全等三角形经典例题.ppt

数学期末考试范围 七下 第3 4 5 6章 整式的乘除 因式分解 分式 数据与统计图表 八上 第1章 三角形的初步知识 第2章 2 1 2 3 等腰三角形的性质为止 全等三角形 如图 BE CD 1 2 则AB AC吗 为什么 BD CE吗 6 如图 CD AB于D BE AC与E BE CD交于O 且AO平分 BAC 求证 OB OC 图中有几对全等三角形 如图 已知Rt ABC Rt ADE ABC ADE 90 BC与DE相交于点F 连接CD EB 21 1 图中还有几对全等三角形 2 求证 CF EF 条件 AP平分 BAC PB AB PC AC 条件 CD是线段AB的中垂线 要修建一个超市P 要满足三个村庄A B C都到超市的距离相等 村庄的位置形成一个三角形 请问如何确定这个超市的位置 说明理由 A B C 3 有三条笔直的公路a b c 要修建一个水电站O 使点O到三条公路的距离相等 这样的点有几个 各内角与外角的角平分线4个 6 作图 你能否找出一个点 使它到线段AB两端点的距离相等 并且到 COD两边的距离也相等 试说明 三角形角平分线的交点到三角形三边的距离相等 若三角形三条边边长分别为a b c 三条角平分线的交点到三角形三条边的距离为r 则三角形的面积为 手拉手模型 常见图形5 背靠背 例3 把两个含有45 角的直角三角板如图1放置 点D在BC上 连结BE AD AD的延长线交BE于点F 求证 1 BE AD 2 AF BE 变形 1 以点A为顶点作二个等腰直角三角形 ABC ADE 如图所示 连接BD CE 1 求证 BD CE 2 求 BFC的度数 如图 已知中 BE CF都是的高 P是BE上一点且BP AC Q是CF延长线上一点且CQ AB 连接AP AQ QP 求证 以点A为顶点作二个等边三角形 ABC ADE 连接CD 连接BE 有哪些结论 变形 2 以点A为顶点作二个等边三角形 ABC ADE 连接CD 连接BE 1 求证 BD CE 2 求 BFC的度数 已知如图 ABC与 EDC都是等边三角形 且A D E在同一条直线上 若 DBE 86 则 ADB 例三 已知在 ABC中 AB AC 在 ADE中 AD AE 且 1 2 请问BD CE吗 如图 1 等边 ABC中 D是AB边上的动点 以CD为一边 向上作等边 DEC 连结AE 1 试说明AE BC的理由3 如图 2 将 1 中点D运动到边BA的延长线上 所作仍为等边三角形 请问是否仍有AE BC 证明你的猜想 如图 已知在 ABC中 AB AC BE CF都是 ABC高 P是BE上一点且BP AC Q是CF延长线上一点且CQ AB 连接AP AQ QP 求证 1 AP AQ 2 AP AQ 如图13 已知 BAC DAE 1 2 BD CE 请说明 ABD ACE吗 为什么 如图 已知 ABC中 AB AC BAC 90 直角EPF的顶点P是BC中点 两边PE PF分别交AB AC于点E F 给出以下四个结论 1 AE CF 2 EPF是等腰直角三角形 3 4 当 EPF在 ABC内绕顶点P旋转时EF AP 点E不与A B重合 上述结论中始终正确的有 截长补短法作辅助线 要证明两条线段之和等于第三条线段 可以采取 截长补短 法 截长法 即在较长线段上截取一段等于两较短线段中的一条 再证剩下的一段等于另一段较短线段 补短法 即把两短线段补成一条 再证它与长线段相等 如图 在四边形ABCD中 AB DC BE CE分别平分 ABC BCD 且点E在AD上 求证 BC AB DC 常规结论有哪些 如图 在四边形ABCD中 AB DC BE CE分别平分 ABC BCD 且点E在AD上 求证 BC AB DC 如图 ABC的两条角平分线BD CE交于点O A 60 求证 CD BE BC 在线段BC取点F 使得BF BE 连结OF 结论1 BOE BOF 需要证 CF CD 你能有哪些结论 角平分线 构筝形线段和差 截长补短 如图 ABC的两条角平分线BD CE交于点O A 60 求证 CD BE BC 在线段BA或延长线上取点H 使得BH BC 连结OH 结论 BOH BOC要证 EH CD即证 EOH DOC 如图 ABC的两条角平分线BD CE交于点O A 60 求证 CD BE BC 在线段BA或延长线上取点H 使得CD EH 连结OH 要证 BOH BOC 已有条件BO BO HBO CBO 原因 没有用到角平分线模型 如图 ABC的两条角平分线BD CE交于点O A 60 求证 CD BE BC 方法总结 BE BF BH BC 统一模型 角平分线轴对称模型 如图 ABC的两条角平分线BD CE交于点O A 60 求证 CD BE BC 想一想 你还有什么方法 提示 利用角平分线性质定理 例7 已知 如图所示 AB CD PB和PC分别平分 ABC和 DCB AD过点P 且与AB垂直求证 PA PD E 在 ABC中 C 90 AD平分 BAC DE AB于E F在AC上 且CF EB 求证 1 BD DF 2 AB AF 2AE 变 如图 在四边形ABCD中 AC平分 BAD CE AB于点E ADC与 ABC互补 求证 2AE AD AB 如图 在四边形ABCD中 AC平分 BAD CE AB于点E 2AE AD AB 求 ADC ABC的度数 如图 在四边形ABCD中 AC平分 BAD CE AB于点E 且 B D 180 求证 AE AD BE F 如图 在正方形ABCD中 E是AB上一点 F是AD的延长线上一点 且DF BE 1 求证 CE CF 2 若点G在AD上 且 GCE 45 则GE BE GD成立吗 为什么 变式 如图 在正方形ABCD中 E是AB上一点 点F在AD上 且EF BE FD 求证 FC平分 EFD 在 ABC中 AD平分 BAC AB BD AC 求 B C 已知 如图 在 ABC中 AB AC 1 2 P为AD上任一点求证 AB AC PB PC 倍长中线 1 在 ABC中 AB 8 AC 6 则BC上的中线AD的取值范围 D E 1 有两边和第三边上中线对应相等的两个三角形全等 2 已知 如图AC BD CAD CDA AE是 ACD的中线 求证 B CAE 变式 如图 在 ABC中 BD CD AC E是DC的中点 求证 1 AD平分 BAE 2 AB 2AE 3 如图 在四边形ABCD中 AD BC E是CD的中点 连结AE BE BE AE 求证 AB BC AD 4 已知 如图 AD为 ABC的中线 ADB ADC的平分线分别交AB于E 交AC于F 求证 BE CF EF 5 如图 已知在 ABC中 ACB 90 AC BC BD平分 ABC交AC于点D AE BD交BD的延长线于点E 求证 BD 2AE 1 如图1 在四边形ABCD中 AB AD BAD 120 B ADC 90 E F分别是BC CD上的点 且 EAF 60 探究图中线段BE EF FD之间的数量关系 2 如图2 若在四边形ABCD中 AB AD B D 180 E F分别是BC CD上的点 且 EAF BAD 上述结论是否仍然成立 并说明理由 三垂直 P31EX17 1 如图甲所示 在 ABC中 BAC 90 AB AC 直线m经过点A BD 直线m 垂足为D CE 直线m 垂足为E 证明 DE BD CE 2 如图乙所示 将第 1 题中的条件改为在 ABC中 AB AC D A E三点都在直线m上 并且有 BDA AEC BAC 其中 为任意锐角 请问结论DE BD CE是否成立 若成立 请给出证明 若不成立 请说明理由 P31EX16如图 过正方形ABCD的顶点B作直线L 过A C D作L的垂线 垂足分别为点E F G 若AE 2 CF 6 则CF AE DG的值为 P30EX12如图 在 ABC中 C 90 P E分别是边AB BC上的点 D为 ABC外一点 DE BC DE EC BE 2EC BDE PEC AD PE AC 4 则线段BC的长为 如图 AE AB且AE AB BC CD且BC CD 那么 按照图中所标注的数据 图中实线所围成的图形面积为 练习3 如图 ACB 90 AC BC BE CE AD CE 垂足分别为E D 图中有哪条线段与AD相等 并说明理由 B E A C D 如图 在等腰Rt ABC中 ACB 90 AC BC D为BC的中点 过点B作BF BC 并使BF BD 连接CF交AB于E 1 BDE ADC 2 连接AF 试判断AF与CF的大小关系 并说明理由 如图 ABC 90 AB AC D是AC上一点 分别过A C作BD的垂线 垂足分别为E F 求证 EF CF AE 3 已知 ABC为正三角形 点M是射线BC上任意一点 点N是射线CA上任意一点 且BM CN 直线BN与AM相交于点Q 求 BQM等于多少度 M A B C M N Q