次型正定惯性指数.ppt

4 2二次型的标准形与规范形 一 用配方法化二次型为标准形 一 用配方法化二次型为标准形 令 实对称矩阵A 经过非退化线性替换 二次型f化为 存在可逆矩阵C 使得 二 用正交替换化二次型为标准形 实对称矩阵A 存在正交矩阵Q 使得 存在正交矩阵Q 使得 QTAQ A的所有特征值 实对称矩阵A 经过正交替换 标准形 二次型化为 例1用正交替换化二次型 为标准形 解二次型对应的矩阵为 特征值 再将单位化 得 将 1 2正交化得 并写出所作的线性替换 是正交矩阵 是正交矩阵 经过非退化的线性替换 二次型化为 例1考虑二次型 有 称此二次型是正定二次型 相应的矩阵 为正定矩阵 设实二次型 f x1 x2 xn XTAX AT A 如果对任何 则称二次型 A称为正定矩阵 是正定二次型 X x1 x2 xn T o 有 例1二次型 对任何 为正定二次型 X x1 x2 xn T o 二次型f x1 x2 xn x12 x22 xr2 r n 4 3二次型和对称矩阵的有定性 一 正定二次型和正定矩阵 二次型f x1 x2 xn x12 x22 xr2 r n 对x 0 0 f x1 x2 xn 0 xr 1 xn T o 有 故二次型 不是正定二次型 A 大于零 二 二次型正定性的判别 如何判断一个矩阵或二次型是否正定呢 以下给出几个矩阵为正定矩阵的充分必要条件 准则1 准则2 f的正惯性指数为n f正定 准则3 A的特征值都大于零 对称矩阵A为正定矩阵 称为矩阵A的顺序主子式 准则4对称阵A为正定矩阵 A的顺序主子式都大于零 例1判别下列矩阵或二次型是否正定 A正定 例1判别下列矩阵或二次型是否正定 解二次型对应的矩阵为 该二次型正定 例2 取何值时 下面的二次型正定 解二次型对应的矩阵为 当时 二次型正定 Ex2 取何值时 下面的二次型正定 B正定 三 二次型的有定性 也不是负定的 有 二次型是正定的 有 二次型是负定的 有 二次型是半正定的 使 有 二次型是半负定的 使 例二次型 不是正定的 半 半 此时 称为不定的 1 二次型的负定性 矩阵A负定 矩阵正定 即奇数阶顺序主子式小于零 偶数阶顺序主子式大于零 A的顺序主子式都为负