《高等数学》(同济六版)教学课件★第2章.导数与微分.ppt

第二章 微积分学的创始人 德国数学家Leibniz 微分学 导数 描述函数变化快慢 微分 描述函数变化程度 都是描述物质运动的工具 从微观上研究函数 导数与微分 导数思想最早由法国 数学家Ferma在研究 极值问题中提出 英国数学家Newton 一 引例 二 导数的定义 三 导数的几何意义 四 函数的可导性与连续性的关系 五 单侧导数 第一节 导数的概念 第二章 一 引例 1 变速直线运动的速度 设描述质点运动位置的函数为 则到的平均速度为 而在时刻的瞬时速度为 自由落体运动 2 曲线的切线斜率 曲线 在M点处的切线 割线MN的极限位置MT 当时 割线MN的斜率 切线MT的斜率 两个问题的共性 瞬时速度 切线斜率 所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 类似问题还有 加速度 角速度 线密度 电流强度 是速度增量与时间增量之比的极限 是转角增量与时间增量之比的极限 是质量增量与长度增量之比的极限 是电量增量与时间增量之比的极限 变化率问题 二 导数的定义 定义1 设函数 在点 存在 并称此极限为 记作 即 则称函数 若 的某邻域内有定义 运动质点的位置函数 在时刻的瞬时速度 曲线 在M点处的切线斜率 不存在 就说函数在点不可导 若 也称 在 若函数在开区间I内每点都可导 此时导数值构成的新函数称为导函数 记作 注意 就称函数在I内可导 的导数为无穷大 若极限 例1 求函数 C为常数 的导数 解 即 例2 求函数 解 说明 对一般幂函数 为常数 例如 以后将证明 例3 求函数 的导数 解 则 即 类似可证得 例4 求函数 的导数 解 即 原式 是否可按下述方法作 例5 证明函数 在x 0不可导 证 不存在 例6 设 存在 求极限 解 原式 三 导数的几何意义 若 曲线过 上升 若 曲线过 下降 若 切线与x轴平行 称为驻点 若 切线与x轴垂直 切线方程 法线方程 例7 问曲线 哪一点有铅直切线 哪一点处 的切线与直线 平行 写出其切线方程 解 令 得 对应 则在点 1 1 1 1 处与直线 平行的切线方程分别为 即 故在原点 0 0 有铅直切线 四 函数的可导性与连续性的关系 定理1 证 设 在点x处可导 存在 因此必有 其中 故 所以函数 在点x连续 注意 函数在点x连续 但在该点未必可导 反例 在x 0处连续 但不可导 即 在点 的某个右邻域内 五 单侧导数 若极限 则称此极限值为 在处的右导数 记作 即 左 左 例如 在x 0处有 定义2 设函数 有定义 存在 定理2 函数 在点 且 存在 简写为 定理3 函数 左 左 若函数 与 都存在 则称 显然 在闭区间 a b 上可导 在开区间内可导 在闭区间上可导 可导的充分必要条件 是 且 内容小结 1 导数的实质 3 导数的几何意义 4 可导必连续 但连续不一定可导 5 已学求导公式 6 判断可导性 不连续 一定不可导 直接用导数定义 看左右导数是否存在且相等 2 增量比的极限 切线的斜率 思考与练习 1 函数在某点处的导数 区别 是函数 是数值 联系 注意 有什么区别与联系 与导函数 2 设 存在 则 3 已知 则 4 若 时 恒有 问 是否在 可导 解 由题设 由夹逼准则 故 在 可导 且 5 设 问a取何值时 在 都存在 并求出 解 显然该函数在x 0连续 故 时 此时 在 都存在 作业 P862 5 6 7 11 16 2 18 20 第二节 牛顿 1642 1727 伟大的英国数学家 物理学家 天文 学家和自然科学家 他在数学上的卓越 贡献是创立了微积分 1665年他提出正 流数 微分 术 次年又提出反流数 积分 术 并于1671 年完成 流数术与无穷级数 一书 1736年出版 他 还著有 自然哲学的数学原理 和 广义算术 等 莱布尼茨 1646 1716 德国数学家 哲学家 他和牛顿同为 微积分的创始人 他在 学艺 杂志 上发表的几篇有关微积分学的论文中 有的早于牛顿 所用微积分符号也远远优于牛顿 他还设计了作乘法的计算机 系统地阐述二进制计 数法 并把它与中国的八卦联系起来 备用题 解 因为 1 设 存在 且 求 所以 在 处连续 且 存在 证明 在 处可导 证 因为 存在 则有 所以 即 在 处可导 2 设 故 第二节 二 反函数的求导法则 三 复合函数求导法则 四 初等函数的求导问题 一 四则运算求导法则 函数的求导法则 第二章 解决求导问题的思路 构造性定义 求导法则 其他基本初等函数求导公式 证明中利用了两个重要极限 初等函数求导问题 本节内容 一 四则运算求导法则 定理1 的和 差 积 商 除分母 为0的点外 都在点x可导 且 下面分三部分加以证明 并同时给出相应的推论和 例题 此法则可推广到任意有限项的情形 证 设 则 故结论成立 例如 2 证 设 则有 故结论成立 推论 C为常数 例1 解 3 证 设 则有 故结论成立 推论 C为常数 例2 求证 证 类似可证 二 反函数的求导法则 定理2 y的某邻域内单调可导 证 在x处给增量 由反函数的单调性知 且由反函数的连续性知 因此 例3 求反三角函数及指数函数的导数 解 1 设 则 类似可求得 利用 则 2 设 则 小结 推论3 在点x可导 三 复合函数求导法则 定理3 在点 可导 复合函数 且 在点x可导 证 在点u可导 故 当时 故有 例如 关键 搞清复合函数结构 由外向内逐层求导 推广 此法则可推广到多个中间变量的情形 例4 求下列导数 解 1 2 3 说明 类似可得 例5 设 求 解 思考 若 存在 如何求 的导数 例6 设 解 记 则 反双曲正弦 其他反双曲函数的导数看参考书自推 的反函数 双曲正弦 四 初等函数的求导问题 1 常数和基本初等函数的导数 P95 2 有限次四则运算的求导法则 C为常数 3 复合函数求导法则 4 初等函数在定义区间内可导 由定义证 说明 最基本的公式 其他公式 用求导法则推出 且导数仍为初等函数 例7 求 解 例8 设 解 求 先化简后求导 例9 求 解 关键 搞清复合函数结构由外向内逐层求导 例10 设 求 解 内容小结 求导公式及求导法则 见P95 P96 注意 1 2 搞清复合函数结构 由外向内逐层求导 1 思考与练习 对吗 2 设 其中 在 因 故 正确解法 时 下列做法是否正确 在求 处连续 由于f a 0 故 3 求下列函数的导数 解 1 2 或 4 设 求 解 方法1利用导数定义 方法2利用求导公式 作业 P972 2 8 10 3 2 3 4 6 6 8 7 3 7 10 8 4 5 8 10 10 11 3 8 10 12 4 8 14 第三节 备用题1 设 解 2 设 解 求 二 高阶导数的运算法则 第三节 一 高阶导数的概念 高阶导数 第二章 一 高阶导数的概念 速度 即 加速度 即 引例 变速直线运动 定义 若函数 的导数 可导 或 即 或 类似地 二阶导数的导数称为三阶导数 阶导数的导数称为n阶导数 或 的二阶导数 记作 的导数为 依次类推 分别记作 则称 设 求 解 依次类推 例1 思考 设 问 可得 例2 设 求 解 特别有 解 规定0 1 思考 例3 设 求 例4 设 求 解 一般地 类似可证 例5 设 解 例6 设 求使 存在的最高 分析 但是 不存在 2 又 阶数 规律 二 高阶导数的运算法则 都有n阶导数 则 C为常数 莱布尼茨 Leibniz 公式 规律 规律 用数学归纳法可证 例7 求 解 设 则 代入莱布尼茨公式 得 例8 设 求 解 即 用莱布尼茨公式求n阶导数 令 得 由 得 即 由 得 内容小结 1 逐阶求导法 2 利用归纳法 3 间接法 利用已知的高阶导数公式 4 利用莱布尼茨公式 高阶导数的求法 如下列公式 思考与练习 1 如何求下列函数的n阶导数 解 解 3 提示 令 解 各项均含因子 x 2 2 填空题 1 设 则 提示 2 已知 任意阶可导 且 时 提示 则当 3 试从 导出 解 同样可求 见P103题4 作业P1031 9 12 3 4 2 6 9 10 2 11 2 3 第四节 解 设 求 其中f二阶可导 备用题 第四节 一 隐函数的导数 二 由参数方程确定的函数的导数 三 相关变化率 隐函数和参数方程求导 相关变化率 第二章 一 隐函数的导数 若由方程 可确定y是x的函数 由 表示的函数 称为显函数 例如 可确定显函数 可确定y是x的函数 但此隐函数不能显化 函数为隐函数 则称此 隐函数求导方法 两边对x求导 注意y y x 含导数的方程 例1 求由方程 在x 0处的导数 解 方程两边对x求导 得 因x 0时y 0 故 确定的隐函数 例2 求椭圆 在点 处的切线方程 解 椭圆方程两边对x求导 故切线方程为 即 例3 求 的导数 解 两边取对数 化为隐式 两边对x求导 1 对幂指函数 可用对数 说明 注意 求导法求导 2 有些显函数用对数求导法求导很方便 例如 两边取对数 两边对x求导 又如 对x求导 两边取对数 二 由参数方程确定的函数的导数 若参数方程 可确定一个y与x之间的函数 可导 且 则 时 有 时 有 此时看成x是y的函数 关系 若上述参数方程中 二阶可导 且 则由它确定的函数 可求二阶导数 利用新的参数方程 可得 记 例4 设 且 求 已知 解 练习 书P112题8 1 解 注意 例5 抛射体运动轨迹的参数方程为 求抛射体在时刻t的运动速度的大小和方向 解 先求速度大小 速度的水平分量为 垂直分量为 故抛射体速度大小 再求速度方向 即轨迹的切线方向 设 为切线倾角 则 抛射体轨迹的参数方程 速度的水平分量 垂直分量 在刚射出 即t 0 时 倾角为 达到最高点的时刻 高度 落地时刻 抛射最远距离 速度的方向 例6 设由方程 确定函数 求 解 方程组两边对t求导 得 故 三 相关变化率 为两可导函数 之间有联系 之间也有联系 称为相关变化率 相关变化率问题解法 找出相关变量的关系式 对t求导 得相关变化率之间的关系式 求出未知的相关变化率 例7 一气球从离开观察员500m处离地面铅直上升 其速率为 当气球高度为500m时 观察员 视线的仰角增加率是多少 解 设气球上升t分后其高度为h 仰角为 则 两边对t求导 已知 h 500m时 思考题 当气球升至500m时停住 有一观测者以 100m min的速率向气球出发点走来 当距离为500m 时 仰角的增加率是多少 提示 对t求导 已知 求 试求当容器内水 例8 有一底半径为Rcm 高为hcm的圆锥容器 今以自顶部向容器内注水 位等于锥高的一半时水面上升的速度 解 设时刻t容器内水面高度为x 水的 两边对t求导 而 故 体积为V 则 内容小结 1 隐函数求导法则 直接对方程两边求导 2 对数求导法 适用于幂指函数及某些用连乘 连除表示的函数 3 参数方程求导法 极坐标方程求导 4 相关变化率问题 列出依赖于t的相关变量关系式 对t求导 相关变化率之间的关系式 转化 求高阶导数时 从低到高每次都用参数方程求导公式 思考与练习 1 求螺线 在对应于 的点处的切线方程 解 化为参数方程 当 时对应点 斜率 切线方程为 点击图中任意处动画播放 暂停 2 设 求 提示 分别用对数微分法求 答案 3 设 由方程 确定 解 方程两边对x求导 得 再求导 得 当 时 故由 得 再代入 得 求 作业 P1111 1 4 2 3 3 4 4 2 4 5 2 6 7 2 8 2 4 9 2 10 12 第五节 求其反函数的导数 解 方法1 方法2 等式两边同时对求导 备用题 1 设 求 解 方程组两边同时对t求导 得 2 设 二 微分运算法则 三 微分在近似计算中的应用 四 微分在估计误差中的应用 第五节 一 微分的概念 函数的微分 第二章 一 微分的概念 引例 一块正方形金属薄片受温度变化的影响 问此薄片面积改变了多少 设薄片边长为x 面积为A 则 面积的增量为 关于 x的线性主部 故 当x在 取 变到 边长由 其 的微分 定义 若函数 在点的增量可表示为 A为不依赖于 x的常数 则称函数 而称为 记作 即 定理 函数 在点可微的充要条件是 即 在点 可微 定理 函数 证 必要性 已知 在点可微 则 故 在点可导 且 在点可微的充要条件是 在点处可导 且 即 定理 函数 在点可微的充要条件是 在点处可导 且 即 充分性 已知 即 在点可导 则 说明 时 所以 时 很小时 有近似公式 与 是等价无穷小 当 故当 微分的几何意义 当很小时 则有 从而 导数也叫作微商 切线纵坐标的增量 自变量的微分 记作 记 例如 基本初等函数的微分公式 见P116表 又如 二 微分运算法则 设u x v x 均可微 则 C为常数 分别可微 的微分为 微分形式不变 5 复合函数的微分 则复合函数 例1 求 解 例2 设 求 解 利用一阶微分形式不变性 有 例3 在下列括号中填入适当的函数使等式成立 说明 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容 注意 数学中的反问题往往出现多值性 注意 注 数学中的反问题往往出现多值性 例如 三 微分在近似计算中的应用 当 很小时 使用原则 得近似等式 特别当 很小时 常用近似公式 很小 证明 令 得 的近似值 解 设 取 则 例4 求 的近似值 解 例5 计算 例6 有一批半径为1cm的球 为了提高球面的光洁度 解 已知球体体积为 镀铜体积为V在 时体积的增量 因此每只球需用铜约为 g 用铜多少克 估计一下 每只球需 要镀上一层铜 厚度定为0 01cm 四 微分在估计误差中的应用 某量的精确值为A 其近似值为a 称为a的绝对误差 称为a的相对误差 若 称为测量A的绝对误差限 称为测量A的相对误差限 误差传递公式 已知测量误差限为 按公式 计算y值时的误差 故y的绝对误差限约为 相对误差限约为 若直接测量某量得x 例7 设测得圆钢截面的直径 测量D的 绝对误差限 欲利用公式 圆钢截面积 解 计算A的绝对误差限约为 A的相对误差限约为 试估计面积的误差 计算 mm2 内容小结 1 微分概念 微分的定义及几何意义 可微 可导 2 微分运算法则 微分形式不变性 u是自变量或中间变量 3 微分的应用 近似计算 估计误差 思考与练习 1 设函数 的图形如下 试在图中标出的点 处的 及 并说明其正负 2 5 设 由方程 确定 解 方程两边求微分 得 当 时 由上式得 求 则 作业 P1231 3 4 7 8 9 10 4 5 8 1 9 2 12 习题课 1 已知 求 解 因为 所以 备用题 已知 求 解 方程两边求微分 得 2 习题课 习题课 一 导数和微分的概念及应用 二 导数和微分的求法 导数与微分 第二章 一 导数和微分的概念及应用 导数 当 时 为右导数 当 时 为左导数 微分 关系 可导 可微 思考P125题1 应用 1 利用导数定义解决的问题 3 微分在近似计算与误差估计中的应用 2 用导数定义求极限 1 推出三个最基本的导数公式及求导法则 其他求导公式都可由它们及求导法则推出 2 求分段函数在分界点处的导数 及某些特殊 函数在特殊点处的导数 3 由导数定义证明一些命题 例1 设 存在 求 解 原式 例2 若 且 存在 求 解 原式 且 联想到凑导数的定义式 例3 设 在 处连续 且 求 解 思考 书P125题2 3 例4 设 试确定常数a b 解 得 即 使f x 处处可导 并求 是否为连续函数 判别 设 解 又 例5 处的连续性及可导性 二 导数和微分的求法 1 正确使用导数及微分公式和法则 2 熟练掌握求导方法和技巧 1 求分段函数的导数 注意讨论界点处左右导数是否存在和相等 2 隐函数求导法 对数微分法 3 参数方程求导法 极坐标方程求导 4 复合函数求导法 可利用微分形式不变性 5 高阶导数的求法 逐次求导归纳 间接求导法 利用莱布尼茨公式 导出 例6 设 其中 可微 解 例7 且 存在 问怎样 选择 可使下述函数在 处有二阶导数 解 由题设 存在 因此 1 利用 在 连续 即 得 2 利用 而 得 3 利用 而 得 作业 P1255 6 1 7 8 3 4 5 9 2 11 12 2 13 15 18