连续型随机变量及其分布.ppt

一 连续型随机变量 二 几种常见的连续型随机变量 2 3连续型随机变量的概念密度 上页 下页 铃 结束 返回 首页 一 连续型随机变量 定义1对于随机变量X如果存在非负可积函数f x 使对于任意实数x有F x 1 则称X为连续型随机变量 称函数f x 为X的概率密度函数 简称概率密度 注 1 由 1 式 在f x 的连续点x上有F x f x 2 2 P x1 X x2 F x2 F x1 3 当f x 在x x0连续时 利用定积分的性质知 概率密度具有以下两个性质 1 f x 0 2 6 式的几何意义 4 对任意实数a P X a 0 5 7 式的几何意义 概率密度函数f x 与分布函数F x 的关系为 例1设随机变量X的概率密度函数 求C的值 P X 1 以及X的分布函数 解 由密度函数的性质2得 当x 0时 1 当x 0时 1 X的分布函数为 X的分布函数为 例2设随机变量X的概率函数为 求 1 X的分布函数F x 2 计算P x 1 P 0 X ln2 解 1 2 例3设某种轮胎在损坏以前所能行驶的路程X 以万公里计 是一个随机变量 已知其概率密度为 今从中随机地抽取5只轮胎 试求至少有2只轮胎所能行驶的路程数不足30万公里的概率 解 设一只轮胎运行不足30万公里地概率为p 则 分析 设一只轮胎运行不足30万公里地概率为p Y为行驶的路程数不足30万公里的轮胎数 则Y B 5 p 而目前未知 故由题意先求出p 例3设某种轮胎在损坏以前所能行驶的路程X 以万公里计 是一个随机变量 已知其概率密度为 今从中随机地抽取5只轮胎 试求至少有2只轮胎所能行驶的路程数不足30万公里的概率 解 则Y B 5 0 9502 0 99997 二 几种常见的连续型随机变量 1 均匀分布 定义2如果随机变量X的概率密度为 则称X服从区间 a b 上的均匀分布 例4设电阻值R是一个随机变量 均匀分布在900欧 1100欧 求R的概率密度及R落在950欧 1050欧的概率 解 R的密度 P 950 R 1050 注 均匀分布的特性 若X服从 a b 区间上的均匀分布 则X落在 a b 中任意等长度的子区间内的概率相同 即对于长度为l的子区间 概率只与子区间的长度有关 与子区间在 a b 中的位置无关 容易求出 均匀分布的分布函数是 其图形为 2 正态分布 定义3设随机变量X的概率密度为 x 10 其中 0 为常数 则称X服从参数为 的正态分布或高斯分布 记为X N 2 正态分布密度函数的性质和特点 1 f x 的图形关于直线x 对称 即f x f x 从而有P x X P X x 2 f x 的各阶导数存在 f x 在x 处有最大值 在点 处有拐点 曲线以ox轴为渐近线 3 参数 决定f x 的图形的中心位置 称为位置参数 参数 2决定图形中峰的陡峭形状 称为尺度参数 当 固定时 越小图形中峰越陡峭 因而X落在 附近的概率越大 4 由定义知X的分布函数为 定义4当正态分布的参数 0 1时称正态分布为标准正态分布 记为X N 0 1 其概率密度为 x 12 其分布函数记为 性质 定理 若X N 2 则 由此 若X N 2 则 例5 解 例6设某商店出售的白糖每包的标准重量是500克 每包的重量X 以克记 是随机变量 服从正态分布 即X N 500 25 求 1 随机抽查一包 其重量大于510克的概率 2 随机抽查一包 其重量与标准重量之差的绝对值在8克以内的概率 3 求常数C 使每包的重量小于C的概率为0 05 解 1 所求概率为 例6设某商店出售的白糖每包的标准重量是500克 每包的重量X 以克记 是随机变量 服从正态分布 即X N 500 25 求 1 随机抽查一包 其重量大于510克的概率 2 随机抽查一包 其重量与标准重量之差的绝对值在8克以内的概率 3 求常数C 使每包的重量小于C的概率为0 05 解 2 所求概率为 例6设某商店出售的白糖每包的标准重量是500克 每包的重量X 以克记 是随机变量 服从正态分布 即X N 500 25 求 1 随机抽查一包 其重量大于510克的概率 2 随机抽查一包 其重量与标准重量之差的绝对值在8克以内的概率 3 求常数C 使每包的重量小于C的概率为0 05 解 3 由题意 即 即 查表得 解得 C 491 775 例7将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内 调节器整定在d0C 液体的温度X是一个随机变量 X N d 0 52 1 若d 90 求X小于89的概率 2 若要求保持液体的温度至少为80的概率不低于0 99 问d至少为多少 解 1 X N 90 0 52 解 例8设某地区成年男子的体重X 公斤 服从正态分布N 2 已知P X 65 0 5 P X 60 0 25 1 求 2 2 从该地区任抽了名男子 其体重在70公斤到75公斤之间的概率为多少 1 即得 65 综合 解得 65 7 4074 解 例8设某地区成年男子的体重X 公斤 服从正态分布N 2 已知P X 65 0 5 P X 60 0 25 1 求 2 2 从该地区任抽了名男子 其体重在70公斤到75公斤之间的概率为多少 1 由P X 65 0 5 P X 60 0 25 得 65 7 4074 2 1 35 0 675 0 9115 0 7501 0 1614 定义5如果随机变量X的概率密度为 则称X服从参数为 的指数分布 3 指数分布 例9某人恰在你之前提起电话听筒拨号 试问 1 你要等待10分钟以上的概率是多少 2 等待10至20分钟的概率是多少 设打一次电话所占的时间X服从参数为10的指数分布 解 由题意 1 P X 10 2 10 X 20 例10设某电话交换台等待第一个呼叫来到的时间X 以分计 是随机变量 服从参数为 的指数分布 X的概率密度为 设已知第一个呼叫在5分钟到10分钟之间来到的概率是0 25 试求第一个呼叫在20分钟以后来到的概率 解 由题意得 例10设某电话交换台等待第一个呼叫来到的时间X的密度 设已知第一个呼叫在5分钟到10分钟之间来到的概率是0 25 试求第一个呼叫在20分钟以后来到的概率