高中数学 第三章 数学归纳法与贝努利不等式课件 新人教B版选修4-5.ppt

本章整合 专题 专题数学归纳法证题的常用技巧在使用数学归纳法证明时 一般说来 第一步 验证比较简明 而第二步归纳步骤情况较复杂 因此 熟悉归纳步骤的证明方法是十分重要的 其实归纳步骤可以看作是一个独立的证明问题 归纳假设 P k 是问题的条件 而命题P k 1 成立就是所要证明的结论 因此 合理运用归纳假设这一条件就成了归纳步骤中的关键 下面简要分析一些常用技巧 1 分析综合法用数学归纳假设证明关于自然数n的不等式 从 P k 到 P k 1 常常可用分析综合法 专题 专题 专题 专题 2 ak 1 bk 1 a b ak bk 2 ak 1 bk 1 ak 1 abk bak bk 1 0 ak 1 abk bak bk 1 0 a b ak bk 0 因为a b与 ak bk 同正负 或同时为0 所以最后一个不等式显然成立 即当n k 1时 不等式成立 专题 2 放缩法涉及关于正整数n的不等式 从 k 过渡到 k 1 有时也考虑用放缩法 专题 专题 3 递推法用数学归纳法证明与数列有关的问题时 有时要利用an与an 1的关系 实现从 k 到 k 1 的过渡 专题 即当n k 1时 原不等式也成立 根据 1 2 可知 当n N 时 原不等式都成立 专题 4 构造配凑法用数学归纳法证明关于正整数的命题 尤其是整除 时 从 k 过渡到 k 1 常常用构造配凑法 应用5求证 62n 3n 2 3n是11的倍数 n N 证明 1 当n 1时 62 1 31 2 31 66 是11的倍数 2 假设当n k k N 且k 1 时 命题成立 即62k 3k 2 3k是11的倍数 则当n k 1时 62 k 1 3k 3 3k 1 62k 2 3k 3 3k 1 36 62k 3 3k 2 3 3k 33 62k 3 62k 3 3k 2 3 3k 33 62k 3 62k 3k 2 3k 由假设可知3 62k 3k 2 3k 是11的倍数 而33 62k也是11的倍数 故n k 1时 原命题也成立 根据 1 2 可知 对任意n N 原命题成立 专题 5 几何法 几何类 命题的证题关键是先要从证明当n k 1时命题成立的结论中 分解出当n k时命题成立的部分 然后去证余下的部分 应用6在同一平面内有n条直线 每两条不平行 任意三条不共点 求证 它们将此平面分 专题 湖北高考 1 已知函数f x rx xr 1 r x 0 其中r为有理数 且0 r 1 求f x 的最小值 2 试用 1 的结果证明如下命题 设a1 0 a2 0 b1 b2为正有理数 若b1 b2 1 则 a1b1 a2b2 3 请将 2 中的命题推广到一般形式 并用数学归纳法证明你所推广的命题 注 当 为正有理数时 有求导公式 x x 1 解 1 f x r rxr 1 r 1 xr 1 令f x 0 解得x 1 当01时 f x 0 所以f x 在 1 内是增函数 故函数f x 在x 1处取得最小值f 1 0 假设当n k时 成立 即若a1 a2 ak为非负实数 b1 b2 bk为正有理数 又 1 bk 1 bk 1 1 由 得 bk 1 ak 1bk 1 a1b1 a2b2 akbk ak 1bk 1 故当n k 1时 成立 根据 可知 对一切正整数n 所推广的命题成立 说明 3 中如果推广形式中指出 式对n 2成立 则后续证明中不需讨论n 1的情况