随机事件及其运算.ppt

第一章 随机事件及其概率 二 随机现象 一 概率论的诞生及应用 三 随机试验 四 样本空间样本点 五 随机事件的概念 六 随机事件间的关系及运算 1 1随机事件及其运算 1654年 一个名叫梅累的骑士就 两个赌徒约定赌若干局 且谁先赢c局便算赢家 若在一赌徒胜a局 a c 另一赌徒胜b局 b c 时便终止赌博 问应如何分赌本 为题求教于帕斯卡 帕斯卡与费马通信讨论这一问题 于1654年共同建立了概率论的第一个基本概念 一 概率论的诞生及应用 1 概率论的诞生 2 本学科的应用 概率统计理论与方法的应用几乎遍及所有科学 技术领域 工农业生产和国民经济的各个部门中 例如 1 气象 水文 地震预报 人口控制及预测 都与 概率论 紧密相关 2 产品的抽样验收 新研制的药品能否在 临床中应用 均要用到 假设检验 6 探讨太阳黑子的变化规律时 时间 可夫过程 来描述 7 研究化学反应的时变率 要以 马尔 序列分析 方法非常有用 4 电子系统的设计 火箭卫星的研制及其 发射都离不开 可靠性估计 3 寻求最佳生产方案要进行 实验设计 和 数据处理 5 处理通信问题 需要研究 信息论 水库调度 购物排队 红绿灯转换等 都 可用一类概率模型来描述 其涉及到的知 目前 概率统计理论进入其他自然科学 装卸 机器维修 病人候诊 存货控制 8 生物学中研究群体的增长问题时 提出了生灭型 随机模型 传染病流行问 题要用到多变量非线性 生灭过程 9 许多服务系统 如电话通信 船舶 识就是 排队论 领域 特别是经济学中研究最优决策和经 济的稳定增长等问题 都大量采用 概率 统计方法 法国数学家拉普拉斯 Laplace 说对了 生活中最重要的问题 其中绝大 领域的趋势还在不断发展 在社会科学领 多数在实质上只是概率的问题 英国的逻辑学家和经济学家杰文斯 曾对概率论大加赞美 概率论是生活真正 的领路人 如果没有对概率的某种估计 那 么我们就寸步难行 无所作为 在很多很多情况下 当 其它 科学完全不可能回答 这个命题是真实的吗 这个问题时 概率论却给出了一个基础 来判断该命题在多大情况下可能是真的 在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象 太阳不会从西边升起 1 确定性现象 同性电荷必然互斥 水从高处流向低处 实例 自然界所观察到的现象 确定性现象 随机现象 二 随机现象 在一定条件下可能出现也可能不出现的现象 称为随机现象 实例1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币 观察正反两面出现的情况 2 随机现象 函数在间断点处不存在导数 等 结果有可能出现正面也可能出现反面 确定性现象的特征 条件完全决定结果 结果有可能为 1 2 3 4 5 或 6 实例3 抛掷一枚骰子 观察出现的点数 实例2 用同一门炮向同一目标发射同一种炮弹多发 观察弹落点的情况 结果 弹落点会各不相同 随机现象的分类个别随机现象现象 原则上不能在相同条件下重复出现大量性随机现象现象 在相同条件下可以重复出现 随机现象的特征 条件不能完全决定结果 2 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性 但在大量重复试验或观察中 这种结果的出现具有一定的统计规律性 概率论就是研究随机现象这种本质规律的一门数学学科 随机现象是通过随机试验来研究的 问题什么是随机试验 如何来研究随机现象 说明 1 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系 其数量关系无法用函数加以描述 1 可以在相同的条件下重复地进行 2 每次试验的可能结果不止一个 并且能事先明确试验的所有可能结果 3 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现 定义在概率论中 把具有以下三个特征的试验称为随机试验 三 随机试验 说明 1 随机试验简称为试验 是一个广泛的术语 它包括各种各样的科学实验 也包括对客观事物进行的 调查 观察 或 测量 等 实例 抛掷一枚硬币 观察正面 反面出现的情况 分析 2 随机试验通常用E来表示 1 试验可以在相同的条件下重复地进行 1 抛掷一枚骰子 观察出现的点数 2 从一批产品中 依次任选三件 记录出现正品与次品的件数 同理可知下列试验都为随机试验 2 试验的所有可能结果 正面 反面 3 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现 故为随机试验 3 记录某公共汽车站某日上午某时刻的等车人数 4 考察某地区10月份的平均气温 5 从一批灯泡中任取一只 测试其寿命 四 样本空间样本点 定义1对于随机试验E 它的每一个可能结果称为样本点 由一个样本点组成的单点集称为基本事件 所有样本点构成的集合称为E的样本空间或必然事件 用 或S表示 样本点由表示 我们规定不含任何元素的空集为不可能事件 用 表示 其中T1 T2分别是该地区的最低与最高温度 观察某地区每天的最高温度与最低温度 观察总机每天9 00 10 00接到的电话次数 投一枚硬币3次 观察正面出现的次数 例给出一组随机试验及相应的样本空间 随机事件随机试验E的样本空间 的子集 或某些样本点的子集 称为E的随机事件 简称事件 试验中 骰子 出现1点 出现2点 出现6点 点数不大于4 点数为偶数 等都为随机事件 五 随机事件的概念 基本事件 仅由一个样本点组成的子集它是随机试验的直接结果 每次试验必定发生且只可能发生一个基本事件 必然事件 全体样本点组成的事件 记为 每次试验必定发生的事件 随机事件发生 组成随机事件的一个样本点发生 不可能事件 不包含任何样本点的事件 记为 每次试验必定不发生的事件 随机变量 用来表示随机现象结果的变量称为随机变量 常用大写字母X Y Z表示 很多事件都可以用随机变量表示 写出掷骰子试验的样本点 样本空间 基本事件 事件A 出现偶数 事件B 出现奇数 解 用表示掷骰子出现的点数为 基本事件 例 随机试验 样本空间与随机事件的关系 每一个随机试验相应地有一个样本空间 样本空间的子集就是随机事件 随机试验 样本空间 随机事件 必然事件不可能事件是两个特殊的随机事件 1 包含关系 图示B包含A B 六 随机事件间的关系及运算 I 随机事件间的关系 若事件A包含事件B 而且事件B包含事件A 则称事件A与事件B相等 记作A B 2 事件的和 并 图示事件A与B的并 A 3 事件的交 积 推广 图示事件A与B的积事件 A B AB 和事件与积事件的运算性质 4 事件的互不相容 互斥 若事件A B满足则称事件A与B互不相容 实例抛掷一枚硬币 出现花面 与 出现字面 是互不相容的两个事件 骰子出现1点 骰子出现2点 图示A与B互斥 实例抛掷一枚骰子 观察出现的点数 说明当A B 时 可将A B记为 直和 形式A B 任意事件A与不可能事件 为互斥 5 事件的差 图示A与B的差 事件 A出现而B不出现 称为事件A与B的差 记作A B 若事件A B满足则称A与B为互逆 或对立 事件 A的逆记作 实例 骰子出现1点 骰子不出现1点 图示A与B的对立 B 6 事件的互逆 对立 对立事件与互斥事件的区别 B A B对立 A B互斥 互斥 对立 II 事件间的运算规律 B C A C 分配律图示 A 1 第三次未中奖 2 第三次才中奖 3 恰有一次中奖 4 至少有一次中奖 5 不止一次中奖 例化简事件 解原式 补充 事件域 algebra 事件是样本空间 的某些子集 如果把是事件的子集归成一类 记作 称为事件域 即 A A A是事件 1 由于 是事件 所以 3 交运算可通过并与对立实现 2 又事件间要求有并 交 差 对立等运算 4 差运算可通过交与对立实现 B A B 定义 设 为一个样本空间 A A A是事件 若 满足 1 2 若A 则 3 若Ai i 1 2 则A1 A2 Ai 则称集合类 为一个事件域 代数 在概率论中 1 称为可测空间 measurablespace 2 中的子集称为可测集 measurablesets 例 常见事件域 1 若样本空间 1 2 记A 1 2 则事件域为 A 3 若样本空间 1 2 n 则事件域为由 可列个单点集 可列个双元素集 可列个n个元素集 和 组成 中共有可列个事件