高中数学 第四讲 数学归纳法证明不等式高效整合课件 新人教A版选修4-5.ppt

知识网络构建 考纲考情点击 课标导航 1 本讲的内容一是数学归纳法 二是用数学归纳法证明不等式 主要题型是用数学归纳法证明与正整数n有关的等式 不等式 整除问题 几何命题 数列中的归纳猜想并证明 以及用贝努利不等式证明一些简单问题 2 本讲的重点是数学归纳法的概念和证明等式和不等式问题 难点是与数列结合的证明题 题型属于中档题 与数列有关的证明属于难度题 命题探究 热点考点例析 开始学习数学归纳法时 常常会遇到两个困难 一是数学归纳法的实质不容易理解 二是归纳步骤的证明有时感到难以入手 本部分将对几种常见的错误及归纳步骤证明的基本方法进行讨论 进一步理解数学归纳法的原理 弄清它的实质 明确如何正确使用数学归纳法 数学归纳法的使用 两步缺一不可 1 缺第二步不可如果一个命题对于开始的一些正整数都成立 那么由P k 成立导出P k 1 成立是必然的 因此第二步归纳步骤是流于形式 证与不证似乎一样 显然这是不正确的 产生这种错误想法的原因在于没有认识到归纳步骤所起的递推作用 如果没有递推性 那么一个命题可能对于开始的许多正整数都成立 但是一般的并不成立 2 缺第一步也不可数学归纳法的第二步归纳步骤中有递推作用 而且k又可以任意取值 这样就够了 有没有第一步无关紧要 这种认识也是错误的 它忽视了第一步的奠基作用 因此如果没有P 1 成立 归纳假设P k 成立就没有了依据 因此递推性也就成了无源之水 不要奠基步骤 我们来证明 n 1 2 n 2 2一定是偶数 n N 解析 假设n k时命题成立 即 k 1 2 k 2 2是偶数 当n k 1时 k 1 1 2 k 1 2 2 k 2 2 k 1 2 4 k 1 4 k 1 2 k 2 2 4 k 2 由假设 k 1 2 k 2 2是偶数 又4 k 2 也是偶数 所以上式是偶数 这就是说n k 1时命题也成立 由此 对于任意的正整数n n 1 2 n 2 2一定是偶数 技巧归纳 这个结论显然是错误的 原因就在于证明中缺少第一步奠基步骤 实际上 n 1时 1 1 2 1 2 2 4 9 13不是偶数 这说明使用数学归纳法时缺第一步不可 在使用数学归纳法证明时 一般说来 第一步验证比较简明 而第二步归纳步骤情况较复杂 因此 熟悉归纳步骤的证明方法是十分重要的 其实归纳步骤可以看作是一个独立的证明问题 归纳假设 P k 是问题的条件 而命题P k 1 成立就是所要证明的结论 因此 合理运用归纳假设这一条件就成了归纳步骤中的关键 下面简要分析一些常用技巧 1 分析综合法用数学归纳假设证明关于自然数n的不等式 从 P k 到 P k 1 常常可用分析综合法 数学归纳法证题的常用技巧 方法技巧 在第二步的证明中 利用了分析法 思维导引 利用数学归纳法证明不等式关键是利用放缩 凑假设 凑结论 但要注意从n k变化到n k 1时增了多少项 少了多少项 一般用f k 1 f k 来研究增加或减少的项的多少 3 递推法用数学归纳法证明与数列有关的问题时 有时要利用an与an 1的关系 实现从 n k 到 n k 1 的过渡 方法技巧 利用数学归纳法证明几何问题 关键是找出由n k到n k 1时的增量 5 凑成法用数学归纳法证明关于正整数的命题 尤其是整除 时 从 k 过渡到 k 1 常常用凑成法 由假设可知3 62k 3k 2 3k 是11的倍数 而33 62k也是11的倍数 即n k 1时 原命题成立 由 1 2 可知 对任意n N 原命题成立 方法技巧 利用数学归纳法证明等式或整除问题 关键是利用 加 减 项 拆 并 项等恒等变形的方法 去 凑 假设 凑 结论 1 特殊与一般思想人们对一类新事物的认识往往是从这类事物中的个体开始的 通过对某些个体的认识与研究 逐渐积累对这类事物的了解 逐渐形成对这类事物总体的认识 发现特点 掌握规律 形成共识 由浅入深 由现象到本质 由局部到整体 这种认识事物的过程是由特殊到一般的认识过程 这种由特殊到一般 由一般到特殊的研究数学问题的思想 就是数学研究中的特殊与一般思想 本章的许多问题都是从特殊开始 通过归纳总结得出结论 然后再用数学归纳法证明 数学归纳法中的数学思想 将全体正整数排成一个三角形数阵 如右图所示 按照以上排列的规律 第n行 n 3 从左向右的第3个数为 思维导引 观察数阵知 从上到下是自然数列1 2 3 n 第n行的第一个数是前n 1行正整数的个数加1 方法技巧 此类问题解决的方法是通过观察 比较 分析 总结 运用归纳 类比推理获得结论 最后证明结论正确 简言之 归纳 猜想 数学归纳法 2 分类讨论的思想方法所谓分类讨论 就是当问题所给的对象不能进行统一研究时 就需要对研究对象按某个标准分类 然后对每一类分别研究得出每一类的结论 最后综合各类结果得到整个问题的解答 实质上 分类讨论是 化整为零 各个击破 再积零为整 的数学策略 本章中利用数学归纳法证明某些条件不等式问题时 常进行分类讨论 因为a1 1 a2 1所以 a1 1 a2 1 0 即a1 a2 a1a2 1成立 由 得 所以当n k 1时 命题成立 由 1 2 可知 对一切正整数n 如果n n为正整数 个正数a1 a2 an的乘积a1a2 an 1 那么它们的和a1 a2 an n 方法技巧 为了能够利用归纳假设 把乘积看作一个数处理 这就是数学中的整体思想 希望大家重视