高中数学 第2章 概率 5 离散型随机变量的均值与方差 第2课时 离散型随机变量的方差课件 北师大版选修2-3.ppt

第2课时离散型随机变量的方差 课前预习学案 1 定义 设X是一个离散型随机变量 我们用E X EX 2来衡量X与EX的 E X EX 2是 的期望 并称之为随机变量X的方差 记为 离散型随机变量的方差 平均偏离程度 X EX 2 DX 对离散型随机变量的方差的理解1 DX表示随机变量X对EX的平均偏离程度 DX越大表明平均偏离程度越大 说明X的取值越分散 反之DX越小 X的取值越集中 2 随机变量的方差与样本方差的关系随机变量的方差即为总体的方差 它是一个常数 不随抽样样本的变化而改变 样本方差则是随机变量 它随样本的不同而变化 对于简单随机样本 随着样本容量的增加 样本方差越来越接近于总体方差 常用分布的方差1 两点分布 若X服从两点分布 则DX p 1 p 上述公式证明如下 由于X服从两点分布 即P X 0 1 p P X 1 p EX p EX2 02 1 p 12 p p DX EX2 EX 2 p p2 p 1 p 1 有甲 乙两种水稻 测得每种水稻各10株的分蘖数据 计算出样本方差分别为DX甲 11 DX乙 3 4 由此可以估计 A 甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐B 乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐C 甲 乙两种水稻分蘖整齐程度相同D 甲 乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较 解析 DX甲 DX乙 乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐 答案 B 答案 A 答案 1 1 4 已知某运动员投篮命中率p 0 6 1 求投篮一次时 命中次数X的均值与方差 2 求重复5次投篮时 命中次数Y的均值与方差 解析 1 投篮一次命中次数X的分布列为 则EX 0 0 4 1 0 6 0 6 DX 0 0 6 2 0 4 1 0 6 2 0 6 0 24 2 由题意 重复5次投篮 命中的次数Y服从二项分布 即Y B 5 0 6 所以EY 5 0 6 3 DY 5 0 6 0 4 1 2 课堂互动讲义 已知离散型随机变量X的概率分布列为 求离散型随机变量的方差 思路导引 直接利用随机变量的均值和方差公式求解 给出离散型随机变量的分布列求均值和方差时 一定要熟练掌握均值和方差的公式 尤其是方差公式DX E X EX 2在求解时千万不要忘记平方 解析 由分布列可得 EX 0 0 1 1 0 15 2 0 25 3 0 25 4 0 15 5 0 1 2 5 因为DX 0 2 5 2 0 1 1 2 5 2 0 15 2 2 5 2 0 25 3 2 5 2 0 25 4 2 5 2 0 15 5 2 5 2 0 1 2 05 甲 乙两种水稻在相同条件下各种植100亩 收获的情况如下 甲 乙 试评价哪种水稻的质量较好 方差的实际应用 思路导引 解答本题应先列出甲 乙两种水稻的概率分布 再求期望与方差 均值仅体现了随机变量取值的平均大小 如果两个随机变量的均值相等 还要看随机变量的方差 方差大说明随机变量取值较分散 方差小 说明取值比较集中 因此 在利用均值和方差的意义去分析解决问题时 两者都要分析 解析 甲保护区违规次数X的数学期望和方差为EX 0 0 3 1 0 3 2 0 2 3 0 2 1 3 DX 0 1 3 2 0 3 1 1 3 2 0 3 2 1 3 2 0 2 3 1 3 2 0 2 1 21 乙保护区的违规次数Y的数学期望和方差为 EY 0 0 1 1 0 5 2 0 4 1 3 DY 0 1 3 2 0 1 1 1 3 2 0 5 2 1 3 2 0 4 0 41 因为EX EY DX DY 所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同 但甲保护区的违规事件次数相对分散和波动 乙保护区内的违规事件次数更加集中和稳定 12分 在一个不透明的纸袋里装有5个大小相同的小球 其中有1个红球和4个黄球 规定每次从袋中任意摸出一球 若摸出的是黄球则不再放回 直到摸出红球为止 求摸球次数X的期望和方差 期望 方差的综合问题 求离散型随机变量X的均值和方差的基本步骤 1 理解X的意义 写出X可能取的全部值 2 求X取每个值时的概率 3 写X的分布列 4 求EX DX 3 某人投弹击中目标的概率为p 0 8 1 求投弹一次 命中次数X的均值和方差 2 求重复10次投弹时 击中次数Y的均值