大学高等数学上册1.1数列的极限.ppt

1 第1章数列极限与数项级数 1 1数列的极限 2 割之弥细 所失弥少 割之又割 以至于不可割 则与圆周合体而无所失矣 引例1 割圆术 播放 刘徽 1 1 1数列极限的定义 3 正六边形的面积 正十二边形的面积 正形的面积 4 引例2 截丈问题 一尺之棰 日截其半 万世不竭 5 例如 6 注意 1 数列对应着数轴上一个点列 可看作一动点在数轴上依次取 2 数列是整标函数 7 播放 数列的极限的定义 8 问题 当无限增大时 是否无限接近于某一确定的数值 如果是 如何确定 问题 无限接近 意味着什么 如何用数学语言刻划它 通过上面演示实验的观察 9 10 如果数列没有极限 就说数列是发散的 注意 11 几何解释 其中 12 数列极限的定义未给出求极限的方法 注意 几何解释 13 例1 已知 证明数列 的极限为1 证 欲使 即 只要 因此 取 则当 时 就有 故 14 例2 已知 证明 证 欲使 只要 即 取 则当 时 就有 故 故也可取 也可由 N与 有关 但不唯一 不一定取最小的N 说明 取 例3 设 证明等比数列 证 欲使 只要 即 亦即 因此 取 则当n N时 就有 故 的极限为0 16 1 1 2收敛数列的性质 证 用反证法 及 且 取 因 故存在N1 从而 同理 因 故存在N2 使当n N2时 有 定理1 收敛数列的极限唯一 使当n N1时 假设 从而 矛盾 因此收敛数列的极限必唯一 则当n N时 故假设不真 满足的不等式 17 定理2收敛的数列必定有界 证 由定义 注意 有界性是数列收敛的必要条件 推论无界数列必定发散 虽有界但不收敛 数列 18 定理3 收敛数列的保序性 证 取 19 20 1 1 3收敛数列的四则运算 定理4 若 则有 21 1 1 4数列收敛的判别法 例5 例6见书 准则1 夹逼定理 证 由条件 2 当 时 当 时 令 则当 时 有 由条件 1 即 故 23 例7 证明 证 利用夹逼准则 且 由 准则2 单调有界数列必有极限 证明略 25 例8 设 证明数列 极限存在 证 利用二项式公式 有 26 大 大 正 又 比较可知 根据准则2可知数列 记此极限为e e为无理数 其值为 即 有极限 又 1 1 5子数列的收敛性 28 定理7 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 证 设数列 是数列 的任一子数列 若 则 当 时 有 现取正整数K 使 于是当 时 有 从而有 由此证明 29 由此性质可知 若数列有两个子数列收敛于不同的极 限 例如 发散 则原数列一定发散 说明 定理9 任意有界数列必有收敛的子数列 证明略 30 思考与练习 1 如何判断极限不存在 方法1 找一个趋于 的子数列 方法2 找两个收敛于不同极限的子数列 2 已知 求 时 下述作法是否正确 说明理由 设 由递推式两边取极限得 不对 此处 31 故极限存在 备用题 1 设 且 求 解 设 则由递推公式有 数列单调递减有下界 故 利用极限存在准则 2 设 证 显然 证明下述数列有极限 即 单调增 又 存在 拆项相消 法 33 刘徽 约225 295年 我国古代魏末晋初的杰出数学家 他撰写的 重 差 对 九章算术 中的方法和公式作了全面的评 注 指出并纠正了其中的错误 在数学方法和数学 理论上作出了杰出的贡献 他的 割圆术 求圆周率 割之弥细 所失弥小 割之又割 以至于不可割 则与圆合体而无所失矣 它包含了 用已知逼近未知 用近似逼近精确 的重要 极限思想 的方法 34 柯西 1789 1857 法国数学家 他对数学的贡献主要集中 在微积分学 柯 西全集 共有27卷 其中最重要的的是为巴黎综合学 校编写的 分析教程 无穷小分析概论 微积 分在几何上的应用 等 有思想有创建 响广泛而深远 对数学的影 他是经典分析的奠人之一 他为微积分 所奠定的基础推动了分析的发展 复变函数和微分方程方面 一生发表论文800余篇 著书7本 35 1 割圆术 割之弥细 所失弥少 割之又割 以至于不可割 则与圆周合体而无所失矣 刘徽 36 1 割圆术 割之弥细 所失弥少 割之又割 以至于不可割 则与圆周合体而无所失矣 刘徽 37 割之弥细 所失弥少 割之又割 以至于不可割 则与圆周合体而无所失矣 1 割圆术 刘徽 38 割之弥细 所失弥少 割之又割 以至于不可割 则与圆周合体而无所失矣 1 割圆术 刘徽 39 割之弥细 所失弥少 割之又割 以至于不可割 则与圆周合体而无所失矣 1 割圆术 刘徽 40 割之弥细 所失弥少 割之又割 以至于不可割 则与圆周合体而无所失矣 1 割圆术 刘徽 41 割之弥细 所失弥少 割之又割 以至于不可割 则与圆周合体而无所失矣 1 割圆术 刘徽 42 割之弥细 所失弥少 割之又割 以至于不可割 则与圆周合体而无所失矣 1 割圆术 刘徽 43 割之弥细 所失弥少 割之又割 以至于不可割 则与圆周合体而无所失矣 1 割圆术 刘徽 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56