高中数学 第2讲 证明不等式的基本方法 2 反证法与放缩法课件 新人教A版选修4-5.ppt

二反证法与放缩法 1 理解反证法在证明不等式中的应用 掌握用反证法证明不等式的方法 2 掌握放缩法证明不等式的原理 并会用其证明不等式 目标定位 1 利用反证法 几何法 放缩法证明不等式 重点 2 在不等式证明中 常与数列 三角结合 将放缩法渗透其中进行考查 难点 预习学案 1 比较法用比较法证明不等式分为两种方法 2 综合法从 出发 利用 等 经过一系列的推理 论证而得出命题成立 这种证明方法叫做综合法 又叫 法 求差比较法 求商比较法 已知条件 定义 公理 定理 性质 顺推证法或由因导果 3 分析法从 出发 逐步寻求使它成立的 直至所需条件为 从而得出要证的命题成立 这种证明方法叫做分析法 这是一种 的思考和证明的方法 要证的结论 充分条件 已知条件或一个明显成立的事实 执果索因 1 假设 以此为出发点 结合已知条件 应用 等 进行正确的推理 得到和 或已证明的定理 性质 明显成立的事实等 矛盾的结论 以说明假设不正确 从而证明 我们把它称为反证法 2 证明不等式时 通过把不等式中的某些部分的值 或 简化不等式 从而达到证明的目的 我们把这种方法称为放缩法 要证的命题不成立 公理 定义 定理 命题的条件 原命题成立 放大 缩小 1 lg9 lg11与1的大小关系是 A lg9 lg11 1B lg9 lg11 1C lg9 lg11 1D 不能确定 2 否定 自然数a b c中恰有一个为偶数 时正确的反设为 A a b c都是奇数B a b c都是偶数C a b c中至少有两个偶数D a b c中至少有两个偶数或都是奇数解析 a b c是否是偶数 共为全不是偶数 1个偶数 2个偶数 3个偶数共四种情况 恰有一个偶数的否定为至少有2个偶数或全是奇数 答案 D 课堂学案 已知0 x 2 0 y 2 0 z 2 求证 x 2 y y 2 z z 2 x 不都大于1 思路点拨 不都大于1 即等价于 至少有一个小于或等于1 由于涉及三个式子 它们出现的情况很多 此类问题的常用方法是考虑问题的反面 即 不都 的反面为 都 可用反证法来证明 反证法证明不等式 用反证法证 至多 至少 型问题 2 实数a b c d满足a b c d 1 ac bd 1 求证 a b c d中至少有一个是负数 思路点拨 本题的结论是 至少 型 包含的情况较多 直接证明比较麻烦 可以考虑用反证法加以证明 证明 假设a b c d都是非负数 即a 0 b 0 c 0 d 0 则1 a b c d ac bd ad bc ac bd 这与已知中ac bd 1矛盾 原假设错误 a b c d中至少有一个是负数 放缩法证明不等式 1 要证不等式M N 先假设M N 由题设及其他性质 推出矛盾 从而肯定M N成立 凡涉及证明不等式为否定性命题 唯一性命题或是含 至多 至少 等字句时 可考虑使用反证法 反证法 2 反证法证明不等式的步骤是 反设 假设不等式的结论不成立 归谬 从假设出发 经过推理论证 得出矛盾 断言 由矛盾得出反设不成立 反证法一般用于直接证明难以将已知条件与特征结论进行沟通 或者直接证明缺少条件 的情形 3 反证法中的数学语言反证法适宜证明 存在性问题 唯一性问题 带有 至少有一个 或 至多有一个 等字样的问题 或者说 正难则反 直接证明有困难时 常采用反证法 下面我们列举一下常见的涉及反证法的文字语言及其相对应的否定假设 对某些数学语言的否定假设要准确 以免造成原则性的错误 有时在使用反证法时 对假设的否定也可以举一定的特例来说明矛盾 在一些选择题中 更是如此 1 要证明不等式A B成立 有时可以将它的一边放大或缩小 寻找一个中间量 如将A放大成C 即A C 后证C B 这种证法便称为放缩法 常用的放缩技巧有 1 舍掉 或加进 一些项 2 在分式中放大或缩小分子或分母 放缩法