一元函数积分(定积分的几何应用).ppt

中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组 3 3定积分的应用 高等数学A 第3章一元函数积分学 3 3 1平面图形的面积3 3 2体积 1 3 3定积分的应用 3 3 1平面图形的面积 问题的提出与微元法 直角坐标情形 参数方程情形 计算平面图形面积习例1 4 极坐标情形 计算平面图形面积习例5 7 3 3 2立体体积 旋转体的体积 计算立体体积习例8 11 内容小结 定积分的几何应用 回顾 曲边梯形求面积的问题 一 问题的提出与微元法 将曲边梯形面积表示为定积分的步骤如下 提示 1 求总体量 先求部分量 以不变代变 2 对部分量求和取极限 若所求量U须满足条件 1 U是与一个变量x的变化区间 a b 有关的量 2 U对于区间 a b 具有可加性 就是说 如果把区间 a b 分成许多部分区间 则U相应地分成许多部分量 而U等于所有部分量之和 则可用定积分来表达这个量U 微元法的一般步骤 根据问题的具体情况 选取一个变量 如x 为积分变量 并确定它的变化区间 a b 2 设想把区间 a b 分成n个小区间 取其中任一小区间并记为 x x dx 求出相应于这小区间的部分量 U的近似值 如果 U能近似地表示为 a b 上的一个连续函数在x处的值f x 与dx的乘积 就把f x dx称为量U的微元 且记为dU 这个方法通常叫做微元法 应用方向 平面图形的面积 体积 平面曲线的弧长 功 水压力 引力和平均值等 曲边梯形的面积 围成图形的面积 1 直角坐标情形 二 平面图形的面积 说明 注意各积分区间上被积函数的形式 则曲边梯形面积 此时要注意曲边是有正方向的 从而确定出起点和终点 当你沿曲边朝着这方向前进时曲边梯形将在你的右边 2 参数方程情形 计算平面图形面积习例 例4 例1 例2 例3 解 两曲线的交点 选x为积分变量 例1 两曲线的交点 选为积分变量 例2 解 椭圆的参数方程 由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积 例3 解 例4 解 所求面积 面积元素 曲边扇形的面积 3 极坐标情形 计算平面图形面积习例 例5 例6 例7 由对称性知总面积 4倍第一象限部分面积 例5 解 利用对称性知 例6 解 例7 解 旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体 这直线叫做旋转轴 圆柱 圆锥 圆台 旋转体的体积 三 立体体积 旋转体的体积为 例8 例10 例11 计算立体体积习例 例9 解 例8 解 1 绕x轴旋转时 选x为积分变量 2 绕y轴旋转时 例9 解 例10 2 解法2 柱壳法 柱壳体积 柱面面积 补充 体积元素为 例11 解 内容小结 1 平面图形的面积 边界方程 参数方程 极坐标方程 直角坐标方程 上下限按顺时针方向确定 2 旋转体的立体体积 绕x轴 绕y轴 柱壳法