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几何证明选讲定理大全 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线 所得的对应线段成比例 若将下图中的直线L2看成是平行于 ABC的边BC的直线 那么可得 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边 或两边的延长线 所得的对应线段成比例 反比 合比 合比 反比 合比 1 如图 EF AB BF FC 5 4 AC 3厘米 则CE 已知在 ABC中 DE BC EF DC 那么下列结论不成立的是 3 如图 ABC中 DE BC DF AC AE 4 EC 2 BC 8 求线段BF CF之长 B 3 直角三角形的射影定理 选修4 1相关定理 直角三角形的射影定理 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项 两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项 证明原理 相似三角形对应边成比例 练习 圆周角定理 选修4 1相关定理 圆心角 如 BOA 圆内角 如 BCA 圆周角 如 BDA 圆外角 如 BFA 角的顶点在圆周上是否顶点在圆周上的角就是圆周角呢 圆心角 圆周角 圆内 外 角 圆周角 顶点在圆上 并且两边都和圆相交的角 圆周角定理 分类讨论 完全归纳法 圆周角定理 圆心角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 圆心角的度数等于它所对弧的度数 推论 圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半 圆周角定理推论 推论1同弧或等弧所对的圆周角相等 同圆或等圆中 相等的圆周角所对的弧相等 推论2半圆 或直径 所对的圆周角是90 90 的圆周角所对的弦是直径 推论3如果三角形一边上的中线等于这条边的一半 那么这个三角形是直角三角形 比较 ACB ADB AEB的大小 如果弧AB 弧CD 那么 E和 F是什么关系 反过来呢 O1和 O2是等圆 若弧AB 弧CD 则 E和 F是什么关系 反过来呢 练习 1 AD是 ABC的高 AE是 ABC的外接圆直径 求证 AB AC AE AD 2 如图 已知AB是 O的弦 半径OP AB 弦PD交AB于C 求证 PA2 PC PD 3 如图 AB与CD交于圆内一点P 求证 弧AD的度数与弧BC的度数的和的一半等于 APD的度数 4 ABC内接于 O 弧AB 弧AC 点D是BC弧上任意一点 AD 6cm BD 5cm CD 3cm 求DE的长 5 ABC中 AD BD分别平分 BAC和 ABC 延长AD交 ABC的外接圆于E 连接BE 求证 BE DE 6 ABC内接于 O AD是 O的直径 CE AD E为垂足 CE的延长线交AB于点F 求证 AC2 AF AB 圆内接四边形的性质与判定定理 选修4 1相关定理 圆内接四边形的性质定理 定理1 圆的内接四边形的对角互补定理2 圆的内接四边形的外角等于它的内角的对角 D B 180 A C 180 EAB BCD FCB BAD 对角互补 外角 内对角 上述定理的逆命题是否成立 圆内接四边形的判定定理 定理 如果一个四边形的对角互补 那么这个四边形的四个顶点共圆 推论1 如果四边形的一个外角等于它的内角的对角 那么这个四边形的四个顶点共圆 推论2 如果四边形一边上的两个顶点的视角相等 那么四边形的四个顶点共圆 证明原理 穷举法 反证法 与圆周角定理有什么关系 若 ADB ABC 180 则ABCD四点共圆 若 PAD DCB 则ABCD四点共圆 若 ADB ACB 则ABCD四点共圆 练习 1 O1和 O2都经过A B两点 经过A点的直线CD与 O1交于点C 与 O2交于点D 经过B点的直线EF与 O1交于点E 与 O2交于点F 求证 CE DF 情况唯一吗 2 如图 CF是 ABC的AB边上的高 FP BC FQ AC 求证 ABPQ四点共圆 3 AD BE是 ABC的两条高 求证 CED ABC 4 如图 已知四边形ABCD内接于圆 延长AB和DC相交于E EG平分 E 且与BC AD分别相交于F G 求证 CFG DGF 5 如图 圆的直径AB CD弦 在CD延长线上任取一点E 连接AE交圆于点F 连接CF 求证 AC EF DE CF 6 如图 已知 O中 AB CD 延长BA DC相交于P点 E为弧BD上一点 CE交BD于F 求证 1 PA PC 2 AB EF BE DF 7 如图 四边形ABCD中 AB DC的延长线交于点E AD BC的延长线交于点F AED AFB的角平分线交于点M 且EM FM 求证 四边形ABCD内接于圆 8 如图 已知 O1与 O2相交于A B两点 P是 O1上一点 PA PB的延长线分别交 O2于点D C O1的直径PE的延长线交CD于点M 求证 PM CD 9 如图 已知 ADC中 D 90 B是AD上一点 AB是 O的直径 E是CD上一点 AE交 O于G AC交 O于F 求证 CFGE四点共圆 圆的切线的性质及判定定理 选修4 1相关定理 切线的性质定理 切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 切线判定的方法 利用切线定义利用圆心到直线的距离等于半径利用切线判断定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 实质为三条性质 1 过圆心 2 过切点 3 垂直于切线 知二得一 练习 1 如图 AB是 O的直径 O过BC的中点D DE AC 求证 DE是 O的切线 2 如图 AB为 O的直径 C为 O上一点 AD和过C点的切线互相垂直 垂足为D 求证 AC平分 DAB 3 如图 AB是 O的直径 BC是 O的切线 切点为B OC平行于弦AD 求证 DC是 O的切线 4 如图 已知 C 90 点O在AC上 CD为 O的直径 O切AB于E 若BC 5 AC 12 求 O的半径 5 如图 D是 O的直径AB延长线上一点 PD是 O切线 P是切点 D 30 求证 PA PD 6 如图 ABC内接于 O 点D在OC的延长线上 sinB 0 5 D 30 1 求证 AD是 O的切线 2 若AC 6 求AD的长 7 如图 在RT ABC中 C 90 BE平分 ABC交AC于点E 点D在AB上 DE EB 1 求证 AC是 BDE的外接圆的切线 2 若AD AE 求EC的长 弦切角的性质 选修4 1相关定理 弦切角 弦切角 顶点在圆上 一边和圆相交 另一边和圆相切的角叫做弦切角 要点 顶点在圆上一边和圆相交一边和圆相切 EAB BCD EAB BCA 极限状态 弦切角的性质 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角 弦切角的性质 分类讨论 完全归纳法 练习 1 如图 已知AB是 O的直径 AC是弦 直线CE和 O切于点C AD CE 垂足为D 求证 AC平分 BAD E 2 如图 O和 O 都经过A B两点 AC是 O 的切线 交 O于C AD是 O的切线 交 O 于D 求证 AB2 BC BD 3 在 ABC中 A的平分线AD交BC于D O过点A 且和BC切于D 和AB AC分别交于E F 求证 EF BC 4 如图 已知PE切 O于E 割线PBA交圆于B A两点 1 求证 AEP EBP 2 若 APE的平分线和AE BE分别交于C D 求证 CE DE CA CE PE PB 5 如图 AB为 O的直径 弦CD AB AE切 O于A 交CD的延长线于E 求证 BC2 AB DE 6 已知 直线MN与AB为直径的半圆相切于点C A 28 1 求 ACM的度数 2 在MN上是否存在一点D 使AB CD AC BC 为什么 与圆有关的比例线段 选修4 1相关定理 相交弦定理 相交弦定理 圆内的两条相交弦 被交点分成的两条线段长的积相等 PA PB PC PD 1 证明思路 相似三角形 推论 射影定理 当CD为直径 AB CD时 PA2 PC PD 特殊 问题 当点P运动到圆上 圆外时结论 1 是否还成立 运动变化 割线定理 切割线定理 切线长定理 割线定理 从圆外一点引圆的两条割线 这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 PA PB PC PD 切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线 切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项 PT2 PA PB 极限 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线 切线长相等 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 PA PC PO平分 CPA 极限 练习 1 圆内的两条弦AB CD相交于圆内一点P 已知PA PB 4 PD 4PC 求CD的长 2 两圆相交于A B两点 P为两圆公共弦AB延长线上的任一点 从P引两圆的切线PC PD 求证 PC PD 3 O的割线PAB交 O于A B两点 割线PCD经过圆心 已知PA 6 AB PO 12 求 O的半径 4 如图 点P为 O的弦AB上的任意点 连接PO PC OP PC交圆于C 求证 PA PB PC2 5 如图 O和 O 都经过点A B PQ切 O于P 交 O 于Q M 交AB的延长线于N 求证 PN2 NM NQ 6 如图 E是圆内两弦AB和CD的交点 直线EF CB 交AD的延长线于F FG切圆于G 求证 1 DFE EFA 2 EF FG 7 如图 AB是 O的直径 过A B引两条弦AD和BE 相交于点C 求证 AC AD BC BE AB2 8 如图 PA是 O的切线 切点为A 过PA的中点M作割线交 O于点B和C 求证 MPB MCP 9 如图 已知AD BE CF分别是 ABC三边的高 H是垂心 AD的延长线交 ABC的外接圆于点G 求证 DH DG 10 如图 O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P E为 O上一点 弧AE 弧AC DE交AB于点F 求证 PF PO PA PB 11 证明 圆的外切四边形的两组对边的和相等 即如图 证明 AB CD AD BC 12 已知PA PB与 O相切于点A B AC是 O的直径 求证 1 OP BC 2 AB AC 2PB BC 13 如图 在以O为圆心的两个同心圆中 A B是大圆上的任意两点 过A B分别作小圆的割线AXY和BPQ 求证 AX AY BP BQ 14 如图 PA切 O于点A 割线PBC交 O于点B C APC的角平分线分别与AB AC相交于点D E 求证 1 AD AE 2 AD2 DB EC