§1反常积分的概念.ppt

第八章 反常积分 常义积分 积分限有限 被积函数有界 推广 反常积分 广义积分 3瑕积分的性质与收敛判别准则 1反常积分的概念 2无穷积分的性质与收敛判别准则 二 两类反常积分的定义 第一节 一 问题的提出 反常积分的概念 第八章 一 问题的提出 引例1 曲线 和直线 及x轴所围成的开口曲 边梯形的面积 可记作 其含义可理解为 引例2 曲线 所围成的 与x轴 y轴和直线 开口曲边梯形的面积 可记作 其含义可理解为 定义1 设 若 存在 则称此极限为f x 的无穷限反常积分 记作 这时称反常积分 收敛 如果上述极限不存在 就称反常积分 发散 类似地 若 则定义 二 两类反常积分的定义 则定义 c为任意取定的常数 只要有一个极限不存在 就称 发散 无穷限的反常积分也称为第一类反常积分 并非不定型 说明 上述定义中若出现 它表明该反常积分发散 引入记号 则有类似牛 莱公式的计算表达式 例1 计算反常积分 解 思考 分析 原积分发散 注意 对反常积分 只有在收敛的条件下才能使用 偶倍奇零 的性质 否则会出现错误 例2 证明第一类p积分 证 当p 1时有 当p 1时有 当p 1时收敛 p 1 时发散 因此 当p 1时 反常积分收敛 其值为 当p 1时 反常积分发散 例3 计算反常积分 解 定义2 设 而在点a的右邻域内无界 存在 这时称反常积分 收敛 如果上述极限不存在 就称反常积分 发散 类似地 若 而在b的左邻域内无界 若极限 数f x 在 a b 上的反常积分 则定义 则称此极限为函 记作 若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类 说明 而在点c的 无界函数的积分又称作第二类反常积分 无界点常称 邻域内无界 为瑕点 奇点 例如 间断点 而不是反常积分 则本质上是常义积分 则定义 注意 若瑕点 计算表达式 则也有类似牛 莱公式的 若b为瑕点 则 若a为瑕点 则 若a b都为瑕点 则 则 可相消吗 下述解法是否正确 积分收敛 例4 计算反常积分 解 显然瑕点为a 所以 原式 例5 讨论反常积分 的收敛性 解 所以反常积分 发散 例6 证明反常积分 证 当q 1时 当q 1时收敛 q 1 时发散 当q 1时 所以当q 1时 该广义积分收敛 其值为 当q 1时 该广义积分发散 例7 解 求 的无穷间断点 故I为反常 积分 内容小结 1 反常积分 积分区间无限 被积函数无界 常义积分的极限 2 两个重要的反常积分 说明 1 有时通过换元 反常积分和常义积分可以互 相转化 例如 2 当一题同时含两类反常积分时 应划分积分区间 分别讨论每一区间上的反常积分 3 有时需考虑主值意义下的反常积分 常积分收敛 注意 主值意义下反常积分存在不等于一般意义下反 其定义为 备用题试证 并求其值 解 令