三角函数的正交性.ppt

第七节 一 三角级数及三角函数系的正交性 机动目录上页下页返回结束 二 函数展开成傅里叶级数 三 正弦级数和余弦级数 第十一章 傅里叶级数 一 三角级数及三角函数系的正交性 简单的周期运动 谐波函数 A为振幅 复杂的周期运动 令 得函数项级数 为角频率 为初相 谐波迭加 称上述形式的级数为三角级数 机动目录上页下页返回结束 定理1 组成三角级数的函数系 证 同理可证 正交 上的积分等于0 即其中任意两个不同的函数之积在 机动目录上页下页返回结束 上的积分不等于0 且有 但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 机动目录上页下页返回结束 二 函数展开成傅里叶级数 定理2 设f x 是周期为2 的周期函数 且 右端级数可逐项积分 则有 证 由定理条件 对 在 逐项积分 得 机动目录上页下页返回结束 利用正交性 类似地 用sinkx乘 式两边 再逐项积分可得 机动目录上页下页返回结束 叶系数为系数的三角级数 称为 的傅里叶系数 由公式 确定的 以 的傅里 的傅里叶级数 称为函数 傅里叶目录上页下页返回结束 定理3 收敛定理 展开定理 设f x 是周期为2 的 周期函数 并满足狄利克雷 Dirichlet 条件 1 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点 2 在一个周期内只有有限个极值点 则f x 的傅里叶级数收敛 且有 x为间断点 其中 证明略 为f x 的傅里叶系数 x为连续点 注意 函数展成傅里叶级数的条件比展成幂级数的条件低得多 简介目录上页下页返回结束 例1 设f x 是周期为2 的周期函数 它在 上的表达式为 解 先求傅里叶系数 将f x 展成傅里叶级数 机动目录上页下页返回结束 机动目录上页下页返回结束 1 根据收敛定理可知 时 级数收敛于 2 傅氏级数的部分和逼近 说明 f x 的情况见右图 机动目录上页下页返回结束 例2 上的表达式为 将f x 展成傅里叶级数 解 设f x 是周期为2 的周期函数 它在 机动目录上页下页返回结束 说明 当 时 级数收敛于 机动目录上页下页返回结束 周期延拓 傅里叶展开 上的傅里叶级数 定义在 上的函数f x 的傅氏级数展开法 其它 机动目录上页下页返回结束 例3 将函数 级数 则 解 将f x 延拓成以 展成傅里叶 2 为周期的函数F x 机动目录上页下页返回结束 利用此展式可求出几个特殊的级数的和 当x 0时 f 0 0 得 说明 机动目录上页下页返回结束 设 已知 又 机动目录上页下页返回结束 三 正弦级数和余弦级数 1 周期为2 的奇 偶函数的傅里叶级数 定理4 对周期为2 的奇函数f x 其傅里叶级数为 周期为2 的偶函数f x 其傅里叶级数为余弦级数 它的傅里叶系数为 正弦级数 它的傅里叶系数为 机动目录上页下页返回结束 例4 设 的表达式为f x x 将f x 展成傅里叶级数 是周期为2 的周期函数 它在 解 若不计 周期为2 的奇函数 因此 机动目录上页下页返回结束 n 1 根据收敛定理可得f x 的正弦级数 级数的部分和 n 2 n 3 n 4 逼近f x 的情况见右图 n 5 机动目录上页下页返回结束 例5 将周期函数 展成傅里叶级数 其 中E为正常数 解 是周期为2 的 周期偶函数 因此 机动目录上页下页返回结束 机动目录上页下页返回结束 2 在 0 上的函数展成正弦级数与余弦级数 周期延拓F x f x 在 0 上展成 周期延拓F x 余弦级数 奇延拓 偶延拓 正弦级数 f x 在 0 上展成 机动目录上页下页返回结束 例6 将函数 分别展成正弦级 数与余弦级数 解 先求正弦级数 去掉端点 将f x 作奇周期延拓 机动目录上页下页返回结束 注意 在端点x 0 级数的和为0 与给定函数 机动目录上页下页返回结束 因此得 f x x 1的值不同 再求余弦级数 将 则有 作偶周期延拓 机动目录上页下页返回结束 说明 令x 0可得 即 机动目录上页下页返回结束 内容小结 1 周期为2 的函数的傅里叶级数及收敛定理 其中 注意 若 为间断点 则级数收敛于 机动目录上页下页返回结束 2 周期为2 的奇 偶函数的傅里叶级数 奇函数 正弦级数 偶函数 余弦级数 3 在 0 上函数的傅里叶展开法 作奇周期延拓 展开为正弦级数 作偶周期延拓 展开为余弦级数 1 在 0 上的函数的傅里叶展开法唯一吗 答 不唯一 延拓方式不同级数就不同 机动目录上页下页返回结束 思考与练习 处收敛于 2 则它的傅里叶级数在 在 处收敛于 提示 设周期函数在一个周期内的表达式为 机动目录上页下页返回结束 3 设 又设 求当 的表达式 解 由题设可知应对 作奇延拓 由周期性 为周期的正弦级数展开式的和函数 定义域 机动目录上页下页返回结束 4 写出函数 傅氏级数的和函数 答案 定理3目录上页下页返回结束 备用题1 叶级数展式为 则其中系 提示 利用 偶倍奇零 93考研 机动目录上页下页返回结束 的傅里 2 设 是以2 为周期的函数 其傅氏系数为 则 的傅氏系数 提示 令 机动目录上页下页返回结束 傅里叶 1768 1830 法国数学家 他的著作 热的解析 理论 1822 是数学史上一部经典性 书中系统的运用了三角级数和 三角积分 他的学生将它们命名为傅 里叶级数和傅里叶积分 最卓越的工具 以后以傅里叶著作为基础发展起来的 文献 他深信数学是解决实际问题 傅里叶分析对近代数学以及物理和工程技术的发展 都产生了深远的影响 狄利克雷 1805 1859 德国数学家 对数论 数学分析和 数学物理有突出的贡献 是解析数论 他是最早提倡严格化 方法的数学家 函数f x 的傅里叶级数收敛的第一个充分条件 了改变绝对收敛级数中项的顺序不影响级数的和 举例说明条件收敛级数不具有这样的性质 他的主要 的创始人之一 并 论文都收在 狄利克雷论文集 1889一1897 中 1829年他得到了给定 证明