大学物理01质点运动学(最新).ppt

第一章质点运动学 第二章牛顿运动定律 第三章功和能 第四章动量和角动量 第五章刚体的转动 第一篇力学 力学是研究物体机械运动的规律及其应用的学科 机械运动 物体在空间的位置随时间变化的过程 运动学 只从几何观点研究物体的运动 如何运动 第1章 力学动力学 联系产生或改变运动的原因一起研究 第2 3 4 5章 静力学 研究作用在物体上的力的平衡条件 本课程内不讨论 引言 1 1参考系质点 1 2质点的位移速度和加速度 1 3相对运动 1 4圆周运动 第一章质点运动学 1 掌握位矢 位移 速度 加速度 角速度和角加速度等描述质点运动和运动变化的物理量的定义及其矢量性 相对性和瞬时性 2 能借助于直角坐标系用微积分方法计算质点在平面内运动的速度 加速度和轨道方程 3 能计算质点作抛体运动和圆周运动时的角速度 角加速度 切向加速度和法向加速度 教学要求 物体的运动是绝对的 对运动的描述是相对的 一 参考系 坐标系参考系 为了研究一个物体的运动 必须另选一物体作参考 这个被选作参考的物体称为参考系 参考系的数学抽象是坐标系 坐标系 定量地表示某一物体相对于参考系的位置 物体的运动对不同的参考系有不同的描述 这个事实称为运动描述的相对性 由于运动的描述是相对的 所以描述物体的机械运动时必须指明所用的参考系 1 1参考系质点 一般描述地球上物体运动时 以地球作为参考系 例 车厢在地面上向右匀速运动 甲在地面上 乙在车厢内 同时观察螺钉从车顶落下的过程 甲 螺钉作平抛运动 乙 螺钉作自由落体运动 可见参考系不同对运动的描述也不同 即对运动的描述是相对的 甲 乙 二 质点 理想模型 质点 具有质量而没有形状和大小的理想物体 一个物体能否看作质点 要根据问题的性质来决定 例如 地球绕太阳运动 而研究地球的自转时 地球可以当作质点 地球就不能当作质点 两条原则 1 物体的线度大大地小于它的运动空间 2 物体作平动 平动 三 时间和时刻任何一个物理过程 包括机械运动 都必须经历一段时间 人们常用一个物理过程来定义时间 例如 地球自转一周所经历的时间为一天 等于86400秒 时间趋于无限小时 就是时刻 时间对应于物理过程 路程 位移 时刻对应于物理状态 位置 一 质点的运动方程 轨道1 质点的运动方程一质点在OXY平面上运动 任意时刻t 在平面上P点的位置可以由两个坐标x y来确定 如图 它们是时间的函数 上式称为质点的运动方程 知道了运动方程 就可以描述出质点在空间运动的轨迹 掌握质点运动的规律 运动学的问题 归根结底就是求质点的运动方程 1 2质点的位移速度和加速度 运动方程 描述质点的位置随时间变化的方程 或表示质点运动的规律的方程 2 轨道由运动方程消去时间t就得到质点的轨道方程 轨道方程 描述质点运动路线的方程 如直线运动 曲线运动 圆 椭圆 抛物线运动等 例如 平抛运动 轨道为一抛物线 轨道为一圆心在原点 半径为A的园 3 位置矢量 从坐标原点到质点所在位置P的矢量称为位置矢量 以上两式是等效的 都称为质点的运动方程 圆周运动 i j是X Y轴上的单位矢量 是时间的函数 y 二 位移 质点沿轨道运动 t时刻在点 时刻到达点 则在t到这段时间间隔内 质点从位移到点 到的矢量称为质点在时间内的位移 要注意区别位移与路程 路程 是内质点运动的轨道的长度 即在轨道上与间的长度 是标量 位移 是从起始位置引向终止位置的有向线段 即是从到间的矢径 是矢量 到的路程为 大小为 平均速度与所选取的时间段 或位移段 有关 故必须说明是一段时间间隔内的平均速度 平均速度是质点运动状况的一种近似描述 方向为的方向 三 速度 速度是描述质点运动快慢程度和运动方向的物理量 速度是矢量 1 平均速度 位移与发生这段位移所用时间之比 称为质点在时间内的平均速度 2 瞬时速度 当趋近于0时 也趋近于0 点无限接近点 此时的平均速度就是在t时刻 或位置 的瞬时速度 简称速度 的方向是曲线在点的切线方向 的数值 从矢量代数可得 若令角为与X轴之间的夹角 则 总之 速度的大小 或 速度的方向 该点切线方向 与X方向间夹角 在描述运动时常用到 速率 的概念 速率是标量 在内的平均速率与运动方向无关 其大小为 平均速率与平均速度是不相同的 假如在内质点绕圆运动一周 则平均速度 而平均速率 瞬时速率为平均速率在0时的极限 可见 瞬时速率与瞬时速度的大小相同 即该时刻的速度的大小就等于该时刻的速率 t时刻的速率 请判断下列式子的对错 解 将以上二式两边平方及相加得 这就是轨道的正交坐标方程 上式表示质点的轨道是半径为R的圆周 圆心在点处 例题1 1 已知质点的运动方程为 其中R及为常量 求质点的轨道及速度 速度的大小 为一常量 所以质点的运动为匀速圆周运动 又当t从零增加时 为负 为正 所以质点在圆周上以反时针方向绕圆心运动 速度v与X轴所成的角由下式决定 四 加速度 1 平均加速度 加速度是描述质点速度变化快慢的物理量 是矢量 设质点在t时刻时在P点 速度为v 经过后 质点运动到Q点 速度为v1 则在时间内速度的增量为 则内的平均加速度为 称为在t到t 时间间隔内的平均加速度 同理 平均加速度也是加速度的近似值 2 瞬时加速度 当 即时 可以得到质点在P点时的瞬时加速度 加速度的大小为 加速度与X轴所成的角为 则 加速度是速度对时间的变化率 所以无论速度的大小改变或方向改变 都有加速度 解 由此得加速度的大小 例题1 1 已知质点的运动方程为 求质点加速度 如果把加速度写成矢量式 则有 令表示从圆心到质点 x y 的矢径 得 合并 1 20 及 1 21 式便得到可见加速度的方向为沿半径指向圆心的方向 已知质点的运动方程 用微分的方法可以求得质点运动的速度和加速度 反之 已知质点运动的加速度和初始条件也可以用积分的方法求得速度和运动方程 解 两边积分得 再由 得 两边积分得 当t 0时x x0 v v0可以求得c1 v0 c2 x0 所以得速度 运动方程 位移公式 匀变速直线运动公式 例 一质点作匀变速直线运动 加速度为a 在t 0时 x x0 v v0求质点的速度及运动方程 例1 设质点的运动方程为 计算在 到 这段时间间隔内的平均速度 解 由平均速度的定义式 在 内的平均速度为 其中 解 由题意知 速度的分量式为 故t 3s时速度分量为 故t 3s时速度为 而在t 3s时的速率为 求 时的速度和速率 由运动方程可分别作x t y t和y x图 作出质点运动的轨迹图 例2 一质点运动轨迹为抛物线 z 0 求 x 4时 t 0 粒子的速度 速率 加速度 分析 x 4 t 2 x 解 速率 速度 加速度 加速度大小 解 a是t的函数 由相应的公式得 例3 已知 求 则 位置矢量为 根据积分公式 得 例4 已知质点运动方程为x 2t y 19 2t2 式中x y以米计 t以秒计 试求 1 轨道方程 2 t 1s时的速度和加速度 3 何时质点位矢与速度矢量垂直 2 对运动方程求导 得到任意时刻的速度 对速度求导 得到任意时刻的加速度 1 2 解 1 运动方程联立 消去时间t得到轨道方程 将时间t 1s代入速度和加速度分量式 1 2 中 求出时间t 1s对应的速度和加速度 速度大小 加速度大小 与x轴夹角 3 质点位矢与速度矢量相互垂直的条件为 与y轴正方向相反 矢量的乘积有两种 标积 点乘积 两矢量点积后为标量 矢积 叉乘积 两矢量叉积后为矢量 矢量的标积 点乘积 t 3s舍去 所以质点位矢与速度矢量在t 0s和t 3s时相互垂直 解得 由 例5 离水平面高为h的岸边 有人用绳以恒定速率v0拉船靠岸 试求 船靠岸的速度 加速度随船至岸边距离变化的关系式 对时间求导得到速度和加速度 1 2 由题意知 3 解 在如图所示的坐标系中 船的位矢为 4 将 5 式代入 1 和 2 式中得 分析船的运动特点 虽然收绳速率是均匀的 但船的前进方向并不是绳子的方向 故其运动是变速的 加速度也是变化的 即 5 例6 一小球沿斜面向上运动 其运动方程为S 5 4t t2 SI 则小球运动到最高点的时刻是 B 例7 一质点在平面上运动 已知质点位置矢量的表示式为 其中a b为常量 则该质点作 A 匀速直线运动 B 变速直线运动 C 抛物线运动 D 一般曲线运动 B 例8 一质点沿X轴运动 其加速度a与位置坐标X的关系为a 2 6x2 SI 如果质点在原点处的速度为零 试求其在任意位置处的速度 解 分离变量两边积分 例9 一质点在平面上作曲线运动 其速率V与路程S的关系为V 1 S2 SI 求其切向加速度以路程S来表示的表达式 解 即 一 相对运动的速度 物体的运动速度和加速度是相对于某个参考系的 参照系选取的不同 则物体的速度和加速度也不同 例如 在匀速直线运动的车厢中 有一苹果落下 以车厢为参考系 苹果作自由落体运动 而以地球作为参考系 苹果作平抛物运动 一个物体的运动 在两个不同的参考系之间的描述有何关系呢 我们讨论一种简单的情形 设地球为参考系E 称为静止参考系 相对于地球作平动的坐标系为M称为运动参考系 则在M运动过程中 它的三条坐标轴始终与最初的方向平行 如图1 12 1 3相对运动 OXY为坐标系E O X Y 为坐标系M 质点P对两个坐标系的位置矢量分别为 1 34 与O 对O的位置矢量 两边同时微分 1 35 质点对参考系E的速度 绝对速度 质点对参考系M的速度 相对速度 参考系M相对于参考系E的速度 牵连速度 1 36 质点的绝对速度等于相对速度与牵连速度的矢量和 速度合成定律 1 37 质点对参考系E的加速度 绝对加速度 质点对参考系M的加速度 相对加速度 参考系M相对于参考系E的加速度 牵连加速度 将 1 35 式再对时间t微分 二 相对运动的加速度 1 35 1 38 质点的绝对加速度等于相对加速度与牵连加速度的矢量和 加速度合成定律 在不同参考系下对运动的描述不同 描述运动是相对的 而物体的运动可以视为两种运动的合成 即物体同时参与两种运动 同时参与两种运动 有两个含义 2 变换了参考系 参考系之间有相对运动 1 物体的运动是由两个原因引起的 如平抛运动 1 由于惯性 水平方向匀速运动 2 由于受力 竖直方向匀加速运动 例1 飞机相对于空气的速度为200Km h 风速为56Km h 方向从西向东 地面上雷达测得飞机速度的大小为192Km h 方向是多少 解 由余弦定律有 例2 某人骑摩托车向东前进 其速率为10m s 1时觉得有南风 当速率增大到15m s 1时 又觉得有东南风 试求风的速度 由题知 解 选风为研究对象 地为静止参照系 人为运动参照系 X 东 风速的大小为 风速的方向为 圆运动是曲线运动的特例 曲线运动总伴随有速度变化 大小变化 方向不变 直线运动大小不变 方向变化 大小变化 方向变化 速度变化 曲线运动 加速度是反映速度变化的物理量 而速度有大小和方向的变化 反映速度方向变化快慢 法向加速度 反映速度大小变化快慢 切向加速度 这种法向 切向的分析方法叫自然法 或称自然坐标法 下面就用这种方法来讨论圆周运动 1 4圆周运动 质点在一个圆周上运动 它的速度大小保持不变 则其运动称为匀速圆周运动 此时虽然质点的运动速度不变 但方向随时变化 所以质点有加速度 设质点在半径为r的圆周上 以速度v作匀速率圆周运动 在t时刻 质点在P点速度为 则经过时间 t后 运动到Q点 速度为 则速度的增量为 加速度为 1 39 一 匀速圆周运动向心加速度 速度的增量为 从一点O 作 如图 由于分别与半径垂直 所以之间的夹角等于OP和OQ之间的夹角 则 Q 与 Q相似 对应边成比例 当 t 时 趋近于与垂直 即指向圆心 故的方向 指向圆心 因此称为向心加速度或法向加速度 1 39 二 变加速圆周运动 切向加速度和法向加速度 质点作圆周运动 其速度的大小随时间而变化 则称为变速圆周运动 设在t时刻 质点位于P点 速度为 则经过时间 t后 运动到Q点 速度为 如图 从A点作 则BC表示在 t时间内的速度的增量 在AC上取一点D 令AD AB 则矢量分为两个矢量和 为因加速度的方向改变而产生的速度增量 为因加速度的大小改变而产生的速度增量 则 平均加速度为 瞬时加速度为 1 46 1 45 1 42 法向加速度的大小 切向加速度的大小 为与之间的方向角 图1 16 1 48 总加速度的大小为 1 47 归纳起来 大小 方向 沿半径指向圆心 切向加速度 大小 方向 沿圆周切向 总加速度 大小 方向 法向加速度 三 圆周运动的角量描述 当质点作圆周运动时它的运动也可以用角量来描述 4 角加速度 描述质点角速度变化快慢的物理量 用表示 1 角坐标 描述质点在圆周运动中的位置 用表示 2 角位移 描述质点角位置变化的物理量 用表示 角位移是矢量 其方向由右手螺旋确定 大小为 一般规定 逆时针转动 角位移为正 顺时针为负 3 角速度 描述质点角位移变化快慢的物理量 用表示 设质点绕O点作圆周运动 在t时刻质点处于P点 经过 t时间后运动到Q点 则OP与OQ之间的夹角 称为质点在 t时间内的角位移 如图 角位移是矢量 质点沿反时针方向时 取正值 质点沿顺时针方向时 取负值 瞬时角速度 的单位为1弧度 秒 1 S 瞬时角加速度 的单位为1弧度 秒2 1 S2 平均角速度 平均角加速度 当 恒量时 质点作匀变速圆周运动 与匀变速直线运动的公式相似 四 线量与角量之间的关系 P Q O 线量角量关系 解 在最高处的加速度g就是向心加速度 即 例1 以初速率为抛射角为抛出一物体 问在其抛物线轨道最高处的曲率半径为多少 完 例2 一质点沿半径为R的圆周按 规律运动 v0 b是正值常数 求 1 t时刻总加速度 2 t为何值时总加速度大小等于b 速度方向与圆周相切并指向前方 2 由 得 解 1 已知运动轨道的问题 选用自然坐标系 例3 试计算地球自转时地面上各点的速度和加速度 P点的纬度为 在半径为R 且与赤道平面平行的平面内作圆周运动 其速度和向心加速度分别为 将北京 上海 广州纬度代入上式得 解 由自转周期T 24 60 60s有自转角速度为 地球半径R 6 4 106m 广州纬度 完 例4 一质点沿半径为R的圆运动 其路程S随时间t变化的规律为S bt ct2 2 SI 式中b c为大于零的常数 且b2 Rc 求 1 质点运动的切向加速度at和法向加速度an 2 质点运动经过t 时 at an 解 1 2 当时有