无套利理论的基本思想.ppt

1 金融资产定价的基本思想 一般均衡理论与无套利理论 刘庆富复旦大学金融研究院2009年2月 2 主要讲授内容 一 数学公理化方法的优势和缺陷二 一般均衡理论的基本思想三 无套利理论的基本思想四 一般均衡理论与无套利理论的关系 3 一 数学公理化方法的优势和缺陷 我们知道数学具有普适性 灵活性 简单性 高效可计算性等优点 它使得我们金融学的理解和思考更为深入 但金融经济学所用的数学有它自己的特点 1 数学公理化方法是用演绎逻辑而非归纳推理 1 演绎逻辑 从作为前提的 已知 事实 必然地 推出结论一阶逻辑 逻辑客体之间的同一层次的相互关系 即谓词逻辑 高阶逻辑 不同层次的相互关系 2 归纳推理 根据过去的经验 推出一般的规律 这源于根据过去的经验 我们曾经作过正确的判断 例如 金融学领域的调查 统计分析 计量经济学模型等 都是用归纳逻辑 但是 归纳逻辑在一定意义上是靠不住的 常见例子 但为什么还要去用呢 这主要因为 一是事物本身具有一定的统计特征 二是人们思维的惯性 4 2 数学公理化方法是用外延逻辑而非内涵逻辑 1 外延逻辑 所涉及的对象和集合都是由它们的外延 即由它们同性质的成员 来确定的 2 内涵逻辑 根据对象规定的内涵 概念所反映的事物的特性或本质 来确定的 例如 投资策略和投资组合在内涵上当然不同 但在外延上 他们都对应相同的量 常被认为是同样的集合 又如 期权定价理论中的基本方法是用基本证券的组合来 复制 期权 在外延上 期权与证券组合是可以相互替代的 但在内涵上 这两者绝对不是一回事情 虽然 现代金融学融汇了大量的数学和逻辑工具 但从金融学的发展来看 现有的数学方法远远满足不了金融学的发展需要 这使得我们对许多重要的金融问题的研究还显得力不从心 5 二 一般均衡理论的基本思想 1 L Warlas的一般经济均衡理论 且是唯一的对经济整体提出的理论 在一个经济体中有许多经济活动者 其中一部分是消费者 一部分是生产者 消费者追求的是消费的最大效用 生产者追求的是生产的最大利润 他们的经济活动分别形成了市场上对商品的需求和供给 在这个体系下 需求和供给达到均衡 而每个消费者和每个生产者也都达到了他们的最大化要求 Warlas把这一思想表达为这样的数学问题 假定市场上有n种商品 每一种商品的供给S和需求D都是这n种商品的价格函数 于是这n种商品的供给与需求之间的平衡就得到了n个方程 由于n种商品需要一个计量单位 商品之间的比价 因此 只有n 1种商品的价格是独立的 为此 Warlas加入了一个财务均衡关系 即所有商品供给的总价值应该等于所有商品需求的总价值 这一关系 目前称为 瓦尔拉斯法则 按照当时人们熟知的线性方程组理论 这个方程组有解 其解就是一般均衡价格体系 但是 这一 数学论证 在数学上是站不住脚的 之后 这个问题经过数学家和经济学家80年的努力 才得以解决 即 在1954年 K J Arrow G Debreu 给出了一般经济均衡存在性的严格证明 至此 一般经济均衡理论的框架才得以正式确立 当然 在研究的过程中 J vonNeumann W Leontiev P Samuelson R Hicks等对均衡理论都做过不少贡献 6 一 无套利理论的提出现代理论金融经济学研究的中心问题是金融资产定价问题 Arrow Debreu模型回答了普通商品的定价问题 假定消费者追求最大消费效用 生产者追求最大生产利润 然后在一定条件下 存在一个一般经济均衡的价格体系 使得商品的供需达到平衡 对于金融资产的定价似乎也应该走这条路 但是 由于金融市场的最主要的特征在于未来的不确定性 沿 均衡定价论 的道路前进步履十分艰难 1958年 Modigliani Miller提出了无套利假设来作为 公理 来作为金融资产定价的出发点 事实上 这条 公理 其实只是 均衡定价论 的推论 即达到一般均衡的价格体系一定是无套利的 这一理论十分有效 Black Schels Merton理论 Ross的APT理论几乎完全基于此 不过 套利定价理论 只能就事论事 由此无法建立全市场的理论框架 它只能作为 均衡定价论 的补充 三 无套利理论的基本思想 7 1 无套利假设怎样用来给金融资产定价呢 例子 期权的定价问题期权 是赋予购买者在规定期限内按照双方约定的价格购买或出售一定数量的金融资产的权利合约 分类 看涨期权 赋予期权买者购买标的资产权利的合约 看跌期权 赋予期权买者出售标的资产权利的合约 另外 按照到期日的不同 可分为欧式期权和美式期权 二 无套利理论的应用 8 期权在它被执行时的价格很清楚 如果股票的市价高于期权规定的的执行价格 那么期权的价格C就是市价S与执行价格K之差 如果股票的市价低于期权规定的的执行价格 那么期权是无用的 其价格为零 从而 期权的价格 CT max ST K 0 现在 我们要问 期权在其被执行前应该怎样定价 S0 aS0 bS0 当前未来 执行时刻 9 假定期权的执行价格为K 那么期权在 未来 可能出现两种价格 Ca max aS0 K 0 Cb max bS0 K 0 这种 期权可能定价 体现了几个假设 1 无套利假设 或者说 提出期权定价问题 已经默认 每一种 未来价值不确定的 期权都有其 当前确定的 价格 这一公理 2 线性定价法则 例如 若干份A证券与若干份B证券在一起的证券组合的总价值 应该等于A证券价格的同样倍数与B证券价格的同样倍数之和 或一个证券组合的价值应该等于它的组成证券的价值之和 3 对于任何一种证券 都可以自由买卖 且允许卖空 10 2 无套利假设下的几种金融资产定价方法 1 无套利假设下的对冲法为什么可以用对冲法呢 卖出股票与买入期权是两种风险方向相反的投资行为 适当的组合这两种投资行为 可以达到完全保值的作用 这样 假设 C0为 当前 的期权价格 S0为 当前 的股票价格Ca Cb 为T期的期权价格 aS0 bS0 为T期的的股票价格投资策略 卖出一份股票 买入x份期权 这样使得组合风险完全对冲 价值完全确保 由此 得到两个方程 S0 xC0 aS0 xCa S0 xC0 bS0 xCb推出 C0 Ca Cb aCb bCa a b 11 2 无套利假设下的 复制 思想为什么 由CT max ST K 0 可以看出 期权的 未来 价值虽然是不确定的 但是它完全依赖于股票的不确定性 由此来看 期权本身可以通过股票交易和银行存款的组合来 复制 假设 C0为 当前 的期权价格 S0为 当前 的股票价格Ca Cb 为T期的期权价格 aS0 bS0 为T期的的股票价格 复制 方法 一份期权相当于y元银行存款与z份股票的组合 于是 这种组合的 未来价值 与期权价值一致 由线性定价法则可以得到两个方程 Ca y zaS0Cb y zbS0由此 求得y和z的值 而当前价格C0 利用无套利假设 C0 y zS0 可以求出 12 3 概率意义下的期权定价思想为什么 在假定 未来 可能有的两种情况时 并未规定它们的可能性 概率 有多大 并且 投资可以根据自己所掌握的信息对这两种可能性作出自己的估计 主观概率 这样 我们给出无套利假设下的几个假设 系数a和b必然有一个大于 另一个小于 投资者总有一定的资金可以支配 且股市允许卖空 当前 与 未来 的货币价值一样时 不存在未来价值高于当前价值的证券组合 在以上假设下 就存在一种未来的可能估计 使得 未来 的股价的平均值恰好就等于 当前 的股价 有上文知道 a 1 b 1 必然存在q 在 和 之间 使得 aq 1 q b 1然而 当前 的期权价格应该就是在这种可能性估计下的 未来 的期权价格的平均值 C0 qCa 1 q Cb 13 3 无套利假设下的几种期权定价方法比较 假设的强度有差异虽然以上三种观点的期权定价结果完全一样 但第三种观点在模型的假设上要比前两种观点要强 例如 在前两种观点中 要求a和b是不相等的 而在第三种还要求1在a和b之间 否则不可能解释为一种状态发生的概率 而通常说的无套利假设是指要求最高的无套利假设 Black Scholes的期权定价模型主要也是采用第三个观点 其中 最为重要的一点是在于他们假设 时间的变化是连续的 股价的变化也是连续的 用数学上的几何布朗运动来表示 有一种其价值作指数增长的无风险证券来作为股价的参照物 需要注意的是 Black Scholes的原始论文中用的是第一个观点 股票交易与期权交易的适当组合可以对冲风险 从而成为一种无风险证券 由此 得到一个偏微分方程 其解就是Black Scholes定价公式 14 第二种观点隐含着一种 完全市场 的假设 因为 只有在 完全市场 中 每一种价值取决于股价变化的衍生证券 都可以通过某种股市交易策略来 复制 从而它们的价格就可以由股价和交易策略根据线性定价法则来决定 资产定价基本理论 第三种观点表达成严格的数学形式后 就称为资产定价基本理论 也就是说 完整的 无套利假设等价于存在对未来的不确定性的一种估计 使得任何时候的股价都等于未来股价的平均值 注 完全市场是指满足如下条件的市场 1 同质产品 2 众多的买者与卖者 3 买者和卖者可以自由进入市场 4 所有买者和卖者都掌握当前物价的完全信息 并能预测未来物价 5 就总成交额而言 市场各个经济主体的购销额是无关紧要的 6 买者与卖者无串通合谋行为 7 消费者追求效用最大化 生产者追求利润最大化 8 商品可转让 15 四 一般均衡理论与无套利理论的关系 下面 我再对无套利假设从另外一个角度来进行讨论 我们已经看到 通过线性定价法则或 和 无套利假设 可以用基本证券来为衍生品证券定价 这样的定价方法曾经长期为人们所不解 原因在于 传统的定价理论的观点 根据经济活动着的需求和供给 在一般经济均衡框架中形成的 当前的定价观点 而前文的定价方法中 只不过是通过股票的价格和货币的绝对保值来为期权 相对定价 它并不关心股票价格本身怎样形成这一问题 这里我们完全看不到市场中的经济活动者 为弄清楚从这个角度来看资产定价基本定理的合理性 我们来构造一个十分简单的投资 消费模型来加以说明 16 一 投资 消费模型的构建 S0 aS0 bS0 当前未来准备工作 1 假设 当前 和 未来 既无通货膨胀 也无银行业利息 2 效用函数的构建 一名投资 消费者A 他所追求的目标是他的消费效用最大 为此 定义一个静态的效用函数u c 其中 c是他所消费的价值 同时假定 u是c的增函数 对A来说 钱花得越多越好 对A来说 由于有 当前 和 未来 两个时刻 还需要通过当前的确定消费和将来的不确定消费 来构成一个综合的效用函数 17 一 投资 消费模型的构建 续 S0 aS0 bS0 当前未来第一 未来消费效用函数的构建 如前面讨论 我们看到 衍生证券的定价与股票的两种状态发生的概率是没有关系的 但是在这里 当A要进行决策时 就不得不根据他所掌握的信息 对 未来 有一个估计 于是他估计股票价值为aS0的概率为p 而为bS0的概率就是1 p 这个 p 1 p 可能是确实要发生的 客观概率 也可能是A根据自己掌握的信息来判断的 主观概率 根据所谓的 vonNeumann Morgenstern 的期望效用理论 A的未来不确定消费的效用就等于其不确定效用的数学期望 具体而言 如果A在状态a的消费价值为ca 在状态b的消费价值为cb 那么 其未来消费的效用就是p u ca 1 p u cb 这里 我们假定未来的消费效用函数与当前消费效用函数是一样的 18 第二 总效用函数的构建 如果我们再假定 A的总消费效用函数就是他的当前消费与未来消费效用之和 那么 他的总效用函数就是 U C0 ca cb u c0 p u ca 1 p u cb 其中 c0是当前消费价值 ca和cb分别是两种未来消费价值 19 现在的问题 A怎样通过他对银行和股市的投资 来使他的总消费效用最大 为此 假定 A在当前有资金e 在未来有资金ea和eb 于是如果A在当前向银行存款xd xd 0意味着贷款 在股市买入股票xs xs 0意味着卖空 在未来从银行取款 向股市卖出股票 那么我们就有 c0 e0 xd S0 xsca ea xd aS0 xscb eb xd bS0 xs其中 c0是当前消费价值 ca和cb分别是两种未来消费价值 并且 仍假设银行是无利息的 20 这样 对A来说的最优投资 消费决策问题就是这一问题是否一定有解 不一定 但另一方面 如果这一问题有解 那么作为上述结论的逆否命题 完整的 无套利假设一定成立 也就是说 如果我们需要用一般均衡框架来讨论金融问题 无套利假设的成立其实也是先决条件 21 方程的求解 如果在数学上假定一定的函数光滑性条件 那么 我们可以从解的一阶必要条件得到 由此 可得 其中 22 由此可以得到 令 那么 这样 就得到了前面的 等价概率鞅测度 23 也就是说 这其实就是另一种特殊方式的资产定价基本定理的证明 后一等式在假定未来股价aS0和bS0已知的条件下 给出了当前股价的定价公式 由上面的讨论说明 如果我们要从经济活动者的求最优投资 消费的问题出发 在得到股价定价关系的同时 我们同样可以得到资产定价基本定理 在这里 它可以表达为 最优投资 消费问题有解的充分必要条件是无套利假设成立 或者资产定价基本定理成立 这样 从无套利假设出发来讨论金融资产定价问题 就有了更多的理论依据