高中数学 第1章 常用逻辑用语 3 全称量词与存在量词课件 北师大版选修1-1.ppt

3全称量词与存在量词 学课前预习学案 考察下面几个命题 1 偶函数的图像关于y轴对称 2 正四棱柱都是平行六面体 3 有大于等于3的实数 4 有些向量的模为1 5 指数函数中有单调递增函数 其中哪些命题中含有 所有的 任意的 意思 哪些命题中含有 存在 至少有一个 的意思 你能用上这几个短语中的某一个重新叙述原来的命题吗 提示 1 与 2 中有 所有的 任意的 意思 3 4 5 中都有 存在一个 至少有一个的意思 1 可以叙述为 所有偶函数的图像都关于y轴对称 2 可以叙述为 所有的正四棱柱都是平行六面体 3 可以叙述为 存在大于等于3的实数 4 可以叙述为 存在模为1的向量 5 可以叙述为 至少有一个指数函数是单调递增函数 像 所有 每一个 任何 任意 一切 都是在指定范围内 表示 的含义 这样的词叫作全称量词 通常用符号 表示 含有 的命题 叫作全称命题 1 全称量词与全称命题 整体或全部 全称量词 1 常用的全称量词 一般地 日常生活和数学中所用的 一切的 所有的 每一个 任意的 凡 都 等词可统称为全称量词 表示指定范围内的所有个体 2 全称命题的格式 一般地 设p x 是某集合M的所有元素都具有的性质 那么全称命题就是形如 对M中的所有x p x 成立 的命题 可以用符号简记为 x M p x 我们将表示事物的 的含义的量词叫作存在量词 通常用符号 表示 含有 的命题 叫作特称命题 2 存在量词与特称命题 个别或一部分 存在量词 1 常用的存在量词 一般地 日常生活和数学中所用的 存在 有一个 有的 至少有一个 等词统称为存在量词 记作 x y等 2 特称命题的格式 一般地 设q x 是某集合M的有些元素具有的性质 那么特称命题就是形如 存在集合M中的元素x q x 成立 的命题 用符号简记为 x M q x 1 全称命题p x M 有p x 成立 其否定命题为 2 特称命题p x M 使p x 成立 其否定命题为 3 全称命题与特称命题的否定 x M 使p x 不成立 x M 有p x 不成立 1 对全称命题与特称命题进行否定的方法 确定所给命题类型 分清是全称命题还是特称命题 改变量词 把全称量词换为恰当的存在量词 把存在量词换为恰当的全称量词 否定性质 原命题中的 是 有 存在 成立 等更改为 不是 没有 不存在 不成立 等 1 下列命题中是全称命题并且是真命题的是 A 每个二次函数的图像都开口向上B 对任意非正数c 若a b c 则a bC 存在一条直线与两个相交平面都垂直D 存在一个实数x0使不等式x 3x0 6 0成立解析 A是全称命题 但是假命题 C D是特称命题 B是全称命题 并且是真命题 答案 B 2 命题 有的函数没有解析式 的否定是 A 有的函数有解析式B 任何函数都没有解析式C 任何函数都有解析式D 多数函数有解析式解析 原命题是特称命题 它的否定应是全称命题 答案 C 3 下列语句 有一个实数a不能取对数 所有不等式的解集A 都有A R 自然数的平方是正数 其中全称命题有 特称命题有 填序号 解析 因为 含有存在量词 所以 为特称命题 因为 自然数的平方是正数 的实质是 任意一个自然数的平方都是正数 含有全称量词 故 均为全称命题 答案 4 指出下列命题中 哪些是全称命题 哪些是特称命题 并判断真假 1 当a 1时 曲线y ax与曲线y logax有交点 2 被5整除的整数的末位数字都是0 3 有的四边形没有外接圆 解析 1 2 是全称命题 3 是特称命题 对 1 当a 1时 y ax与y logax都是增函数且两函数是互为反函数 图像关于直线y x对称故没有交点 所以 1 是假命题 对于 2 末位数字是5的整数也能被5整除 2 是假命题 对于 3 只有对角互补的四边形才有外接圆 3 是真命题 讲课堂互动讲义 判断下列语句是全称命题 还是特称命题 1 凸多边形的外角和等于360 2 有的向量方向不定 3 对任意角 都有sin2 cos2 1 4 矩形的对角线不相等 5 若一个四边形是菱形 则这个四边形的对角线互相垂直 全称命题 特称命题辨析 思路导引 先确定命题中含有 或隐含 的量词类型 再判断命题类型 边听边记 个别语句中全称量词和存在量词体现的不明显 给判断造成困难 从而容易出现错误 因此我们要根据命题涉及的意义去判断 区分是一般性结论 还是对特殊例子才成立的结论 大家熟悉的判定定理多数是特称命题 而性质定理多数是全称命题 1 判断下列命题是全称命题还是特称命题 1 指数函数都是单调函数 2 负数的平方是正数 3 有的实数是无限不循环小数 4 有些三角形不是等腰三角形 5 每个二次函数的图像都与x轴相交 解析 1 2 尽管不含量词 但其意义是指 所有的 故 1 2 为全称命题 3 是特称命题 4 是特称命题 5 是全称命题 判定全称命题 特称命题的真假 1 要确定一个全称命题是真命题 必须对所有元素验证 即给出严格的证明 要确定一个全称命题是假命题 只需举出一个反例 2 要确定一个特称命题是真命题 只需找到一个满足要求的特例 要确定一个特称命题是假命题 需要严格证明对所有元素均不符合要求 2 判断下列命题的真假 1 所有的素数都是奇数 2 有一个实数 使x2 2x 3 0 3 有些整数只有两个正因数 4 所有奇数都能被3整除 解析 1 2是素数 但不是奇数 所以 全称命题 所有素数都是奇数 是假命题 2 对于任意x x2 2x 3 x 1 2 2 2 因此 使x2 2x 3 0的实数x不存在 所以特称命题 有一个实数 使x2 2x 3 0 是假命题 3 由于存在整数3只有两个正因数1和3 所以特称命题 有些整数只有两个正因数 是真命题 4 由于存在奇数1不能被3整除 所以全称命题 所有奇数都能被3整除 是假命题 12分 写出下列命题的否定 并判断其真假 1 p 任意的x R 都有 x x 2 p 任意的x R x3 x2 3 p 至少有一个二次函数没有零点 4 p 存在一个角 R 使得sin2 cos2 1 含有一个量词的命题的否定及其真假判定 1 特称命题的否定是全称命题 因此否定一个特称命题时 要把存在量词换成全称量词 再否定命题的结论即可 全称命题的否定是特称命题 因此否定一个全称命题时 要把全称量词换成存在量词 再否定命题的结论即可 2 命题的否定与原命题的真假性相反 可以用这一特点进行全称命题与特称命题的真假判断 也可以借助该结论检验所写命题的否定是否正确 3 判断下列命题的真假 写出这些命题的否定并判断真假 1 三角形的内角和为180 2 每个二次函数的图像都开口向下 3 存在一个四边形不是平行四边形 4 存在一个实数x0 使得3x0 0 解析 1 全称命题 且为真命题 否定 三角形的内角和不全为180 即存在一个三角形 且它的内角和不等于180 是假命题 2 全称命题 且为假命题 否定 存在一个二次函数的图像开口不向下 是真命题 3 特称命题 且为真命题 否定 所有四边形都是平行四边形 是假命题 4 特称命题 且为假命题 否定 对于所有实数x 都满足3x 0 是真命题 写出下列命题的否定形式的命题 1 矩形的四个角都是直角 2 所有的方程都有实数解 3 4 3 错解 1 矩形的四个角都不是直角 2 所有的方程都没有实数解 3 4 3 错因 1 错误的原因在于 四个角都是直角 的否定有以下几种情况 四个角都不是直角 三个角不是直角 两个角不是直角 一个角不是直角 上述否定形式只指出反面的一种情况而没有否定全部情况 因而是错误的 2 错误的原因同 1 类似 否定词用错 3 错误的原因是认为4 3的反面是4 3 而忽视了4 3的情况 正解 1 矩形的四个角不都是直角 2 有些方程没有实数解 3 4 3