高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.4 正态分布课件 新人教A版选修2-3.ppt

2 4正态分布 自主学习新知突破 1 了解正态曲线和正态分布的概念 2 认识正态曲线的特点及曲线所表示的意义 3 会根据正态曲线的性质求随机变量在某一区间范围内的概率 200个产品尺寸的频率分布直方图 若数据无限增多且组距无限缩小 那么频率分布直方图的顶边缩小乃至形成一条光滑的曲线 我们称此曲线为总体密度曲线 问题 你知道正态曲线的函数解析式吗 正态曲线 随机变量X落在区间 a b 的概率为P a X b 即由正态曲线 过点 a 0 和点 b 0 的两条x轴的垂线 及x轴所围成的平面图形的面积 就是X落在区间 a b 的概率的近似值 如图 如果对于任何实数a b a b 随机变量X满足P a X b 则称随机变量X服从正态分布 正态分布完全由参数 和 确定 因此正态分布常记作 如果随机变量X服从正态分布 则记为 正态分布 N 2 X N 2 正态曲线的特点 上方 不相交 x x 4 曲线与x轴之间的面积为 5 当 一定时 曲线的位置由 确定 曲线随着 的变化而沿x轴平移 6 当 一定时 曲线的形状由 确定 曲线越 瘦高 表示总体的分布越集中 曲线越 矮胖 表示总体的分布越分散 1 越小 越大 对参数 的理解 1 正态分布由参数 唯一确定 因此正态分布常记作N 2 2 参数 是反映随机变量取值的平均水平的特征数 可以用样本的均值去估计 是衡量随机变量总体波动大小的特征数 可以用样本标准差去估计 3 原则 正态分布在三个特殊区间内取值的概率P X P 2 X 2 P 3 X 3 0 6826 0 9544 0 9974 解析 由正态密度函数的定义可知 总体的均值 10 方差 2 4 即 2 答案 B 4 设随机变量X N 0 1 求P X 0 P 2 X 2 解析 对称轴X 0 故P X 0 0 5 P 2 X 2 P 0 2 1 X 0 2 1 0 9544 合作探究课堂互动 正态曲线的方程及特征 如图所示 是一个正态曲线 试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式 求出总体随机变量的期望和方差 利用正态分布的对称性求概率 设X N 1 22 试求 1 P 1 X 3 2 P 3 X 5 3 P X 5 思路点拨 首先确定 1 2 然后根据三个特殊区间上的概率值及正态曲线的特点求解 规律方法 求在某个区间内取值的概率的方法 1 利用X落在区间 2 2 3 3 内的概率分别是0 6826 0 9544 0 9974求解 2 充分利用正态曲线的对称性及面积为1的性质求解 熟记正态曲线关于直线x 对称 从而在关于x 对称的区间上概率相等 P X a 1 P X a P X a P X a 特别提醒 在本节中 由于涉及到离散型随机变量的密度曲线 我们在解题时与曲线的图象巧妙结合 抓住曲线的对称特征 会给解题带来很大的方便 2 1 已知随机变量X服从正态分布N 3 1 且P 2 X 4 0 6826 则P X 4 等于 A 0 1588B 0 1587C 0 1586D 0 1585 2 设随机变量 服从正态分布N 2 9 若P c 1 P c 1 则c等于 A 1B 2C 3D 4 2 N 2 9 P c 1 P c 1 P c 1 3 c c 1 c 2 答案 1 B 2 B 正态分布的实际应用 某工厂生产的圆柱形零件的外直径X服从正态分布N 4 0 52 质检人员从该厂生产的1000个零件中随机抽查一件 测得它的外直径为5 7 试判断该厂生产的这批零件是否合格 思路点拨 解此题一定要灵活把握3 原则 将所求问题向P X P 2 X 2 P 3 X 3 进行转化 然后利用特定值求出相应概率 同时要充分利用曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1这一特殊性质 解析 由于X服从正态分布N 4 0 52 由正态分布性质可知 正态分布N 4 0 52 在 4 3 0 5 4 3 0 5 之外的概率只有0 0026 而5 7 2 5 5 5 这说明在一次试验中 出现了几乎不可能发生的小概率事件 所以可以认为该批零件是不合格的 规律方法 求正态变量X在某区间内取值的概率的基本方法 1 根据题目中给出的条件确定 的值 2 将待求问题向 2 2 3 3 这三个区间进行转化 3 利用上述区间求出相应的概率 3 某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布N 70 102 该年级有2000名学生 如果规定低于60分为不及格 求成绩不及格的学生约有多少人 解析 设学生的得分为随机变量X X N 70 102 则 70 10 成绩在60 80间的学生的概率约为 P 70 10 X 70 10 0 6826 随机变量 服从正态分布N 0 1 如果P 1 0 8413 求P 1 0 错解 P 1 0 8413 P 1 0 0 1587 提示 1 求解时 不注意结合图形对称性 错解为P 1 0 1 P 1 0 1587 2 针对 0的正态分布 求某区间上的取值概率时常利用如下两个公式 1 P X x0 1 P X x0 2 P a X b P X b P X a 正解 如图所示 因为P 1 0 8413 所以P 1 1 0 8413 0 1587 所以P 1 0 1587 所以P 1 0 0 5 0 1587 0 3413