固体物理答案-第二章.ppt

第二章晶体中原子的结合 2 1由N个原子 离子 所组成的晶体的体积V可写为 式中 v为每个原子 离子 平均所占据的体积 R为粒子间的最短距离 是和结构有关的常数 试求下列各种结构的值 1 简单立方点阵 2 面心立方点阵 3 体心立方点阵 4 金刚石结构 5 氯化钠型结构 式中 V为晶体体积 N为晶体包含的原子数 v为每个原子平均占据的体积 若以 表示晶体包含的晶胞数 中每个晶胞的体积 n表示晶胞中所含的粒子数 则 1 式完全等效于 解 题给 表示晶体 1 于是得 2 R为离子间的最短距离 题给的各种晶格均为立方格子 如令 其晶格常数为a 则有 可由式 2 直接求出各种格子的 值 所得结果列表如下 2 2证明有两种离子组成的 间距为的一维晶格的马德隆常数 证明 选取负离子O为参考离子 相邻两离子间的距离用R表示 第j个离子与参考离子的距离可表示为 对于参考 离子O 它与其它离子的互作用势能为 马德隆常数 且 即当 时 因为 解之有 1 因而 其次 对应于处能量取极小值 应有 于是 把 1 式代入 即得 所以 这个结果表明 排斥力是短程力 与吸引力相比较 它随原子间的距离的变化更陡峭 2 4有一离子晶体 其总互作用势能表示为 试问当离子电荷加大1倍时 平衡离子间距 互作用势能和体积弹性模量将受何影响 解 按题给 由平衡条件 得到离子平衡间距作为离子带电状态的函数 从而晶体的内能也作为离子带电状态的函数 1 2 由 1 2 两式可知 当离子带电量加倍时 则有 体积弹性模量可按下式求出 2 5有一晶体在平衡时的体积为 原子间总的互作用能为 若原子间互作用能由式表述 试证明晶体的体积弹性模量为 证明 设晶体共含有N个原子 则总能量为 由于晶体表面层的原子的数目与晶体内原子数目相比少得多 因此可忽略它们之间的差异 于是上式简化为 设最近临原子间的距离为R 则有 再令 得到 平衡时 则由已知条件 得 由平衡条件 得 由 1 2 两式可解得 利用体积弹性模量公式 得 由于 因此 于是 2 6已知有N个离子组成的NaCl晶体 其结合能为 今若排斥项由来代替 且当晶体处于平衡时 这两者对互作用势能的贡献相同 试求出n与的关系 由 得 又 2 得 3 将 1 3 两式代入 2 式 可得 即 2 7立方ZnS的晶格常数a 5 41A 试计算其结合能 则 解 1 由 得 可知 2 对于面心立方 N个原子构成晶体体积 可得 由 1 中结果知 所以 可知 可得 3 体积弹性模量 4 抗张强度公式为 又面心立方结构 可知 又 所以抗张强度 2 9设有一离子晶体 只计及最近邻离子间的排斥作用时 其两个离子间的势能具有如下的形式 其中 为参数 R是最近邻距离 试求平衡时晶体总的互作用势能的表达式 晶体共包含2N个离子 解 以负离子为参考离子 同号取 异号取 令最近邻离子间距离为R 则 设最近邻离子数目为Z 2 10由两种一价离子交替排列组成的一维晶体 若离子总数为2N 试证明 1 平衡时的互作用势能为 2 如果晶体被压缩 使 则外力对每个离子 所作的功 可表示为 解 1 计入排斥作用 晶体中任意两离子i j之间的互作用 式中 同号离子取 号 异号离子取 号 若取负离子i作为参考离子 并忽略表面效应 则总的互作用能为 能 括号内对正离子取 号 对负离子取 号 以R表示最近邻离子间距 并令 则上式可写为 式中 为马德隆常数 对于一维离子晶体 马德隆常数为 所以 式中的代定参量B可如下确定 因为平衡时 故有 由 1 2 两式求得势能的变化 2 3 于是 3 式可化简为 能量的变化应等于外力所作的功 因为晶体一共由2N个离子 由上式可知 外力对每个离子所作的功就是 2 11金刚石是共价键晶体 试求其键间夹角的大小 解 金刚石中每个碳原子与其最近邻的碳原子构成一个正四面体 原子间靠共价键结合 四面体键之间的夹角等于立方体体对角线间的夹角 式中 是直角坐标系 则矢量 中的方向单位矢量 2 12实验测得NaCl的晶体密度 2 16g cm3 试求NaCl晶体中离子间的平衡间距R0 已知Na的原子量为23 Cl的原子量为58 5 解 设晶体共有2N0个离子 晶体的体积 NaCl晶体 N0 6 022 1023 与N0对应的质量应为 M 23 35 5 58 5 g 阿伏加德罗常数 解 1 面心立方 最近邻原子有12个 1 只计及最近邻原子 2 计及最近邻和次近邻原子 和为参数 是参考原子i与其它任一原子j的距离rij同最近邻原子间距R的比值 试计算面心立方的A6和A12 2 计及最近邻和次近邻 次近邻有6个 解 根据体积弹性模量K的定义 得 因而 即 于是 依题给 所以 2 15试用埃夫琴法求由正负一价离子相间构成的二维正方格子的马德隆常数 解 取如图所示单元 采用电荷中性组法进行计算 注意到所取单元边上的粒子仅1 2属于单元 角上的离子仅1 4属于单元 容易验证 所取的单元恰好是一个电荷中性组 用R表示最近邻离子间的距离 取中心的负离子为坐标原点 则其它离子的坐标为 这里 对图中各离子 列表如下 为正负整数 该离子到原点 的距离 因此 所取单元中各离子与中心负离子的互作用势能 2 16NaCl的体积弹性模量K为2 40 1011dyncm 2 计算在0 2Mbar 106bar 1012dyncm 2 下最近邻距离的变化分数 相对变化 假定K为恒量 解 对于NaCl晶体 V NR3 N为正负离子总个数 R为最近邻离子距离 晶体中最近邻原子间的距离缩短了约24 2 17采用雷纳德 琼斯势 求体心立方和面心立方Ne的结合能之比 说明Ne取面心立方结构比体心立方结构更稳定 已知 A12 f 12 13 A6 f 14 45 A12 b 9 11 A6 b 12 25 解 Ne取面心立方结构比取体心立方结构更稳定