对不同的 故是中个不同的元素 于是 然而 这说明 这个矛盾意味着必是无穷集 证毕 第3讲势的定义 可数集合与连续势 在例2中 我们已经看到与是不对等的 因此是一个不可数集合 我们也知道是最小的无穷集 所以 有一个很有意思的问题 存不存在这样的集合 其势位于与之间 即 Cantor首先考虑了这个问题 但他未能解决 他猜测 没有这个中 第3讲势的定义 可数集合与连续势 间势 这就是著名的连续统假设 严格说来 至今没有人能证明是否存在这种势 但大家普遍承认Cantor的猜测 并将此作为集合论的一条公理 人们已经证明 这条公理与集合论的其它公理是相互独立的 换言之 无论是承认还是否认这条公理 都不会与其它公理发生冲突 第3讲势的定义 可数集合与连续势 三 具有连续势的集合例3只要a b则 令则是 a b 到的一个1 1对应 故 显然当的势均为C 同样的势也为C 第3讲势的定义 可数集合与连续势 第3讲势的定义 可数集合与连续势 定理7如果都是势小于或等于的集合 且其中至少有一个的势是 则的势是 证明 略 定理7实际是说 可数个势不超过的集合之并 其势也不超过 用公式表示就是 第3讲势的定义 可数集合与连续势 以上看到的都是直线上的点集 平面内点集的势又有多大呢 第3讲势的定义 可数集合与连续势 第3讲势的定义 可数集合与连续势 定理8 此处指可数个的笛卡尔积 第4讲连续势的集合 P进位表数法 目的 掌握连续势及其基本性质 了解连续统假设 熟悉P进位表数法 重点与难点 连续势的性质 一 连续势的例问题1 有限集或可数集的一切子集构成的集具有大于该集的势 由此我们可以作出何种猜测 第4讲连续势的集合 P进位表数法 问题2 给定一个集合 如何构造一个集合 使其具有比给定集合更大的势 第4讲连续势的集合 P进位表数法 定理9 i 假设M是由两个元素作成的元素序列全体 则 ii 若是可数集 则的子集全体所构成的集合F有连续势 第4讲连续势的集合 P进位表数法 证明 略 第4讲连续势的集合 P进位表数法 定理10设是一集合 的一切子集所构成的集合记作 则 第4讲连续势的集合 P进位表数法 二 不存在最大势 定理10说明不存在最大势 第4讲连续势的集合 P进位表数法 三 P进位表数法略