高中数学 第三章 空间向量与立体几何本章归纳整合课件 新人教A版选修2-1.ppt

知能整合提升 1 类比平面向量 理解空间向量 1 空间向量是平面向量的推广 所涉及的内容 如模 零向量 单位向量 自由向量 相等向量 平行向量等与平面向量基本相似 平面向量的运算律和运算法则同样适用于空间向量 因此要充分利用这两种向量间的内在联系 运用类比的数学思想进行学习 2 空间向量的加 减 数乘运算都可以通过平移使其转化为平面向量 并利用平面向量的加 减运算法则及有关运算律等知识来解决 因此要注意强化这种空间问题平面化的解题意识 2 准确把握三个定理 顺利解决向量平行 共面 分解问题 1 共线向量定理 对空间任意两个向量a b b 0 a b的充要条件是存在实数 使a b 共线向量定理是证明线线平行的主要依据 也是解决三点共线问题的重要方法 3 空间向量基本定理 如果三个向量a b c不共面 那么对空间任一向量p 存在有序实数组 x y z 使得p xa yb zc 其中 a b c 叫做空间的一个基底 a b c都叫做基向量 由定理可知 空间任一向量都可以用三个不共面的向量表示出来 空间向量基本定理是实现空间任意向量的基底化表示 空间向量的坐标化表示的理论基础 3 重视数量积学习 加强向量运算与坐标表示的结合 1 空间两个向量的数量积是a b a b cos a b 数量积满足运算律 与数乘的结合律 即 a b a b R 交换律 即a b b a 分配律 即 a b c a c b c 4 明晰两个向量含义 灵活判断位置关系设直线l m的方向向量分别为a b 平面 的法向量分别为u v 则 5 三法解决立体几何问题 强化坐标法意识 1 综合法以逻辑推理作为工具解决问题 向量法利用向量的概念及其运算解决问题 坐标法利用数及其运算来解决问题 一般情况下 我们遵循的原则是 以综合法为基础 以向量法为主导 以坐标法为中心 2 将空间向量的运算与向量的坐标表示结合起来 可以简单地处理线线 线面 面面的夹角及点到面的距离等计算问题 热点考点例析 1 空间向量及其加减运算 1 空间向量可以看作是平面向量的推广 它们之间有许多共同性质 如模 零向量 单位向量 相等向量 相反向量等都是一致的 2 空间向量的加减法是用几何方式引入的 向量的加法满足交换律及结合律 对于加法的平行四边形法则和三角形法则 以及减法的三角形法则要注意灵活运用 空间向量的概念及其运算 用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法 1 线线平行 证明两条直线平行 只需证明两条直线的方向向量是共线向量 2 线线垂直 证明两条直线垂直 只需证明两条直线的方向向量垂直 即a b a b 0 空间向量与线面位置关系 3 线面平行 用向量证明线面平行的方法主要有 证明直线的方向向量与平面的法向量垂直 证明可在平面内找到的一个向量与直线的方向向量是共线向量 4 线面垂直 用向量证明线面垂直的方法主要有 证明直线的方向向量与平面的法向量平行 利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题 5 面面平行 证明两个平面的法向量平行 即是共线向量 转化为线面平行 线线平行问题 6 面面垂直 证明两个平面的法向量互相垂直 转化为线面垂直 线线垂直问题 如图所示 在直三棱柱ABC A1B1C1中 ABC 90 BC 2 CC1 4 EB1 1 D F G分别为CC1 B1C1 A1C1的中点 EF与B1D相交于点H 1 求证 B1D 平面ABD 2 求证 平面EGF 平面ABD 2 如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 M N分别为AB B1C的中点 1 用向量法证明平面A1BD 平面B1CD1 2 用向量法证明MN 面A1BD 空间角包括 异面直线所成的角 线线角 直线与平面所成的角 线面角 二面角 面面角 用向量法求空间角 就把复杂的作角 证明 求角问题代数化 降低了思维难度 是近年来高考的一个方向 空间向量与空间角 如图 在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中 AB 2 AA1 4 E为BC的中点 F为CC1的中点 1 求EF与平面ABCD所成的角的余弦值 2 求二面角F DE C的余弦值 3 如图 在长方体ABCD A1B1C1D1中 E F分别是棱BC CC1上的点 CF AB 2CE AB AD AA1 1 2 4 1 求异面直线EF与A1D所成角的余弦值 2 证明 AF 平面A1ED 3 求二面角A1 ED F的正弦值 1 以下命题中 不正确的个数为 a b a b 是a b共线的充要条件 若a b 则存在唯一的实数 使a b 若a b 0 b c 0 则a c 若a b c为空间的一个基底 则a b b c c a构成空间的另一个基底 a b c a b c A 2B 3C 4D 5解析 只有命题 正确 答案 C 5 已知点A的基底 a b c 下的坐标为 8 6 4 其中 a i j b j k c k i 则点A在基底 i j k 下的坐标为 解析 8a 6b 4c 8 i j 6 j k 4 k i 12i 14j 10k 点A在 i j k 下的坐标为 12 14 10 答案 12 14 10 7 已知向量a 3b垂直于向量7a 5b 向量a 4b垂直于向量7a 2b 求向量a与b的夹角 8 如图所示 在长方体ABCD A1B1C1D1中 AB 5 AD 8 AA1 4 M为B1C1上一点且B1M 2 点N在线段A1D上 A1D AN