北师大版数学八年级上册全册复习.ppt

北师大版八年级上册期末总复习典型题 CONTENT 目录 第一章勾股定理 知识归纳 正整数 考点攻略 考点一应用勾股定理计算 例1已知直角三角形的两边长分别为3 4 求第三边长的平方 解析 因习惯了 勾三股四弦五 的说法 即意味着两直角边为3和4时 斜边长为5 但这一理解的前提是3 4为直角边 而本题中并未加以任何说明 因而所求的第三边可能为斜边 也可能为直角边 考点二直角三角形的判别 考点三勾股定理的实际应用 例3如图1 2 在公路AB旁有一座山 现有一C处需要爆破 已知点C与公路上的停靠站A的距离为300m 与公路上另一停靠站B的距离为400m 且CA CB 为了安全起见 爆破点C周围半径250m范围内不得进入 在进行爆破时 公路AB段是否因有危险而需要暂时封锁 图1 2 转化思想是一种重要的数学思想 它的应用十分广泛 如通过作高可以将非直角三角形的问题转化为直角三角形的问题来解决 通过建模可以将实际问题转化为数学问题来解决等 方法技巧 例4李老师让同学们讨论这样一个问题 如图1 3所示 有一个长方体盒子 底面正方形的边长为2cm 高为3cm 在长方体盒子下底面的A点处有一只蚂蚁 它想吃到上底面的F点处的食物 则怎样爬行路程最短 最短路程是多少 过了一会 李老师问同学们答案 甲生说 先由A点到B点 再走对角线BF 乙生说 我认为应由A先走对角线AC 再走C到F点 丙生说 将长方形ABCD与长方形BEFC展开成长方形AEFD 利用勾股定理求AF的长 丁生说 将长方形ABCD与正方形CFGD展开成长方形ABFG 利用勾股定理求AF的长 你认为哪位同学的说法正确 并说明理由 参考数据 29 5 392 图1 3 第一章 过关测试 解析 要使蚂蚁爬行的路程最短 可直接连接AF 再求出AF 但AF在盒子里面 不符合题目要求 甲生和乙生的方案类似 只是顺序不同 丙生和丁生的方法类似 只是长方形的长 宽不同 若在丙 丁的长方形中分别画出甲 乙的路线 则发现丙生和丁生的办法都符合要求 但究竟哪个路程最短 就需要计算了 解 按丙生的办法 将长方形ABCD与长方形BEFC展开成长方形AEFD 如图1 4所示 则AE AB BE 4 cm EF 3cm 连接AF 在Rt AEF中 AF2 AE2 EF2 42 32 25 AF 5 cm 连接BF AF AB BF 丙的方法比甲的好 第一章 过关测试 按丁生的办法 将长方形ABCD与正方形CFGD展开成长方形ABFG 如图1 5所示 则BF BC CF 3 2 5 cm AB 2cm 连接AF 在Rt ABF中 AF2 BF2 AB2 52 22 29 5 392 AF 5 39cm 连接AC AF AC CF 丁的方法比乙的好 比较丙生与丁生的计算结果 知丙生的说法正确 图1 4 图1 5 最短路径问题是勾股定理在立体几何中的应用 一般做法是把长方体 或其他几何体 侧面展开 将立体图形问题转化为平面图形问题 再根据两点之间线段最短 用勾股定理求解 方法技巧 考点四验证勾股定理 例5一个直立的火柴盒在桌面上倒下 启迪人们发现了勾股定理的一种新的验证方法 如图1 6 火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB C D 的位置 连接CC 设AB a BC b AC c 请利用四边形BCC D 的面积验证勾股定理 a2 b2 c2 图1 6 勾股定理的应用 1 如图1 7 正方形网格中 每个小正方形的边长为1 则网格上的三角形ABC边长的平方和为 A 74B 75C 64D 70 图1 7 C 2 如图1 8所示 每个小方格都是边长为1的正方形 点A B是方格纸的两个格点 即正方形的顶点 在这个6 6的方格中 找出格点C 使 ABC是面积为1个平方单位的直角三角形 这样的点有 个 图1 8 6 解析 如图1 9 当 A为直角时 满足面积为1的点是A1 A2 当 B为直角时 满足面积为1的点是B1 B2 当 C为直角时 满足面积为1的点是C C1 所以满足条件的点共有6个 图1 9 B 7 如图1 11 已知 ABC中 C 90 BA 15 AC 12 以直角边BC为直径作半圆 则这个半圆的面积是 图1 11 8 如图1 12 在直线l上依次摆放着七个正方形 已知斜放置的三个正方形的面积分别为1 1 21 1 44 正放置的四个正方形的面积为S1 S2 S3 S4 则S1 S2 S3 S4 图1 12 2 44 9 如图1 13所示 有一圆柱体 它的高为40cm 底面周长为60cm 在圆柱的下底面A点处有一只蜘蛛 它想吃到上底面上与A点相对的B点处的苍蝇 需要爬行的最短路径是 cm 图1 13 50 10 如图1 14 是一块长 宽 高分别是4cm 2cm和1cm的长方体木块 一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处 沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物 那么它需要爬行的最短路径的长是 cm 5 图1 14 第一章 过关测试 11 如图1 15所示 某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个半圆 下方是长方形的仿古通道 现有一辆卡车装满家具后 高4米 宽2 6米 请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道 图1 15 解 如图1 16所示 过直径的中点O 作直径的垂线交下底边于点D 如图1 16所示 在Rt ABO中 由题意知OA 2米 DC OB 2 6 1 3 米 所以AB2 22 1 32 2 31 因为4 2 6 1 4 1 42 1 96 2 31 1 96 所以卡车可以通过 答 卡车可以通过 图1 16 12 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理 创制了一幅 弦图 后人称其为 赵爽弦图 图1 17是由弦图变化得到 它是用八个全等的直角三角形拼接而成 记图中正方形ABCD 正方形EFGH 正方形MNKT的面积分别为S1 S2 S3 若S1 S2 S3 15 则S2的值是 图1 17 5 13 如图1 18 在直线l上依次摆放着三个正方形 已知中间斜放置的正方形的面积是6 则正放置的两个正方形的面积之和为 图1 18 A 14 一只蚂蚁从长 宽都是3 高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点 那么它所行的最短路线的长是 图1 19 10 15 一个棱长为6的木箱 如图1 20 一只苍蝇位于左面的壁上 且到该面上两侧棱距离相等的A处 一只蜘蛛位于右面壁上 且到该面与上 下底面两交线的距离相等的B处 已知A到下底面的距离AA 4 B到一个侧面的距离BB 4 则蜘蛛沿这个立方体木箱的内壁爬向苍蝇的最短路程为多少 图1 20 16 已知 如图 在Rt ABC中 C 90 以三角形的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形 图中的三个等腰直角三角形的面积之和为50cm2 则AB cm 10 30 第二章实数 知识归纳 1 算术平方根一般地 如果一个正数x的平方等于a 即 a 那么这个正数x就叫做a的算术平方根 记为 特别地 0的算术平方根是 2 平方根一般地 如果一个数x的平方等于a 即 a 那么这个数x就叫做a的 一个正数有个平方根 它们互为 0的平方根是 负数没有 0 平方根 两 相反数 0 平方根 2 实数可以分为有理数和无理数 也可以分为 0和 3 若a b互为相反数 则有a b 0 a b 注意 相反数等于它本身的数是0 即若a a 则a 0 立方根 三次方根 正数 负数 0 不循环 正实数 负实数 距离 正数和0 考点攻略 考点一平方根与立方根 解析 可由5x 32的值 求出x的值 间接求x 17的平方根 考点二实数与数轴 解析 关键要在数轴上构造一个矩形 长方形 而此矩形 长方形 的对角线的长度正好是此数的绝对值 且长和宽的平方和等于被开方数13 由此想到22 32 13 此长方形的长为3 宽为2 A 考点三算术平方根的非负性 D 考点四实数的运算 C 实数 D D 3 写出两个大于 1的负无理数 第二章 过关测试 B 2 A A 9 数轴上的点并不都表示有理数 如图2 6 以数轴的单位长度为边作正方形 以数轴上的原点O为圆心 正方形的对角线的长为半径作弧与数轴交于一点A 则点A表示的数为 这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫做 A 代入法B 换元法C 数形结合D 分类讨论 图2 6 C 答案 数轴比较直观地表示了抽象的实数 这种说明问题的方式体现的数学思想方法是数形结合 故选C 10 平方根等于本身的数是 立方根等于本身的数是 0 0 1 11 立方根等于本身的数的个数为a 平方根等于本身的数的个数是b 算术平方根等于本身的数的个数为c 倒数等于本身的数的个数是d 则a b c d 8 解析 立方根等于本身的数的个数为3 故a 3 平方根等于本身的数的个数是1 故b 1 算术平方根等于本身的数的个数为2 故c 2 倒数等于本身的数的个数是2 故d 2 把这些值代入得 a b c d 8 阶段综合测试四 期末一 答案 5 答案 1 实数的应用 图2 7 1 a b 第三章坐标与位置 知识归纳 1 确定位置在平面内 确定物体的位置一般需要个数据 2 平面直角坐标系在平面内画两条互相且有公共的数轴 就组成了平面直角坐标系 3 点的坐标的特征设直角坐标系内一点P x y 若P x y 在第一象限内 则x0 y0 若P x y 在第二象限内 则x0 y0 若P x y 在第三象限内 则x 0 y0 若P x y 在第四象限内 则x0 y0 若P x y 在x轴上 则y 0 x是 若P x y 在y轴上 则x 0 y是 2 垂直 原点 任意实数 任意实数 4 关于x轴 y轴以及原点对称的对称点坐标设点P x y 关于x轴的对称点是 关于y轴的对称点是 关于原点的对称点是 5 和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征平行于x轴的直线上的各点的相同 平行于y轴的直线上的各点的相同 x y x y x y 纵坐标 横坐标 6 坐标变化与图形变化的规律 横向 纵向 y x 中心对称 x y x y 考点攻略 考点一平面直角坐标系 例1已知点P到x轴 y轴的距离是3和4 求点P的坐标 解析 写点P的坐标时 横坐标与纵坐标的前后顺序不能随意改变 满足条件的坐标有四个 不能漏掉任何一个 解 设点P的坐标为 x y 由已知条件 x 4 y 3 x 4 y 3 点P的坐标为 4 3 或 4 3 或 4 3 或 4 3 解决此类问题的方法是 分别在x轴和y轴上找到表示横坐标和纵坐标两数值的点 然后分别过两点作x轴 y轴的垂线 两垂线的交点就是所求点的位置 但注意要分x和y的正负情况进行讨论 方法技巧 考点二坐标变换 例2A B C D E各点的坐标如图3 1所示 确定 ABE EBD ABC的面积 你是怎样做的 你发现了什么规律 图3 1 解析 先根据图求得A B C D E各点的坐标 再利用三角形面积公式求解 求不规则图形的面积通常采用 分割法 或 增补法 将图形转化为规则图形来求 学会 化难为易 的数学技巧 方法技巧 1 点 3 5 到x轴和y轴的距离分别是 A 3 5B 5 3C 3 3D 5 5 B 2 若点P在x轴的下方 y轴的左方 且到每条坐标轴的距离都是3 则点P的坐标为 A 3 3 B 3 3 C 3 3 D 3 3 C 3 到x轴的距离等于4 到y轴的距离等于5的点的坐标是 5 4 或 5 4 或 5 4 或 5 4 平面直角坐标系 第三章 过关测试 图3 2 B 5 已知点A a 0 和点B 0 5 且直线AB与坐标轴围成的三角形的面积等于10 则a的值是 4或 4 6 中国象棋棋盘中隐藏着直角坐标系 如图是中国象棋棋盘的一半 棋子 马 走的规则是沿 日 字形的对角线走 例如 图中 马 所在的位置可以直接走到B A等处 1 若 马 的位置在点C 为了到达点D 请按 马 走的规则 在图上用虚线画出一种你认为合理的行走路线 2 如果图中 马 位于 1 2 上 试写出A B C D四点的坐标 解 1 如图 2 建立如图J2 3所示的坐标系 则A 3 1 B 2 0 C 6 2 D 7 1 7 小明的父亲饭后出去散步 从家中走20分钟到一个离家900米的报亭看10分钟报纸后 用15分钟返回家里 下面图形中表示小明的父亲离家的时间与距离之间的关系的是 D 8 如图 在平面直角坐标系中 点A的坐标是 1 0 点B的坐标是 0 2 点P在坐标轴上 若以A B P为顶点构成的三角形是等腰三角形 则满足条件的点P有 个 5 坐标变换 1 如图3 3所示 与线段AB关于x轴对称的线段为A B 已知A 1 2 则点A 的坐标为 A 1 2 B 1 2 C 1 2 D 2 1 图3 3 B 2 一个图案上所有点的坐标作如下变化 纵坐标不变 横坐标分别加上2 它的形状将怎样变化 A 整个图案被横向拉长为原来的2倍B 整个图案向右平移了2个单位长度C 整个图案的形状和大小不变D 整个图案的形状不变 但放大了2倍 B D 4 在平面直角坐标系内 把点P 5 2 先向左平移2个单位长度 再向上平移4个单位长度 得到的点的坐标是 7 2 5 将点P 3 y 向下平移3个单位 向左平移2个单位后得到点Q x 1 则xy 10 解析 A线段的平移可转化为线段上关键点 端点 的平移 由A 4 1 平移到A 2 2 发现该点向右平移2个单位 向上平移3个单位 同理点B进行相同的平移 则点B 的坐标为 1 2 1 3 故选A 6 在平面直角坐标系中 已知线段AB的两个端点分别是A 4 1 B 1 1 将线段AB平移后得到线段A B 若点A 的坐标为 2 2 则点B 的坐标为 A 3 4 B 4 3 C 1 2 D 2 1 A 第四章一次函数 知识归纳 1 函数定义 一般地 在某个变化过程中 有两个变量x和y 如果给定一个x值 相应地就了一个y值 那么我们称是的函数 其中是自变量 是因变量 表示法 画函数图象的步骤 2 一次函数一次函数的一般形式为 k b为常数 k 0 正比例函数的表达式为 正比例函数是一次函数中时的特殊情况 确定 y x x y 列表法 图象法 解析式法 列表 描点 连线 y kx b y kx b 0 3 一次函数的图象一次函数y kx b的图象是一条直线 这条直线经过 0 画一次函数的图象只要确定满足表达式y kx b的个简单的点即可 正比例函数y kx的图象是一条经过 0 和 1 点的直线 b 两 0 k 4 一次函数y kx b的性质 一 三 二 四 一 二 三 一 三 四 一 二 四 二 三 四 注意 1 正比例函数性质只与k值有关 与b的取值无关 图象过一 三象限 k 0 图象过二 四象限 k 0 6 用一次函数解决实际问题 1 一次函数在现实生活中有着广泛的应用 在解答一次函数的应用题时 应从给定的信息中抽象出一次函数关系 理清哪个是自变量 哪个是自变量的函数 再利用一次函数的图象与性质求解 同时要注意自变量的取值范围 2 一次函数y kx b k 0 的自变量x的范围是全体实数 图象是直线 因此没有最大值与最小值 但由实际问题得到的一次函数解析式 自变量的取值范围一般受到限制 则图象为线段和射线 根据函数图象的性质 就存在最大值和最小值 常见类型有 1 求一次函数的解析式 2 利用一次函数的图象与性质解决某些问题 如最值等 5 一次函数与一元一次方程一次函数y kx b k b为常数 k 0 的图象与x轴交点的坐标的对应值即为一元一次方程kx b 0的根 横 第四章 过关测试 考点攻略 考点一函数的概念及函数图象 例1王芳同学为参加学校组织的科技知识竞赛 她周末到新华书店购买资料 如图4 1 是王芳离家的距离与时间的函数图象 在图4 2中 若黑点表示王芳家的位置 则王芳走的路线可能是 图4 1 图4 2 B 解析 B王芳离家的距离与时间的关系是增加到不变到减少为0 符合图象的是B 方法技巧观察图象时 首先弄清横轴和纵轴所表示的意义 弄清哪些是自变量 哪些是因变量 然后分析图象的变化趋势 结合实际问题的意义进行判断 考点二一次函数的图象和性质 例2如图4 3所示的计算程序中 y与x之间的函数关系所对应的图象应为 图4 3 图4 4 D 方法技巧由k b的符号可决定直线y kx b的位置 反过来 由直线y kx b的位置可决定k b的符号 这种 数 与 形 的相互转化是数学中的一种重要的思想方法 对我们解决问题很有帮助 考点三确定一次函数的表达式 例3已知一次函数y kx b的图象交y轴于负半轴 且y随x的增大而增大 请写出符合上述条件的一个解析式 如y 4x 3 答案不唯一 k 0且b 0即可 方法技巧求正比例函数的关系式只要知道除原点以外的一个条件就够了 而在一次函数y kx b中要确定k b的值 需要两个条件 考点四利用图象信息解决问题 例4已知一次函数y 2x 2 1 画出函数的图象 2 求图象与x轴 y轴的交点A B的坐标 3 求A B两点间的距离 4 求 AOB的面积 图4 5 方法技巧求一次函数图象与x轴的交点坐标问题 实质是求当y 0时 x为何值 求它与y轴的交点坐标 实质是求当x 0时 y为何值 考点五联系方程组解决问题 例5甲骑自行车 乙骑摩托车沿相同路线由A地到B地 行驶过程中路程与时间的函数关系的图象如图4 6 根据图象解决下列问题 1 谁先出发 先出发多少时间 谁先到达终点 先到多少时间 2 分别求出甲 乙两人的行驶速度 3 在什么时间段内 两人均行驶在途中 不包括起点和终点 在这一时间段内 请你根据下列情形 分别列出关于行驶时间x的方程或不等式 不化简 也不求解 甲在乙的前面 甲与乙相遇 甲在乙后面 图4 6 解析 注意根据图象获取信息 根据横轴的时间可以看出甲先出发 后到达 可以看出甲30分钟行驶了6千米 乙15分钟行驶了6千米 因此甲 乙二人的速度可求 解 1 甲先出发 先出发10分钟 乙先到达终点 先到5分钟 2 甲的速度为每分钟0 2千米 乙的速度为每分钟0 4千米 3 在甲出发后10分钟到25分钟这段时间内 两人都行驶在途中 设甲行驶的时间为x分钟 100 4 x 10 甲与乙相遇 0 2x 0 4 x 10 甲在乙后面 0 2x 0 4 x 10 方法技巧由函数图象解答问题的方法为 数形结合 即在图象上由相应点 形的特征 得出对应的坐标 数的表示 形成由数表示形 由形反映数 构建 数 与 形 的统一 第四章 过关测试 函数的有关概念及函数图象 1 指出下列关系中 哪些y是x的函数 哪些不是 说出你的理由 xy 2 x2 y2 10 x y 5 y 3x 1 解 是 否 是 否 理由略 2 下列图形中的曲线不表示y是x的函数的是 图4 7 C 解析 C由图象可知C选项中对于一部分x的值 y都对应两个值 不符合函数的定义 故选C 一次函数的图象和性质 1 正比例函数y kx k 0 的函数值y随x的增大而增大 则一次函数y x k的图象大致是 图4 8 解析 A 正比例函数y kx k 0 的函数值y随x的增大而增大 k 0 一次函数y x k的图象经过一 二 三象限 故选A A 2 一次函数y x 2的图象大致是 图4 9 解析 A一次函数y x 2 当x 0时 y 2 当y 0时 x 2 故一次函数y x 2图象经过 0 2 2 0 根据排除法可知A选项正确 故选A A 3 一次函数y k 2 x 3的图象如图4 10所示 则k的取值范围是 A k 2B k 2C k 3D k 3 图4 10 B 解析 B一次函数的图象过一 二 四象限可知 k 2 0 解得k 2 故选B 4 写出一个具体的随x的增大而减小的一次函数关系式 答案不唯一 如 y x 1 5 若一次函数的图象经过第一 三 四象限 则它的关系式为 写出一个即可 答案不唯一 如y x 1 解析 一次函数的图象经过第一 三 四象限 k 0 b 0 写出的关系式只要符合上述条件即可 例如y x 1 6 已知一次函数y kx b中自变量x的取值范围为 4 x 2 相应函数值的范围为1 y 8 则此函数图象必经过 象限 一 二 7 如果直线y kx 2与两坐标轴所围成的三角形面积是9 则k的值为 1 如图4 11所示 是甲 乙两家商店销售同一种产品的销售价y 元 与销售量x 件 之间的函数图象 下列说法 售2件时甲 乙两家售价一样 买1件时买乙家的合算 买3件时买甲家的合算 买乙家的1件售价约为3元 其中正确的说法是 A B C D 图4 11 解析 D如图 甲 乙在x 2时相交 故售2件时两家售价一样 对 买1件时乙的价格比甲的价格低 对 买3件时甲的销售价比乙低 对 买乙家的1件售价约为1元 错 故选D D 一次函数的应用 图4 12 A 1个B 2个C 3个D 4个 D 3 小敏从A地出发向B地行走 同时小聪从B地出发向A地行走 如图4 13所示 相交于点P的两条线段l1 l2分别表示小敏 小聪离B地的距离y km 与已用时间x h 之间的关系 则小敏 小聪行走的速度分别是 A 3km h和4km hB 3km h和3km hC 4km h和4km hD 4km h和3km h 图4 13 D 第五章二元一次方程组 知识归纳 1 二元一次方程含有未知数 并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程 2 二元一次方程组含有两个未知数的个方程所组成的一组方程 叫做二元一次方程组 3 二元一次方程的一个解适合一个二元一次方程的未知数的值 叫做这个二元一次方程的一个解 4 二元一次方程组的解二元一次方程组中各个方程的 叫做这个二元一次方程组的解 5 二元一次方程组的解法二元一次方程组的解法 1 法 2 法 两个 两 一次 一组 公共解 代入消元 加减消元 考点攻略 考点一二元一次方程组的解法 解析 这个方程组比较复杂 可以先化简 然后再观察系数的特点 利用加减消元法或代入消元法求解 也可把 x y x y 看成一个整体 这样会给计算带来方便 第五章 过关测试 例2甲 乙两工厂 上月原计划生产机床360台 结果甲厂完成了计划的112 乙厂完成了计划的110 两厂共生产了机床400台 求上月两厂各超额生产了多少台机床 解析 根据题意列表 对于问题中的数量关系 数量比较多且很分散时 我们可通过列表 将数量关系在表格中集中反映出来 再借助于列表分析具体问题中蕴涵的数量关系 使题目中的相等关系随之而清晰地浮现出来 方法技巧 考点三二元一次方程与一次函数的关系 例3已知一次函数图象经过A 2 3 B 1 3 两点 1 求这个一次函数的表达式 2 试判断点P 1 1 是否在这个一次函数的图象上 解析 1 设一次函数的表达式为y kx b 将A B两点代入组成方程组 即可求出表达式 2 判断点是否在这个一次函数的图象上 只需将点的坐标代入函数表达式 看其是否满足 满足函数表达式的点在函数图象上 否则不在函数图象上 第五章 过关测试 解决此类问题首先根据题中提供的信息 确定函数表达式 再把所需判断的点代入函数表达式 满足函数表达式的点 就在函数图象上 否则不在函数图象上 方法技巧 3x y 4 0 答案不唯一 2 对于实数x y 定义新的运算 x y ax by 1 其中a b是常数 若3 5 15 4 7 28 则1 1 11 二 三 元一次方程 组 的概念 二 三 元一次方程 组 的解法 D 解析 D因为已知方程组中 没有直接可以变形为系数是整数且是用含一个未知数的代数式表示另一未知数的方程 因此不宜用代入消元法 故答案不能为A 如果按选项B的方法 消去未知数x 不如采用C或D的方法消去y 若在C与D之间选择 则D比C要更简便一些 因此 答案应为D C 方程组的应用 1 药业集团生产的某种药品包装盒的侧面展开图如图5 1所示 如果长方体盒子的长比宽多4cm 求这种药品包装盒的体积 图5 1 B 6 第五章 过关测试 4 在中央电视台2套 开心辞典 节目中 有一期的某道题目是 如图5 2所示 天平中放有苹果 香蕉 砝码 且两个天平都平衡 则一个苹果的重量是一个香蕉的重量的 图5 2 B 第五章 过关测试 5 在一次剪纸活动中 小聪依次剪出6张正方形纸片拼成如图5 3所示的图形 若小聪所拼得的图形中正方形 的面积为1 且正方形 与正方形 面积相等 那么正方形 的面积为 图5 3 36 6 用8块相同的长方形地砖拼成一块矩形地面 地砖的拼放方式及相关数据如图5 4所示 求每块地砖的长与宽 图5 4 7 我国是世界上严重缺水的国家之一 为了增强居民的节水意识 某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费的办法收费 即一个月用水10吨以内 包括10吨 的用户 每吨收水费a元 一个月用水超过10吨的用户 10吨水仍按每吨a元收费 超过10吨的部分 按每吨b元 b a 收费 设一户居民月用水x吨 应收水费y元 y与x之间的函数关系如图5 5所示 1 求a的值 某户居民上月用水8吨 应收水费多少元 2 求b的值 并写出当x 10时 y与x之间的函数关系式 3 已知居民甲上月比居民乙多用水4吨 两家共收水费46元 求他们上月分别用水多少吨 解析 1 由图可知 10吨水收费15元 那么a 15 10 1 5 元 用水8吨 应收水费1 5 8 12 元 2 由图中可知当x 10时 有y b x 10 15 把 20 35 代入一次函数解析式即可 图5 5 8 甲 乙两人同时登西山 甲 乙两人距地面的高度y 米 与登山时间x 分 之间的函数图象如图5 6所示 根据图象所提供的信息解答下列问题 1 甲登山的速度是每分钟多少米 乙在A地提速时距地面的高度b为多少米 2 若乙提速后 乙的速度是甲登山速度的3倍 请分别求出甲 乙二人登山全过程中 登山时距地面的高度y 米 与登山时间x 分 之间的函数关系式 3 登山多长时间时 乙追上了甲 此时乙距A地的高度为多少米 图5 6 第五章 过关测试 解析 1 甲的速度 300 100 20 10 米 分 据图象知道乙一分的时间走了15米 然后可求出A地提速时距地面的高度 2 乙提速后 乙的速度是甲登山速度的3倍 所以乙的速度是30米 分 那么求出点B的坐标 加上点A的坐标代入一次函数关系式即可求出乙的函数关系式 把C D坐标代入一次函数关系式可求出甲的函数关系式 3 乙追上甲 即此时两函数的y的值相等 然后求出时间在计算距A地的高度 第五章 过关测试 数学 人教版 RJ 此时乙距A地高度为165 30 135 阶段综合测试四 期末一 9 小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯 他把纸杯整齐地叠放在一起 如图 请你根据图J4 2中的信息 若小明把100个纸杯整齐叠放在一起时 它的高度约是多少 阶段综合测试四 期末一 第六章数据分析 知识归纳 重要程度 权 2 中位数定义 一般地 n个数据按大小顺序排列 处于位置的一个数据 或最中间两个数据的 叫做这组数据的中位数 求法 一组数据中位数只有个 把一组数据按大小顺序排列 当数据有个时 中位数是最中间两个数据的平均数 当数据有个时 中位数是最中间的那个数 3 众数一组数据中出现次数的那个数据叫做这组数据的众数 一组数据的众数可能有多个 它一定是数组中的某一个或几个数据 最中间 平均数 1 偶数 奇数 最多 考点攻略 考点一平均数 例1下表列出了2012年某地农作物生长季节每月的降雨量 单位 mm 其中有 个月的降雨量比这六个月平均降雨量大 3 解析 3要求出四 五 六 七 八 九这六个月的平均降水量 然后和各月降水量相比较 平均降水量为 20 55 82 135 116 90 6 83 mm 第六章 过关测试 在日常生活中的诸多 平均 现象并非算术平均 由于多数情况下 各项的重要性不一定相同 即权数不同 应视为加权平均 例如彩票的平均收益 不是各个等次的奖金金额的算术平均数 而应考虑不同等次奖金的奖金比例 易错警示 第六章 过关测试 考点二中位数和众数 例2某市实行中考改革 需要根据该市中学生体能的实际状况重新制定中考体育标准 为此抽取了50名初中毕业的女学生进行一分钟仰卧起坐次数测试 测试情况绘制成表格如下 1 求这次测试数据的平均数 众数和中位数 2 根据这一数据的特点 你认为该市中考女生一分钟仰卧起坐项目测试的合格标准次数应定为多少较为合适 请简要说明理由 第六章 过关测试 解析 根据表中数据进行分析求解 解 1 平均数为20 5 众数为18 中位数为18 2 根据 1 的结果 该市中考女生一分钟仰卧起坐项目测试的合格标准次数应定为18比较合适 因为每分钟18次对大多数同学来说都能达到 方法技巧解决此类问题要明确平均数 中位数 众数是从哪个方面反映一组数据的 平均水平 的 知道平均数 中位数 众数各自的优缺点 所以 在解决实际问题时 能选择恰当的数据代表 去掉一个最高分和一个最低分求平均数 是为了减少极端值对平均数的影响 1 某校参加 姑苏晚报 可口可乐杯中学生足球赛的队员的年龄如下 单位 岁 13 14 16 15 14 15 15 15 16 14 则这些队员年龄的众数是 中位数是 15 15 解析 这组数据中出现次数最多的数是15 故众数是15 要求中位数应先将这组数据排序 13 14 14 14 15 15 15 15 16 16 最中间的两个数都是15 故这组数据的中位数也是15 2 若一组数据7 9 9 12 x的极差是6 则x 13或6 第六章 过关测试 3 某社区准备在甲 乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训 两人各射了5箭 他们的总成绩 单位 环 相同 小宇根据他们的成绩绘制了如下尚不完整的统计图表 并计算了甲成绩的平均数和方差 见小宇的作业 甲 乙两人射箭成绩统计表 图6 1 第六章 过关测试 4 6 2 如图 图6 2 4 一组数据2 3 4 x中 若中位数与平均数相等 则数x不可能是 A 1B 2C 3D 5 B 5 一组数据1 2 a的平均数为2 另一组数据 1 a 1 2 b的唯一众数为 1 则数据 1 a 1 2 b的中位数为 1 第七章平行线的证明 知识归纳 一 定义与命题1 定义描述名称和术语的含义 作出明确的规定叫 2 命题判断一件事情的句子 叫做 1 命题的结构 由条件 两部分组成 2 真命题 正确的命题称为 3 假命题 不正确的命题叫做 4 反例 凡具备命题的条件 而不具有命题的结论 这种例子称为 反例的作用可说明一个命题是 定义 命题 结论 真命题 假命题 反例 假命题 二 公理 定理 推论1 公理公认的真命题称为 2 定理经过证明的真命题称为 3 推论由一个直接推出的定理 叫做这个公理或定理的推论 三 两直线平行的判定公理 定理1 两直线平行的判定公理两条直线被第三条直线所截 如果同位角相等 那么这两条直线 以上简称为 同位角相等 两直线平行 公理 定理 公理或定理 平行 2 两直线平行的判定定理判定定理一两条直线被第三条直线所截 如果同旁内角 那么这两条直线平行 以上简称为 同旁内角互补 两直线平行 判定定理二两条直线被第三条直线所截 如果内错角 那么这两条直线平行 以上简称为 内错角相等 两直线平行 四 两直线平行的性质公理 定理1 两直线平行的性质公理两条平行线被第三条直线所截 同位角 以上简称为 两直线平行 同位角相等 互补 相等 相等 2 两直线平行的性质定理性质定理一两条平行线被第三条直线所截 相等 以上简称为 两直线平行 内错角相等 性质定理二两条平行线被第三条直线所截 同旁内角 以上简称为 两直线平行 同旁内角互补 五 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于 六 三角形的外角定理定理一三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的 定理二三角形的一个外角任何一个和它不相邻的内角 内错角 互补 180 和 大于 考点攻略 考点一命题 下列各语句中 哪些是命题 哪些不是命题 是命题的 请你先将它改写成 如果 那么 的形式 再指出命题的条件和结论 1 对顶角相等 2 画一个半径为7cm的圆 3 偶数一定是合数吗 4 偶数是合数 解析 判断一件事情的句子叫做命题 命题有真命题 也有假命题 本例没有要求区分真假 2 是陈述句 3 是疑问句 不是命题 1 和 4 是对某件事情作出的判断 是命题 第七章 过关测试 解 1 4 是命题 2 3 不是命题 1 改写为 如果两个角是对顶角 那么这两个角相等 其中条件是 两个角是对顶角 结论是 这两个角相等 4 改写为 如果一个数是偶数 那么这个数是合数 其中 一个数是偶数 是条件 这个数是合数 是结论 误区一 把陈述句误判为判断句 误区二 认为错误的判断不是命题 看一个语句是否是命题 就看它是否对一件事情作出了判断 而不管判断是否正确 即只要对一件事情作出了判断 这个语句就是一个命题 易错警示 考点二平行线的判定与性质 如图7 1 已知 ECD BDC B ECD 180 求证 AB CD 证明 ECD BDC B ECD 180 B BDC 180 AB CD 图7 1 图7 2 第七章 过关测试 如图7 2所示 AB CD AD CE 求证 BAE C E 证明 AB CD AD CE 已知 BAD D D C DAE E 两直线平行 内错角相等 BAD C 等量代换 DAE BAD C E 等式的性质 即 BAE C E 在本例中 求证 BAE C E 第一种思路 这个结论的左边是一个角 BAE 它可以看成是 BAD与 DAE的和 把 BAD和 DAE转化 找出它们与 C和 E的关系 第二种思路 这个结论的右边 C E可以看成是一个三角形的两个内角和 找出与之相等的外角和 BAE的关系 技巧总结 第七章 过关测试 如图7 3 ADC ABC 1 2 180 AD为 FDB的平分线 求证 BC为 DBE的平分线 图7 3 解析 从图形上看AE应与CF平行 AD应与BC平行 不妨假设它们都平行 这时欲证BC为 DBE的平分线 只需证 3 4 而 3 C 6 4 5 由AD为 FDB的平分线知 5 6 这样问题就转化为证AE CF且AD BC了 由已知条件 1 2 180 不难证明AE CF 利用它的平行及 ADC ABC的条件 不难推证AD BC 第七章 过关测试 证明 1 2 180 已知 2 7 180 补角定义 1 7 同角的补角相等 AE CF 同位角相等 两条直线平行 ABC C 180 两直线平行 同旁内角互补 又 ADC ABC 已知 ADC C 180 等量代换 AD BC 同旁内角互补 两直线平行 图7 4 6 C 4 5 两直线平行 同位角相等 内错角相等 又 3 C 两直线平行内错角相等 3 6 等量代换 又 AD为 BDF的平分线 5 6 3 4 等量代换 BC为 DBE的平分线 第七章 过关测试 本题证明中反复使用了平行线的判定和性质 这在今后学习时 也会经常出现 平时解题要思考什么时候用判定 什么时候用性质 另外在判定和性质中 角 起关键作用 欲证 平行 就需找到角的相等与互补 欲证角的相等与互补 又需转化为平行 在平面几何中 这种相互转化的证题方法是重要的数学方法之一 要引起足够的重视 方法总结 第七章 过关测试 考点三三角形的内角与外角 1 在 ABC中 C B 2 A 求 A的度数 解析 已知 A B与 C的关系 求 A的度数 注意还有一个隐含条件是 ABC三个内角的和是180 运用三角形内角和定理 列方程求解 解 设 A x C B 2 A 已知 C B 2x 等量代换 A B C 180 三角形内角和定理 x 2x 2x 180 x 36 A 36 本题运用了方程的思想 抓住 三角形的内角和是180 这一定理 再根据这个定理确定等量关系列出方程 从而解决问题 方法总结 第七章 过关测试 2 如图7 5 在 ABC中 D E分别是BC AC上的点 AD BE相交于点F 求证 C 1 2 3 180 图7 5 证明 C ADC 3 180 三角形内角和定理 ADC 1 2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 C 1 2 3 180 等量代换 学习外角的概念时 容易受词意的干扰 误认为三角形的外角就是三角形外面的角 排除这一干扰的关键是结合图形理解三角形外角的三个特征 顶点是三角形的一个顶点 一条边是三角形的一边 另一条边是三角形某条边的延长线 只有同时具备这三个特征的角 才是三角形的外角 易错警示 1 下列命题是真命题的是 A 同位角相等B 内错角相等C 过一点只能画一条直线D 两点之间 线段最短 D 2 下列命题是真命题的是 只填写序号 同旁内角互补 两直线平行 如果两个角是直角 那么它们相等 如果两个实数的平方相等 那么它们相等 如果三角形的三边长a b c满足a2 b2 c2 那么这个三角形是直角三角形 3 如图7 6 顽皮的小聪在课间把教师的直角三角板的直角顶点放在黑板的两条平行线a b上 已知 1 55 则 2的度数为 A 35 B 45 C 55 D 125 图7 6 A 4 如图7 7是国旗中的五角星 则它的五个角的和 A B C D E 度 180 图7 7 5 如图7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 度 720 图7 8 6 如图7 9 点O为直线AB上一点 过点O作射线OC 使 AOC 60 将一直角三角板的直角顶点放在点O处 一边OM在射线OB上 另一边ON在直线AB的下方 1 将图 中的三角板绕点O顺时针旋转至图 使一边OM在 BOC的内部 且恰好平分 BOC 求 CON的度数 2 将图 中的三角板绕点O按每秒10 的速度沿顺时针方向旋转一周 在旋转的过程中 第t秒时 直线ON恰好平分锐角 AOC 则t的值为 秒 直接写出结果 3 将图 中的三角板绕点O顺时针旋转至图 使ON在 AOC的内部 请探究 AOM与 NOC之间的数量关系 并说明理由 图7 9 2 如图7 10 延长NO BOC 120 AOC 60 当直线ON恰好平分锐角 AOC AOD COD 30 即顺时针旋转300 时 NO延长线平分 AOC 由题意得 10t 300 t 30 图7 10 如图7 10 当NO平分 AOC NOR 30 即顺时针旋转120 时 NO平分 AOC 10t 120 t 12 t 12或30 3 MON 90 AOC 60 AOM 90 AON NOC 60 AON AOM NOC 90 AON 60 AON 30 所以 AOM与 NOC之间的数量关系为 AOM NOC 30 7 探照灯 锅形天线 汽车灯以及其他很多灯具都与抛物线形状有关 如图所示是一探照灯灯碗的纵剖面 从位于O点的灯泡发出的两束光线OB OC经灯碗反射以后平行射出 如果图中 ABO DCO 则 BOC的度数为 B 2 如图 l m 等腰直角三角形ABC的直角顶点C在直线m上 若 20 则 的度数为 A 25 B 30 C 20 D 35 解析 A 20 ACB 90 ACR 180 90 20 70 l m FDC ACR 70 AFD FDC A 70 45 25 a AFD 25 故选A A 阶段综合测试五 期末二 如图所示 将两张等宽的长方形纸条交叉叠放 重叠部分是一个四边形ABCD 若AD 6cm ABC 60 则四边形ABCD的面积是多少 解 AD BC AB CD 四边形ABCD是平行四边形 作AE BC于E AF CD于E ABC 60 ADF 60 纸条等宽 AE AF AEB AFD ABC ADF 60 ABE ADF AB AD AD BC AB BC 该四边形是菱形 同学们 今天你有哪些收获