维随机变量函数的分布.ppt

3 5 1二维离散型随机变量函数的分布设 X Y 为二维离散型随机变量 则函数是一维离散型随机变量 若已知 X Y 的分布律 如何得到的分布律 3 5二维随机变量函数的分布 第3章多维随机变量及其分布 3 5 1二维离散型随机变量函数的分布 例3 20 设 X Y 的分布律为试求 Z1 X Z2 Y X Z3 min X Y 的分布律 解 将 X Y 及各个函数的取值对应列于同一表中 3 5 1二维离散型随机变量函数的分布 易得到下列随机变量的分布律 取相同值的概率给以合并 3 5 1二维离散型随机变量函数的分布 例3 21 设 且X与Y独立 证明 证 取值为0 1 2 Z k 是互不相容事件的和 考虑到独立性 对任意非负整数k 有 3 5 1二维离散型随机变量函数的分布 即证明了例3 21的结论说明 泊松分布具有可加性 设 X Y 为二维连续型随机变量 其概率密度为f x y 为X Y的函数 它也是连续型随机变量 求Z的概率密度的一般按下面两步进行 1 求Z的分布函数其中 2 FZ z 对z求导数 得Z的概率密度为 3 5 2二维连续型随机变量函数的分布 3 5 2二维连续型随机变量函数的分布 例3 22 和的分布 设 X Y 的概率密度为f x y 求Z X Y的概率密度 解 事件X Y Z所占有的区域如图 对积分作变量变换x u y得 于是 3 5 2二维连续型随机变量函数的分布 对z求导数得由X Y的对称性 又有 3 5 2二维连续型随机变量函数的分布 设 X Y 的概率密度为f x y Z X Y的概率密度 特别地 当X和Y独立时 X Y的概率密度分别为和 则上述两式可分别写成和这两个公式称为卷积公式 记为 3 5 2二维连续型随机变量函数的分布 例3 23 正态分布的可加性 设X和Y都服从N 0 1 且相互独立 求Z X Y的概率密度 解 由卷积公式令 得即Z N 0 2 3 5 2二维连续型随机变量函数的分布 一般地 设X Y相互独立 且 则更一般地 可以证明 有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍服从正态分布 即定理3 1 正态分布的重要性质 若X1 X2 Xn为相互独立的随机变量 且C1 C2 Cn为n个任意常数 则 3 5 2二维连续型随机变量函数的分布 例3 24 设X和Y是两个相互独立的随机变量 其概率密度分别为求 随机变量Z X Y的概率密度 解 因 欲使 即使 x与z必须满足即将上述x与z的关系描绘在xOz平面上便是图中的阴影部分 3 5 2二维连续型随机变量函数的分布 1 时 由于 故 2 时 3 时 综上所述 得到 3 5 2二维连续型随机变量函数的分布 例3 25 最大值与最小值分布 设X1 X2 Xn是相互独立的n个随机变量 若 试在以下情况下求Y和Z的分布 1 Xi Fi x i 1 2 n 2 Xi同分布 即Xi F x i 1 2 n 3 Xi为连续随机变量 且Xi同分布 即Xi的概率密度为f x i 1 2 n 3 5 2二维连续型随机变量函数的分布 解 1 的分布函数为的分布函数为 3 5 2二维连续型随机变量函数的分布 2 将Xi共同的分布函数F x 代入 1 的结果中 得 3 Y和Z的分布函数仍为上述两式 概率密度可由上述两式分别对y和z求导得到 3 5 2二维连续型随机变量函数的分布 例3 26 设随机变量X与Y相互独立 且同服从 0 1 上的均匀分布 试求Z X Y 的概率密度 解 因为所以Z的概率密度为 答 课堂思考 所以 保险中的理赔总量模型解答 保险公司在一个会计年度保险单的理赔次数 每次的理赔额和全年理赔总量均为随机变量 某保险公司为了研究某类保险在一个会计年度的理赔总量 用Xi表示某类保险单的第i次理赔额 N表示在一个会计年度所有这类保单发生理赔次数 Y表示这一年中对这类保单的理赔总量 建立如下理赔总量模型 现有一组保单 假设在一年内可能发生的理赔次数为0 1 2和3 相应的概率为0 1 0 3 0 4和0 2 每张保单可能产生的理赔额为1 2 3 万元 相应的概率为0 5 0 4 0 1 试分析理赔总量Y的概率分布 并求理赔总量超过6万元的概率 保险中的理赔总量模型解答 解 设Xi为第i次发生的理赔额 则X1 X2 X3相互独立且具有相同分布 其概率分布为设N为理赔次数 则它的概率分布为由于理赔总量Y X1 X2 X3 易知 理赔总量Y的所有可能取值为0 1 2 9 保险中的理赔总量模型解答 显然 P Y 0 0 1 P Y 1 P N 1 P X1 1 0 3 0 5 0 15 由全概率公式可以计算Y取其它每一个可能值的概率 如P Y 2 P N 1 P X1 2 P N 2 P X1 X2 2 P N 1 P X1 2 P N 2 P X1 1 X2 1 0 3 0 4 0 4 0 5 0 5 0 22 保险中的理赔总量模型解答 P Y 3 P N 1 P X1 3 P N 2 P X1 X2 3 P N 3 P X1 X2 X3 3 P N 1 P X1 3 P N 2 P X1 1 X2 2 P X1 2 X2 1 P N 3 P X1 1 X2 1 X3 1 0 3 0 1 0 4 0 5 0 4 0 4 0 5 0 2 0 5 0 5 0 5 0 215 保险中的理赔总量模型解答 P Y 4 P N 2 P X1 X2 4 P N 3 P X1 X2 X3 4 P N 2 P X1 2 X2 2 P X1 1 X2 3 P X1 3 X2 1 P N 3 P X1 1 X2 1 X3 2 P X1 1 X2 2 X3 1 P X1 2 X2 1 X3 1 0 4 0 4 0 4 0 5 0 1 0 1 0 5 0 2 0 5 0 5 0 4 0 5 0 4 0 5 0 4 0 5 0 5 0 164 保险中的理赔总量模型解答 余下的几个概率可类似求出来 这里略去 于是理赔总量Y的概率分布为理赔总量超过6万元的概率为P Y 6 P Y 7 P Y 8 P Y 9 0 0126 0 0024 0 0002 0 0152 保险中的理赔总量模型解答