随机变量的数字特征-深圳大学.ppt

四 随机变量的数字特征 考试内容 一 随机变量的数学期望 1 离散型随机变量的数学期望 均值 设X的分布律为 级数绝对收敛 则 2 连续型随机变量的数学期望 设连续型随机变量X的密度函数为f x 则 绝对收敛 3 随机变量函数的数学期望 1 X为随机变量 y g x 为实变量x的函数 离散型 连续型 2 X Y 为二维随机变量 z g x y 为x y的二元函数 离散型 连续型 4 数学期望的性质 1 E C C 2 E aX b aE X b 3 E X1 X2 Xn E X1 E X2 E Xn 4 若X1 X2 Xn相互独立 则E X1X2 Xn E X1 E X2 E Xn 5 二 方差 1 定义D X E X E X 2 均方差或标准差 2 计算 1 离散型 2 连续型 3 常用计算公式 D X E X2 E2 X 3 方差的性质 1 D X E X2 E2 X E2 X D X E X2 2 D C 0 3 E aX b a2D X 4 D X Y D X D Y 2Cov X Y 若X Y相互独立 则D X Y D X D Y 5 D X 0P X C 1 三 协方差 协方差矩阵与相关系数 Cov X Y E X E X Y E Y 1 协方差 2 相关系数 用来表征随机变量X Y之间线性关系的紧密程度 当较大时 说明X Y线性关系程度较强 当较小时 说明X Y线性关系程度较弱 当时 称X与Y不相关 线性 3 协方差矩阵 设 X1 X2 Xn 是n维随机变量 若 cij Cov Xi Yj 存在 则称矩阵 为n维随机变量 X1 X2 Xn 的协方差矩阵 4 协方差及相关系数的性质 Cov X X D X 2 Cov X Y E XY E X E Y 3 Cov X Y Cov Y X 4 Cov X1 X2 Y Cov X1 Y Cov X2 Y 5 Cov aX c bY d abCov X Y 6 7 X与Y以概率1线性相关 即存在a b 且a 0 使 8 四 矩与混合矩 1 随机变量X的k阶原点矩 随机变量X的k阶中心矩 2 设 X Y 为二维随机变量 X和Y的k l阶混合原点矩为 X和Y的k l阶混合中心矩为 数学期望是一阶原点矩 方差是二阶中心矩 协方差是1 1阶混合中心矩 五 常见分布的数学期望与方差 六 重要结论 5个等价条件 注意 X Y相互独立为上述5个条件中任何一个成立的充分条件 但非必要条件 考点与例题分析 考点一 数学期望和方差的计算 考点二 随机变量函数的数学期望与方差 考点三 协方差 相关系数 独立性与相关性 考点一 数学期望和方差的计算 1 对分布已知的情形 按定义求 2 对由随机试验给出的随机变量 先求出分布 再按定义计算 3 利用期望 方差的性质以及常见分布的期望和方差计算 4 对较复杂的随机变量 将其分解为简单随机变量 特别是分解为 0 1 分布的随机变量和进行计算 例1一台设备由三大部件构成 在设备运转中各部件需要调试整的概率相应为0 1 0 2 0 3 假设各部件的状态相互独立 以X表示同时需要调整的部件数 试求X的E X 和D X 解法1先求出分布律 设事件Ak 第k个部件要调整 k 1 2 3 则 即X具有的分布律为 从而有E X 0 6 D X E X2 E2 X 0 46 解法2用分解法 引进随机变量 X 0 1分布 且X X1 X2 X3 E X E X1 E X2 E X3 0 6D X D X1 D X2 D X3 0 46 注 1 将一个 复杂 的随机变量分解成若干个 简单 的随机变量之和是研究随机变量的一种基本方法 但必须注意 求方差时 应先判断Xi是否相互独立 若独立 则D X 易求 和 否则不易求出 2 求离散型随机变量的期望和方差时 会用到无穷级数求和 如下例 例2对某目标连续射击 直到命中n次为止 设每次射击的命中率为p 求消耗子弹的数学期望 解设Xi表示第i 1次命中至第i次命中之间所消耗的子弹数 含第i次命中不含第i 1次命中 则 于是有 故 例3设随机变量的概率密度 求数学期望和方差 解 注 若已知分布函数 则需先求出密度函数 例4设X的密度函数 则E X D X 考点二 随机变量函数的数学期望与方差 1 先求概率密度或分布函数 再按期望定义计算 如 2 直接利用函数期望的公式计算 3 利用数学期望 方差的性质以及常见分布的数学期望与方差计算 例5设X E 1 则数学期望 解先利用期望的线性性质 再用随机变量函数的期望公式求得 因X E 1 于是E X 1 而且X的密度函数为 指数分布 例6设X的密度函数 求 解直接利用函数期望的公式计算 注 在求多个随机变量函数的数学期望时 若直接用公式计算 则需求多重积分 故不如先求出随机变量函数的概率分布 再用定义计算期望 例如 设随机变量X1 X2 Xn独立同分布 其密度函数 试求的数学期望和方差 为常数 自行完成 例7设是两个相互独立且均服从正态分布 的随机变量 则 解令Z X Y 则E Z 0 D Z 1 即 故积分 得 注 利用正态分布的性质 随机变量函数的期望公式 例8一工厂生产的某种设备的寿命X 年 服从指数分布 概率密度函数为 规定出售的设备若在售出一年内损坏可予以调换 若工厂售出一台设备赢利100元 调换一台设备厂方需花费300元 试求厂方出售一台设备赢利的数学期望 解设出售一台赢利为Y 则Y的所有可能取值为100 200 因 分析 先求出赢利的分布 Y的分布律为 Y100 200 所以 注 Y是X的函数 X是连续型的 而Y是离散型的 考点三 协方差 相关系数 独立性与相关性 1 协方差 相关系数的计算实际上是随机变量函数的期望的计算 方法见考点二 X Y相互独立 若 X Y 服从二维正态分布 则 X Y相互独立 2 独立性与相关性的关系 例9将一枚硬币重复掷n次 以X Y分别表示正面向上和反面向上的次数 则X和Y的相关系数为 解因X Y n 即Y n X 法1用定义求 D Y D n X D X 因此 法2用性质 7 因Y n X Y是X的线性函数 且X的系数为 1 0 故X和Y的相关系数为 1 例10设其中 且 1 求E Z D Z 2 求X Z的相关系数 3 X与Z是否相互独立 为什么 解 1 由期望和方差的性质有 3 X Y均服从正态分布 但不独立 故不能认为Z服从正态分布 从而二维随机变量 X Y 不一定服从二维正态分布 故尽管X与Z不相关 X与Z仍不一定相互独立 2 故 注 X与Z均服从正态分布 且X与Z相互独立 则 X Z 服从二维正态分布 例11 08 设随机变量 且则 考查 相关系数的性质 存在a b 使 以及正态分布数字特征的性质 解选D 由正态分布有EX 0 DX 1 EY 1 DY 4 故存在a b 使 从而EY aEX b 得b 1 而 考研题及练习题 1 设随机变量 X Y 在区域D 0 x 1 x y x内服从均匀分布 求Z 2X 1的方差 两种方法 答案 E Z 2 3 D Z 2 9 2 08 设随机变量X服从参数为1的泊松分布 则P X EX2 考查 泊松分布的数字特征及其概率分布 参数为1的泊松分布的EX DX 1 从而 EX2 DX EX 2 2 P X EX2 P x 2 1 2e 3 04134 设随机变量X服从参数为的指数分布 则 4 041 设随机变量X1 X2 Xn独立同分布 且其方差为令则 提示 用方差和协方差的运算性质直接计算即可 注意到利用独立性有 5 0634 设二维随机变量 X Y 的概率分布为 1a00 200 1b0 2100 1c Y X 101 其中a b c为常数 且X的数学期望EX 0 2 记Z X Y 求 1 a b c的值 2 Z的概率分布 3 P X Z 答案 1 a 0 2 b 0 1 c 0 1 2 2 1012 0 20 10 30 30 1 3 P X Z P Y 0 0 2 6 04134 设A B为随机事件 且 令 求 1 二维随机变量 X Y 的概率分布 2 X Y的相关系数 3 Z X2 Y2的概率分布 提示 关键是求出 X Y 的概率分布 将 X Y 的各取值对转化为随机事件A B表示即可 二维随机变量 X Y 的概率分布 答案 1 3 Z X2 Y2的概率分布