空间中直线与直线之间的位置关系.ppt

观察三棱柱各条棱所在直线的位置关系 定义 不同在任何一个平面内的两条直线为异面直线 空间两直线的位置关系 2 1 2空间中直线与直线之间的位置关系 一 公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行 一 平行直线 变形1 若把平面四边形ABCD延AC折起 问四边形EFGH的形状 例2 P是三角形ABC所在平面外的一点 D E分别是三角形PAB和三角形PBC的重心 求证 DE AC DE 1 3 AC P A C B D E 证明 连接PD PE并延长交AB BC与M N 连接MN D E分别是三角形PAB和三角形PBC的重心 M N分别是三角形PAB和三角形PBC的中点 MN AC且MN 1 2AC 在三角形PMN中 PD PM PE PN 2 3 DE MN 且DE 2 3MN 由 1 2 根据公理4得DE AC DE 1 3AC 二 相交直线 1 2 作图时 通常用一个或两个平面衬托 1 定义 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线 2 异面直线的画法 三 异面直线 练习 两条异面直线指的是 A 没有公共点的两条直线B 分别位于两个不同平面的两条直线C 某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线D 不同在任何一个平面内的两条直线 定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行 那么这两个角相等或互补 在平面内 若两条直线相交 我们用 夹角 这一概念定量地刻画它们的关系 在空间中 我们应该怎样刻画两条异面直线的关系呢 3 异面直线所成角 已知两条异面直线a b 经过空间任意一点O 分别作直线a1 a b1 b 我们把直线a1和b1所成的锐角 或直角 叫做异面直线a和b所成的角 说明 异面直线a和b所成的角的范围 异面直线a和b所成的角的大小与点O的位置无关 异面直线a和b所成的角的作法步骤 b 例4 如图 正方体中 求 1 A1D与AC所成的角 2 A1C1与D1B所成的角 解法步骤 作 证 算 特别地 如果两条异面直线所成的角是直角 就说这两条异面直线互相垂直 相交垂直 有垂足 异面垂直 无垂足 例5 如图 在三棱锥A BCD中 E F分别是AB CD的中点 且EF 6 AC 6 BD 8 则异面直线AC与BD的所成角的余弦值为多少 G 说明 异面直线所成角的范围是 0 在把异面直线所成的角平移转化为平面三角形中的角 常用余弦定理求其大小 当余弦值为负值时 其对应角为钝角 这不符合两条异面直线所成角的定义 故其补角为所求的角 这一点要注意 4 异面直线的证法 例6 求证 平面外一直线与平面相交 则此直线与平面内不经过这一交点的直线异面 异面直线的判定定理 平面外一直线与平面相交 则此直线与平面内不经过这一交点的直线异面 2 异面直线在同一平面的射影可能有几种情况 四 直线与直线的位置关系 例8 1 一条直线与两条异面直线中的一条相交 那么它与另一条之间的位置关系 A 平行B 相交C 异面D 可能平行 可能相交 可能异面 5 异面直线的距离 思考 和两条异面直线都垂直的直线有多少条 与这两条异面直线都垂直相交的直线有多少条 定义 和两条异面直线都垂直相交的直线叫异面直线的公垂线 定义 两条异面直线的公垂线在两条异面直线间的线段 叫两异面直线的距离 例9 设图中的正方体的棱长为a 求异面直线A1B与CC1的距离 求异面直线A1B与B1C1的距离 求异面直线AB与A1C的距离 提示 异面直线所成的角和异面直线的距离 2 已知a b是异面直线 c a 那么c与b 一定是异面关系B 一定是相交直线C 不可能是平行直线D 不可能是相交直线 如果两条直线a和b没有公共点 那么a与b 共面B 平行C 异面D 可能平行 也可能是异面 变形2 若把平面四边形ABCD延AC折起 G F分别为CD CB的中点且问四边形EFGH的形状 例2如图 在三棱锥A BCD中 E F分别是AB CD的中点 且EF 5 AC 6 BD 8 则异面直线AC与BD的所成的角为多少 G 求证 补充训练 例2 如图 以知F E是正方体的棱AD 的中点 求证