几何向量及线性运算3.1-3.2.3向量积.ppt

1 几何向量 第三章 哈工大数学系代数与几何教研室 王宝玲 2 本章内容提要 几何向量的线性运算 空间中的平面与直线 数量积 向量积 混合积几何向量的坐标 用坐标表示几何向量的运算 3 向量代数历史 数学历史 数学萌芽 公元前600年以前 初等数学 公元前600年到17世纪中叶 变量数学 17世纪中叶到19世纪20年代 数学发展的第三个时期 是变量数学时期 它以笛卡尔解析几何的建立为起点 4 笛卡尔 Descartes 1596年3月31日生于法国 解析几何是利用代数方法来研究几何图形性质的一门学科 平面解析几何空间解析几何主要是笛卡尔和费尔马 Fermat 共同创立 通过在空间中建立坐标系 将点用坐标表出 然后图形的几何性质可以用坐标之间的关系 特别是代数关系来表示 解析几何为微积分的出现创造了条件 5 向量代数 的应用 作为研究 空间 解析几何的工具 研究数学中其它一些分支 力学及其它学科的工具 向量代数引言 3 1向量及其线性运算 3 1向量及其线性运算 6 定义 有大小又有方向的量称为 几何 向量 记为 模 长度 大小 几何表示 用有向线段 代数表示 用坐标 x y z a b 把起点平移在一起 则完全重合 方向相同 大小相等 3 1 1向量的基本概念 自由向量 与起点无关的向量 7 几种特殊的向量 单位向量 负向量 a的负向量与a大小相等方向相反 记为 a 零向量 记为0 零向量的方向任意或不确定 两向量共线 同向或反向的向量 两向量共面 平行与同一平面的向量 任意两向量都共面 8 一 向量的加法 分析一下物理中的两种有方向的量 力的合成 可以引入向量加法的概念 加法 b a a b a b a b 2 三角形法则 1 平行四边形法则 首尾相连 a起点指向b终点 c a b 3 1 2向量的线性运算 9 3 多边形法则 n个向量之和 只要把它们相继地首尾连接后 从第一个向量的起点到最后一个向量的终点的向量 即为和向量 如 10 4 向量加法运算的性质 1 交换律 a b b a 2 结合律 a b c a b c 3 零向量 a 0 0 a a 4 反向量 a a a a 05 向量的减法 a b a b 两起点置一处 b终点指向a终点 a b 11 1 1a a 1 a a 2 k la kl a 3 k l a ka la 4 k a b ka kb 2 数乘运算的性质 1 数乘 二 向量的数乘 12 3 单位向量 a 0 a0 为与a同向的单位向量 4 平行 共线 注 1 2 a b无意义 3 13 如果k 0 a l k b a b共线 如果l 0 b k l a a b共线 5 两个向量a b共线 存在不全为零的数 平行 k l使ka lb 0 a kb或b ka 存在k使得 ka lb 0 14 6 三个向量a1 a2 a3共面 是存在不全为零的数k1 k2 k3使 证明思路必要性 分两种情况其中有平行向量其中两两不平行 a2 a3 a1 充分性 不仿设k1不为零 则有a1 k2 k1 a2 k3 k1 a3 15 例1 解因为平行四边形的对角线互相平分 所以 16 3 2向量的数量积 向量积和混合积 前面讨论的向量及运算只是在几何作图 而这节的目的是用投影法得到向量的坐标 即将向量与数对应起来 把向量的代数运算转化为数量 坐标 的代数运算 实际上是对向量及运算进行定量的描述 3 2 1向量在轴上的投影 17 注 零向量与任一向量的夹角可以在0到间任意取值 向量与轴及轴与轴的夹角都是正向间不超过的夹角 2 点在u轴上的投影 若A为空间中一点 u为一轴 过A点作垂直于u轴的平面 则与轴的交点为A在轴上的投影 1 向量的夹角 18 投影轴 u1 u2 3 向量在u轴上投影 19 u 投影轴 u1 u2 4 公式 20 向量的线性运算可以用来解决一些几何问题 要利用向量解决更复杂的几何问题 需要引入向量的其它运算 这其中最重要的就是数量积和向量积 向量的加法是从物理中力的合力抽象出来的 向量的数量积也可以从物理中力作功的计算公式抽象出来 3 2 2几何向量的数量积 数 21 物理背景 一物体在常力的作用下 沿直线运动产生的位移为时 则力所做的功是 抽去物理意义 就是两个向量确定一个数的运算 22 一个向量的模乘以另一个向量在这个向量上的投影 数量积又称为点积 内积 a b 1 定义 数量积 23 1 交换律 2 分配律 3 结合律 注 1 中未必有0向量 也可 2 无意义 3 数量积不满足消去律即 2 性质 4 a b c 3 几何应用 1 求模长 2 求夹角 4 求投影 a b a b 0 25 设 a 3b 7a 5b 且 a 4b 7a 2b 求 解 例1 26 用向量证明余弦定理 例2 证 即 中 27 3 2 3几何向量的向量积 1 定义 a b的向量积a b是一个向量 向量积也称为叉积或外积 2 几何意义 都非零且不共线 则 以为邻边的平行四边形的面积 a b a b 模 且a b a b成右手系 方向 b a 28 1 2 3 反交换律 4 结合律 5 分配律 规定 3 性质 29 1 求平行四边形面积 2 求夹角 h b sin a b 3 求平行四边形的高 4 可判断向量平行 4 几何应用 30 证明 证由数量积定义 由向量积定义知 两式相加有 例3 试证 例4 证 31 Bye 预习完3 2 3 3 2