高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 3.1 双曲线及其标准方程课件 北师大版选修1-1.ppt

3双曲线3 1双曲线及其标准方程 学课前预习学案 我海军 马鞍山 舰和 千岛湖 舰组成护航编队远赴亚丁湾 在索马里海域执行护航任务 某日 马鞍山 舰哨兵监听到附近海域有快艇的马达声 与 马鞍山 舰相距1600m的 千岛湖 舰 3s后也监听到了该马达声 声速为340m s 如果把快艇视为一个动点 那么该动点满足的条件是什么 它的轨迹是什么曲线呢 提示 用A B分别表示 马鞍山 舰和 千岛湖 舰所在的位置 点M表示快艇 则 MB MA 340 3 1020 小于 AB 1600 因此 点M 快艇 的运动轨迹应是双曲线的一支 平面内与两个定点F1 F2的距离的 等于常数 小于 F1F2 且不等于零 的点的轨迹叫做双曲线 这 叫做双曲线的焦点 叫做双曲线的焦距 1 双曲线的定义 差的绝对值 两个定点 两焦点间的距离 1 定义中的条件2a F1F2 不可缺少 若2a F1F2 则动点的轨迹是以F1或F2为端点的射线 若2a F1F2 则动点的轨迹不存在 2 定义中的常数2a是小于 F1F2 且大于0的实数 若a 0 则动点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线 3 注意定义中的关键词 绝对值 若去掉定义中的 绝对值 三个字 则动点的轨迹只能是双曲线的一支 2 双曲线的标准方程 1 在椭圆的定义中要求a b 0 而在双曲线的定义中a 0 b 0 a不一定大于b 双曲线标准方程中 a b确定了双曲线的形状和大小 是双曲线定形的条件 其中c2 a2 b2 双曲线中的a b c构成阴影直角三角形的三条边 如图所示 正确理解a b c的几何意义 对解决双曲线的有关问题有很大帮助 2 焦点位置的判断方法双曲线的标准方程中 焦点的位置由x y前的符号来确定 如果x2前的符号为正 焦点就在x轴上 如果y2前的符号为正 则焦点就在y轴上 同学可以这样来记 焦点位置看符号 焦点跟着正的走 3 双曲线的标准方程可以统一为mx2 ny2 1 mn 0 当焦点所在的坐标轴不易判断时 可设此种形式 解析 焦点在x轴上 c 3 b 2 a2 c2 b2 5 答案 A 解析 由题意a2 9 a 3 p到两焦点距离差等于2a 6所以到另一个焦点距离为9 答案 D 3 已知双曲线的焦点在x轴上 且a c 9 b 3 则它的标准方程是 讲课堂互动讲义 已知双曲线通过M 1 1 N 2 5 两点 求双曲线的标准方程 求双曲线的标准方程 求双曲线的标准方程首先要做的是确定焦点的位置 如果不能确定 解决方法有两种 一是对两种情形进行讨论 有意义的保留 无意义的舍去 二是设双曲线方程为mx2 ny2 1 mn0 n0 那么焦点在y轴上 在已知双曲线的两个焦点及经过一个点时 可以用双曲线的定义 直接求出a 应加强练习 注意体会 双曲线定义的应用 与焦点有关的问题应考虑利用定义 一些小巧的题目 其考查点就是双曲线的定义 合理利用定义往往是优化解题的关键 双曲线标准方程的应用 方程表示双曲线 则x2 y2的系数异号 当x2的系数为正时 焦点在x轴上 否则焦点在y轴上 当x2 y2的系数正负不确定时 要注意分类讨论 3 方程x2sin y2cos 1表示焦点在y轴上的双曲线 试确定角 所在的象限 已知圆C1 x 3 2 y2 1和圆C2 x 3 2 y2 9 动圆M同时与圆C1及圆C2相外切 求动圆圆心M的轨迹方程 错解 如图所示 设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B 根据两圆外切的条件 得 MC1 AC1 MA MC2 BC2 MB MA MB MC1 AC1 MC2 BC2 即 MC2 MC1 2