线性方程组的发展、人物和应用.ppt

线性方程组的发展 人物和应用 线性方程组的研究起源于古代中国 在中国数学经典著作 九章算术 一书中就有了线性方程组的介绍和研究 有关解方程组的理论已经很完整 九章算术 约公元263年 第八 一 为 今有上禾三秉 中禾二秉 下禾一秉 实三十九斗 上禾二秉 中禾三秉 下禾一秉 实三十四斗 上禾一秉 中禾二秉 下禾三秉 实二十六斗 问上 中 下禾实一秉各几何 方程一词出现在中国早期的数学专著 九章算术 中 其 卷第八 即名 方程 如图 答曰 上禾一秉 九斗 四分斗之一 中禾一秉 四斗 四分斗之一 下禾一秉 二斗 四分斗之三 其实这仅仅是三元一次方程的简单应用 设 上禾一秉x斗 中禾一秉y斗下禾一秉z斗由题意得 3x 2y z 392x 3y z 34X 2y 3z 26 2 对线性方程组解法的改进 九章算术 中用直除法解线性方程组 比较麻烦 刘徽在方程章的注释中 对直除法加以改进 创立了互乘相消法 例如方程组刘徽是这样解的 1 2 2 5 得 4 3 得21y 20 下略 显然 这种方法与现代加减消元法一致 不过那时用的是筹算 刘徽认为 这种方法可以推广到多元 以小推大 虽四 五行不异也 他还进一步指出 相消 时要看两方程首项系数的同异 同则相减 异则相加 刘徽的工作 大大减化了线性方程组解法 方程理论的初步总结刘徽在深入研究 九章算术 方程章的基础上 提出了比较系统的方程理论 刘徽所谓 程 是程式或关系式的意思 相当于现在的方程 而 方程 则相当于现在的方程组 他说 二物者再程 三物者三程 皆如物数程之 并列为行 故谓之方程 这就是说 有两个所求之物 需列两个程 有三个所求之物 需列三个程 程的个数必须与所求物的个数一致 诸程并列 恰成一方形 所以叫方程 这里的 物 实质上是未知数 只是当时尚未抽象出未知数的明确概念 定义中的 皆如物数程之 是十分重要的 它与刘徽提出的另一原则 行之左右无所同存 共同构成了方程组有唯一组解的条件 若译成现代数学语言 这两条即 方程个数必须与未知数个数一致 任意两个方程的系数不能相同或成比例 刘徽还认识到 当方程组中方程的个数少于所求物个数时 方程组的解不唯一 如果是齐次方程组 则方程组的解可以成比例地扩大或缩小 即 举率以言之 公元1247年 秦九韶完成了 数书九章 一书 成为当时中国数学的最高峰 在该书中 秦九韶将 九章算术 中解方程组的 直除法 改进为 互乘法 便线性方程组理论又增加了新内容 至少用初等方法解线性方程组理论已由我国数学家基本创立完成 大约1678年 德国数学家莱布尼兹首次开始线性方程组在西方的研究 1667年 莱布尼茨发表了他的第一篇数学论文 论组合的艺术 这是一篇关于数理逻辑的文章 其基本思想是想把理论的真理性论证归结于一种计算的结果 这篇论文虽不够成熟 但却闪耀着创新的智慧和数学的才华 后来的一系列工作使他成为数理逻辑的创始人 在17世纪末 莱布尼兹研究线性方程组的解法时 开始使用指标数的系统集合来表示方程组的系数 并得到现在称为结式的一个行列式 大约在1729年 马克劳林开始用行列式的方法解含2 4个未知量的线线性方程组 还使用了所谓的克莱姆法则 克莱姆在1750年把这个法则发表出来 其实创新需要想象力 当初中生在做二元一次方程的时候无聊的把系数拿出来组合 他就会发现只要在这些数字之间换算就可以解开这个方程 因为这和方程本身的未知数并没有关系 不论它是x 或y 或其他什么 都不影响答案 推而广之 是否对3元4元甚至n元也成立呢 我想当时的科学家就这么无聊中创时代的吧 1750年 克拉默在他的代表作 线性代数分析导言 中 创立了克拉默法则 用它解含有5个末知量5个方程的线性方程组 克拉默法则 假若有n个未知数 n个方程组成的方程组 a11X1 a12X2 a1nXn b1 a21X1 a22X2 a2nXn b2 an1X1 an2X2 annXn bn 或者写成矩阵形式为Ax b 其中A为n n方阵 x为n个变量构成列向量 b为n个常数项构成列向量 而当它的系数矩阵可逆 或者说对应的行列式 A 不等于0的时候 它有唯一解xi Ai A 其中Ai i 1 2 n 是矩阵A中第i列的a1i a2i ani 即第i列 依次换成b1 b2 bn所得的矩阵 克莱姆法则不仅仅适用于实数域 它在任何域上面都可以成立 使用克莱姆法则求线性方程组的解的算法时间复杂度可以达到O n 3 这个时间复杂度同其它常用的线性方程组求解方法 比如高斯消元法相当 1764年 法国数学家裴蜀 Bezout 1730 1783 研究了含有n个未知量n个方程的齐次线性方程组的求解问题 证明了这样的方程组有非零解的条件是系数行列式等于零 后来 裴蜀和拉普拉斯 Laplace 1749一1827 等以行列式为工具 给出了齐次线性方程组有非零解的条件 1867年 道奇森 Dodgson 1832 1898 的著作 行列式初等理论 发表 他证明了含有n个未知量m个方程的一般线性方程组有解的充要条件是系数阵和增广阵有同阶的非零子式 这就是现在的结论 系数阵和增广阵的秩相等 道奇森 线性方程组的现代应用 基尔霍夫电压定理 沿某个方向环绕回路一周的所有电压降RI的代数和等于沿同一方向环绕该回路一周的电源电压代数和 11I1 3I2 30 6I2 3I1 I3 5 3I3 I1 25 I1 3I2 1I3 8 剑桥减肥食谱 用33种食物精确提供31种营养 可用线性方程组来计算 试求三种食品的组合 使得混合食物提供剑桥食谱需求的营养 现仅考虑三种食品三种营养成分如下表 解 设这三种食物的两分别为x1 x2 x3 单位 100克 为了提供所需要的蛋白质 碳水化合物和脂肪总量 食谱中需要包含0 277单位的脱脂奶粉 0 392单位的大豆粉 0 233单位的乳清 配平化学方程式 解 上述化学反应式中包含5种不同的原子 钾 锰 氧 硫 氢 于是在中为每一种反应物和生成物构成如下向量 其中x1 x2 x3 x4 x5 x6均为正整数 其中 每一个向量的各个分量依次表示反应物和生成物中钾 锰 氧 硫 氢的原子数目 为了配平化学方程式 系数必须满足方程组 求解该齐次线性方程组 得到通解 由于化学方程式通常取最简的正整数 因此在通解中取即得配平后的化学方程式 列昂惕夫的 交换模型 假设一个国家的经济分为很多行业 例如制造业 通讯业 娱乐业和服务行业等 我们知道每个部门一年的总产出 并准确了解其产出如何在经济的其它部门之间分配或 交易 把一个部门产出的总货币价值称为该产出的价格 price 列昂惕夫证明了如下结论 存在赋给各部门总产出的平衡价格 使得每个部门的投入与产出都相等 经济系统的平衡 解 从表1 2可以看出 沿列表示每个行业的产出分配到何处 沿行表示每个行业所需的投入 例如 第1行说明五金化工行业购买了80 的能源产出 40 的机械产出以及20 的本行业产出 由于三个行业的总产出价格分别是p1 p2 p3 因此五金化工行业必须分别向三个行业支付元0 2p1 0 8p2 0 4p3 得 该方程组的通解为 此即经济系统的平 衡价格向量 每个p3的非负取值都确定一个平衡价格的取值 例如 我们取p3为1 000亿元 则p1 1 417亿元 p2 0 917亿元 即如果五金化工行业产出价格为1 417亿元 则能源行业产出价格为0 917亿元 机械行业的产出价格为1 000亿元 那么每个行业的收入和支出相等 谢谢观赏