连续型随机变量的概率密度.ppt

2 4连续型随机变量一 概率密度 1 定义 对于随机变量X 若存在非负函数f x x 使对任意实数x 都有 则称X为连续型随机变量 f x 为X的概率密度函数 简称概率密度或密度函数 常记为X f x x 密度函数的几何意义为 2 密度函数的性质 1 非负性f x 0 x 2 归一性 性质 1 2 是密度函数的充要性质 EX 设随机变量X的概率密度为 求常数a 答 3 若x是f x 的连续点 则 练习 设随机变量X的分布函数如下 求f x 答 4 对任意实数b 若X f x x 则P X b 0 于是 例4已知随机变量X的概率密度为1 求X的分布函数F x 2 求P X 0 5 1 5 解 二 几个常用的连续型分布 1 均匀分布若X f x 则称X在 a b 内服从均匀分布 记作X U a b 对任意实数c d a c d b 都有 易知 例5某公共汽车站每15分钟来一班车 如果乘客到达此站时间是随机的 试求他候车至少要等 分钟才能上车的概率 解 依题意 U 0 设 为乘客的候车时间 则 要求事件的概率 例7 长途汽车起点站于每时的10分 25分 55分发车 设乘客不知发车时间 于每小时的任意时刻随机地到达车站 求乘客候车时间超过10分钟的概率 15 45 解 设A 乘客候车时间超过10分钟X 乘客于某时X分钟到达 则X U 0 60 2 指数分布若X 则称X服从参数为 0的指数分布 其分布函数为 例8 电子元件的寿命X 年 服从参数为1 3的指数分布 1 求该电子元件寿命超过2年的概率 2 已知该电子元件已使用了1 5年 求它还能使用两年的概率为多少 解 例9 某公路桥每天第一辆汽车过桥时刻为T 设 0 t 时段内过桥的汽车数Xt服从参数为 t的泊松分布 求T的概率密度 解 当t 0时 当t 0时 1 在t时刻之前无汽车过桥 于是 例10设某类元件使用寿命 服从参数 10000的指数分布 单位 小时 从这类元件中任取一个 求其使用寿命 超过5000小时的概率 及小于5000小时的概率 某系统独立地使用 个这种元件 求在5000小时内这些元件不必要更换的个数 的分布律 3 求 个元件使用 小时内至少更换一个的概率 解 应用1 2 这就是 的分布律 应用 描述等待时间 的随机变量服从指数分布 若等待时间超过t 按公式P t 1 e t 计算 若等待时间不超过t 按公式P t e t 计算 正态分布是实践中应用最为广泛 在理论上研究最多的分布之一 故它在概率统计中占有特别重要的地位 3 正态分布 A B A B间真实距离为 测量值为X X的概率密度应该是什么形态 其中 为实数 0 则称X服从参数为 2的正态分布 记为N 2 可表为X N 2 若随机变量 1 单峰对称密度曲线关于直线x 对称 f maxf x 正态分布有两个特性 2 的大小直接影响概率的分布 越大 曲线越平坦 越小 曲线越陡峻 正态分布也称为高斯 Gauss 分布 4 标准正态分布参数 0 2 1的正态分布称为标准正态分布 记作X N 0 1 分布函数表示为 其密度函数表示为 它的依据是下面的定理 标准正态分布的重要性在于 任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布 设 定理1 根据定理1 只要将标准正态分布的分布函数制成表 就可以解决一般正态分布的概率计算问题 书末附有标准正态分布函数数值表 有了它 可以解决一般正态分布的概率计算查表 表中给的是x 0时 x 的值 当 x 0时 5 正态分布表 若 N 0 1 若 N 0 1 则 由标准正态分布的查表计算可以求得 这说明 的取值几乎全部集中在 3 3 区间内 超出这个范围的可能性仅占不到0 3 当 N 0 1 时 P 1 2 1 1 0 6826 P 2 2 2 1 0 9544 P 3 2 3 1 0 9974 6 3 准则 将上述结论推广到一般的正态分布 时 这在统计学上称作 3准则 三倍标准差原则 14一种电子元件的使用寿命 小时 服从正态分布 100 152 某仪器上装有3个这种元件 三个元件损坏与否是相互独立的 求 使用的最初90小时内无一元件损坏的概率 解 设Y为使用的最初90小时内损坏的元件数 故 则Y B 3 p 其中 正态分布表 下面介绍数理统计中常用的分位点的内容 设X N 0 1 是一个已知正数 若数满足 7 分位点 2 设X N 0 1 是一个已知正数 若数满足 反查1 0 0025对应的数 反查1 2对应的数