概率论的基本概念.ppt

第一章概率论的基本概念 1随机试验 2样本空间 随机事件 3频率与概率 4等可能概型 古典概型 5条件概率 6独立性 在标准大气压下 水加热到100 C必沸腾 同性电荷必然互斥 函数在间断点处不存在导数 确定性现象的特征 条件完全决定结果 人们通常将自然界或社会中出现的现象分成二类 1 确定性的现象 必然现象 necessity inevitability 在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象 例如 1随机试验 人们通常将自然界或社会中出现的现象分成二类 1 确定性的现象 必然现象 necessity inevitability 在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象 2 非确性的现象 偶然现象 randomly chance 在一定条件下可能出现也可能不出现的现象 上抛一枚硬币 出现正面向上 某商店某天某商品的销售量为50件 测试某厂某元件的寿命为1000小时 或尺寸大小 非确定性现象的特征 条件不能完全决定结果 1随机试验 不确定性现象都没有规律可循吗 有部分非确定性现象在大量重复试验时 统计结果呈现 否 例如 现出一定的规律性 在一瓶水内有许多水分子 每个水分子的运动存在着不定性 无法预言它在指定时刻的动量和方向 但大量水分子的平均活动却呈现出某种稳定性 如在一定的温度下 气体对器壁的压力是稳定的 呈现 无序中的规律 不确定性现象都没有规律可循吗 有部分非确定性现象在大量重复试验时 统计结果呈现 否 例如 现出一定的规律性 一门火炮在一定条件下进行射击 个别炮弹的弹着点可能偏离目标而有随机性的误差 但大量炮弹的弹着点则表现出一定的规律性 如一定的命中率 一定的分布规律等等 不确定性现象都没有规律可循吗 上抛一硬币10000次 在一定条件下 进行大量观测会发现某种规律性 出现正面向上的次数总是5000次左右 有部分非确定性现象在大量重复试验时 统计结果呈现 否 例如 现出一定的规律性 随机现象 随机事件的发生具有偶然性 机遇性 在一次试验中 可能发生 也可能不发生 但在大量重复试验中 随机现象常常表现出这样或那样的统计规律 称为随机现象的统计规律性 在个别试验中其结果呈现出不确定性 但重复试验中其结果又具有一定的规律性的非确定性现象称为随机现象 概率论与数理统计的研究对象 随机现象的统计规律性 鉴于我们要研究的对象和任务 即随机现象的统计规律性 必需对研究对象进行试验或观察 E1 抛一枚硬币 观察正面 反面出现的情况 E2 将一枚硬币抛三次 观察出现正面的次数 E3 某足球队在主场进行一场足球比赛 观察比赛结果 E4 某出租车公司电话订车中心 记录一天内接到订车电话的次数 E5 在一批灯泡中任意抽取一只 测试它的寿命 例 这些试验都具有以下的特点 可以在相同的条件下重复地进行 每次试验的可能结果不止一个 并且能事先明确试验的所有可能结果 进行试验之前不能确定哪一个结果会出现 在概率论中 我们将具有上述三个特点的试验称为随机试验 Randomexperiment 简称试验 用E表示 随机试验 2样本空间 随机事件 一 样本空间 Samplingspace 样本空间 把随机试验E的所有可能结果组成的集合称为随机试验E的样本空间 记为S 或 样本点 Samplingpoint 样本空间的元素 即E的每个可能的结果称为样本点 常用表示 有限样本空间 样本点个数有限 无限样本空间 样本点个数无限 E1 抛一枚硬币 观察正面 反面出现的情况 E2 将一枚硬币抛三次 观察出现正面的次数 E3 某足球队在主场进行一场足球比赛 观察比赛结果 E4 某出租车公司电话订车中心 记录一天内接到订车电话的次数 E5 在一批灯泡中任意抽取一只 测试它的寿命 解 出现正面 出现反面 T H E1 例请写出下面试验的样本空间 有限样本空间 E1 抛一枚硬币 观察正面 反面出现的情况 E2 将一枚硬币抛三次 观察出现正面的次数 E3 某足球队在主场进行一场足球比赛 观察比赛结果 E4 某出租车公司电话订车中心 记录一天内接到订车电话的次数 E5 在一批灯泡中任意抽取一只 测试它的寿命 解 E2 出现0次 出现1次 出现2次 出现3次 或 0 1 2 3 例请写出下面试验的样本空间 有限样本空间 例请写出下面试验的样本空间 E1 抛一枚硬币 观察正面 反面出现的情况 E2 将一枚硬币抛三次 观察出现正面的次数 E3 某足球队在主场进行一场足球比赛 观察比赛结果 E4 某出租车公司电话订车中心 记录一天内接到订车电话的次数 E5 在一批灯泡中任意抽取一只 测试它的寿命 解 E3 E4 E5 有限样本空间 无限样本空间 无限样本空间 E6 上抛一枚硬币三次 观察正反面出现的情况 E7 对目标进行射击 记录着弹点的位置 更多例子 E8 掷两次骰子作为一次试验 观察两次试验结果 HHH THH HTH TTH HHT THT HTT TTT 第一次有6个可能的结果 第二次也有6个可能的结果 将两次试验结果排序 则共有36种可能的结果 二 随机事件 Randomevent 在实际问题中 面对一个随机试验 我们一般关心的是某些特定的事件是否发生 出租车公司可能关心的是 电话订车中心一天中接到订车电话数不超过100 如 灯泡采购员可能关心的是 灯泡的寿命大于1000小时 在掷骰子中 赌徒关心的是掷两题骰子 出现的点数和大于6 随机事件 Randomevent 在随机试验中 可能发生也可能不发生的事情称为随机事件 随机事件的表示 常用大写字母A B C 表示 样本空间的子集称为随机事件 简称为事件 3 事件发生 当一次试验结果出现在这个集合时 即当一次试验结果 时 就称这次试验中事件 发生 否则称 未发生 即一次试验的结果为时 事件 发生 事件 未发生 例1掷一颗骰子 观察出现的点数 其样本空间 若掷骰子一次 出现点数 则 事件 表示出现的是偶数点 即 事件 表示出现的是奇数点 即 由 故在这一次试验中 事件 发生了 由 故在这一次试验中 事件 没有发生 若再掷骰子一次 出现点数 则在这一次试验中 事件 发生了 而事件 未发生 4 必然事件 每一次试验中必然会发生的事件 不可能事件 每一次试验中必然不会发生的事件 基本事件 试验的很一个可能结果都称为基本事件 即只含有单个样本点的集合 A 复合事件 基本事件 必然事件 由基本事件构成的事件 例 掷一颗骰子 观察出现的点数 其样本空间 事件 表示出现的是偶数点 即 事件 表示出现的是奇数点 即 复合事件 复合事件 事件 表示出现点数 即 基本事件 事件D表示出现点数小于10 必然事件 事件F表示出现点数大于10 不可能事件 例2一个袋中装有大小相同的3个白球和2个黑球 现从中任取出一球 试写出样本空间 并用样本空间的子集表示下列事件 解 设1 2 3号球是白球 4 5号球是黑球 摸出的是白球 摸出的是白球或黑球 摸出的是红球 摸出的是黑球 摸出的是3号球 摸出的是白球 摸出的是白球或黑球 4 5 1 2 3 摸出的是红球 摸出的是黑球 摸出的是3号球 样本空间 三 事件间的关系与运算 Relationandoperationofevents 有时候我们感兴趣的是一个较为复杂的事件 而直接研某些复杂事件 有时候比较复杂 此时 我们可以利用复杂事件与简单事件之间的联系 把较为复杂的事件分解为一些较简单的事件来研究 为此 我们先定义事件间的一些关系与运算 事件的包含 Inclusionrelation 如果事件A发生时 事件B一定发生 则称事件B包含事件A 记作 即 为 的子集 事件的相等 equivalentrelation 若事件A包含事件B 而且事件B包含事件A 则称事件A与事件B相等 记作A B 例 掷一颗骰子 观察出现的点数 其样本空间 事件 表示出现的是偶数点 即 事件 表示出现的是奇数点 即 事件 表示出现点数 即 显然事件 发生 则事件 一定发生 即 因 直径不合格 必然导致 产品不合格 所以 产品合格 包含 直径合格 即有 例 假如一个圆形零件合格定义为直径和高度都合格A 直径合格 高度合格 C 直径及高度合格 D 产品合格 同理有 事件的积 Productofevents 二事件 同时发生 也是一个事件 称为事件 与事件 的积事件 交事件 记为 发生且 发生 例 假如一个圆形零件合格定义为直径和高度都合格A 直径合格 高度合格 C 直径及高度合格 D 产品合格 显然有 简记为AB 互不相容 互斥 事件 Incompatibleevents 如果A B不能在同一次试验同时发生 则称A B为互不相容事件 或称A B互斥 则AB为不可能事件 若事件 与 互斥 两两互斥 若一些事件中任意两个都互斥 则称这些事件是两两互斥的 A B 互不相容事件的关系 事件的并 和 Unionofevents 二事件 至少发生一个 也是一个事件 称为事件 与事件 的并事件 和事件 记为 发生或 发生 例 假如一个圆形零件合格定义为直径和高度都合格A 直径不合格 高度不合格 C 直径及高度合格 D 产品不合格 显然有 事件的交与并的推广 事件的差 Differenceofevents 事件A发生 但事件B不发生 为一事件 称为A与B的差 A B S 例3从装有编号为1到10的球的袋中任取一球 记A 取到球的编号为偶数 2 4 6 8 10 B 取到的编号小于8 1 2 3 4 5 6 7 则 8 10 取到球的编号为偶数但不小于8 对立事件 Oppositeevents 事件 不发生 是一个事件 称为 的对立事件 或逆事件 A 为 的对立事件 当且仅当 对立事件与互斥事件的区别 S S B A B对立 A B互斥 互斥 对立 8 事件间的运算法则 1 交换律 2 结合律 3 分配律 4 摩根律 对偶律 例4设A B C表示三个随机事件 试将下列事件用A B C表示出来 1 事件 A B都发生 但C不发生 3 事件 A B C中恰有两个发生 2 事件 A B C都发生 4 事件 A B C中至少有两个发生 5 事件 C发生 但A B均不发生 或 例4设A B C表示三个随机事件 试将下列事件用A B C表示出来 7 三事件至少有一件发生 6 事件 A B C中有不多于一个事件发生 或 法一 法二 法三 法四 法三 分为互不相容的七事件的和 法四 分为三互不相容事件的和 分配律 例5运用事件的运算关系证明等式 证明 由有 例6设A B为两个随机事件 且 则 概率论与集合论之间的对应关系 事件A与事件B的差 A与B两集合的差集 事件A与B互不相容 A B两集合没有相同元素 事件A与事件B的和 A集合与B集合的并集 事件A与B的积事件 A集合与B集合的交集 作业 P322 随机事件在一次试验中有可能发生也可能不发生 但多次重复时 会发现有的事件发生多些 有的少些 这数量上的区别反映了随机事件的内在的一种规律 3频率与概率 我们常常希望知道某些事件在一次试验中发生的可能性究竟有多大 怎样来刻划事件发生的可能性大小呢 我们希望找一个合适的数来表征事件在一次试验中发生的可能性大小 为此 我们先引入频率 描述事件发生的频繁程度 进而引出表征事件在一次试验中发生的可能性大小的数 概率 一 频率的定义 Frequency 定义 设E为任一随机试验 A为其中任一事件 在相同条件下 把E独立的重复做n次 表示事件A在这n次试验中出现的次数 称为频数 比值称为事件A在这n次试验中出现的频率 Frequency 记为 即 频率的性质 非负性 规范性 有限可加性 若事件两两互不相容 则 一 频率的定义 Frequency 定义 设E为任一随机试验 A为其中任一事件 在相同条件下 把E独立的重复做n次 表示事件A在这n次试验中出现的次数 称为频数 比值称为事件A在这n次试验中出现的频率 Frequency 记为 即 频率的稳定性 实践证明 当试验次数n增大时 随机事件的频率逐渐趋向稳定 实例将一枚硬币抛掷5次 50次 500次 各做7遍 观察正面出现的次数及频率 表明 随着n的增加 事件的频率将呈现出稳定性 稳定于0 5 波动最小 历史上的掷硬币试验 稳定于 设有随机试验E 若当试验的次数充分大时 事件A发生的频率稳定在某数p附近摆动 则称数p为事件A发生的概率 Probability 记为 1 频率的稳定性是概率的经验基础 但并不是说概率决定于经验 一个事件发生的概率完全决定于事件本身的结构 指试验条件 是先于试验而客观存在的 2 概率的统计定义只是描述性的 4 概率的统计定义 5 概率的统计定义的几点说明 3 通常只能在充分大时 事件出现的频率才作为事件概率的近似值 二 概率的公理化定义 设E是随机试验 S为它的样本空间 对于E的每一事件A赋于一个实数 记为P A 称为事件A的概率 如果集合函数P A 满足下列条件 1 非负性 对任一事件A 有 2 规范性 对必然事件S 有 3 可列可加性 即对 则有 1 定义 2 概率的性质 1 2 有限可加性 若两两不相容 则有 3 证明 由知 又 于是 由有限可加性 有 即有 由非负性 即有 2 概率的性质 1 2 有限可加性 若两两不相容 则有 3 4 减法公式 对任意两事件A B 有 证明 易知 又 于是 由有限可加性有 即有 2 概率的性质 1 2 有限可加性 若两两不相容 则有 3 4 减法公式 对任意两事件A B 有 5 对任意事件A 有 证明 由有 即 2 概率的性质 1 2 有限可加性 若两两不相容 则有 3 4 减法公式 对任意两事件A B 有 5 对任意事件A 有 证明 由有 即 6 对任意事件A 有 7 加法公式 对任意两事件A B有 如图所示 有 注意到与不相容以及 即 证毕 证明 8 加法公式的推广 三个的情形 对三个事件 有 如图 对事件概率的量度好比对事件所对应的集合的面积计算 对n个事件有 9 加法公式的推广 任意n个的情形 解 由事件的运算关系 知 由 有 利用 于是 有 解 所求概率 又 从而所求概率 例3 94 已知是两个事件满足条件 且 解 由 有 于是 例4设A B为两个随机事件 则一定有 A B C D 4等可能概型 古典概型 E1 抛一枚硬币 观察正面 反面出现的情况 E2 掷一颗骰子 观察出现的点数 例 共同特点 1 每次试验只有有限个结果 2 每个结果出现的可能性相同 定义 如果一个随机试验E具有以下特征 1 试验的样本空间中仅含有有限个样本点 2 每个样本点出现的可能性相同 则称具有上述特性的概型为古典概型 等可能概型 讨论相应的概率问题称为古典概型问题 古典概型中事件概率的计算 于是 从而对于每一个基本事件 有 设事件A包含有k个基本事件 有 利用有限可加性 古典概型中事件概率的计算 几点说明 1 在应用古典概型时必须注意 等可能性 的条件 2 等可能性 是一种假设 在实际应用中 我们需要根据实际情况去判断是否可以认为各基本事件或样本点的出现是等可能的 例将一枚硬币上抛三次 设事件A 恰有一次出现正面 B 至少有一次出现正面 求A B的概率 HHH HHT HTH HTT THH THT TTH TTT 解 样本空间为 于是 注 上例中 将一枚硬币上抛三次 观察正面向上的次数 S 0 1 2 3 记Ai 正面出现i次 则P A0 1 8 P A1 3 8 P A2 3 8 P A3 1 8所以以Ai作为基本事件 则非等可能概型 例1一部四卷文集 按任意次序排列在一级书架上 问各册自右至左或自左至右恰成1 2 3 4顺序的概率是多少 解 样本点为四卷书书号的任一可能的排列 总数 n 4 3 2 1 A的有利场合数 A包含的样本点数 为2 1234 4321 例2一口袋装有6只球 其中4只白球 2只红球 从袋中取球两次 每次随机地取一只 考虑两种取球方式 a 放回抽样 第一次取一只 观其颜色后放回 搅匀后再取一只 b 不放回抽样 第一次取一球不放回 第二次从剩余的球中再取一球 试分别就上面两种情况求 1 取到的两只球都是白球的概率 2 取到的两只球颜色相同的概率 3 取到的两只球中至少有一只是白球的概率 解 a 放回抽样 从袋中任取两球 总的取法为 设 A 取到的两只球都是白球 B 取到的两只球都是红球 C 取到的两球中至少有一只白球 D 取到的两只球颜色相同 则显然有 取到的两只球都是白球的取法为 于是 取到的两只球都是红球的取法为 例2一口袋装有6只球 其中4只白球 2只红球 从袋中取球两次 每次随机地取一只 考虑两种取球方式 a 放回抽样 第一次取一只 观其颜色后放回 搅匀后再取一只 b 不放回抽样 第一次取一球不放回 第二次从剩余的球中再取一球 试分别就上面两种情况求 1 取到的两只球都是白球的概率 2 取到的两只球颜色相同的概率 3 取到的两只球中至少有一只是白球的概率 解 a 放回抽样 设 A 取到的两只球都是白球 B 取到的两只球都是红球 C 取到的两球中至少有一只白球 D 取到的两只球颜色相同 则显然有 又因 从而有 例2一口袋装有6只球 其中4只白球 2只红球 从袋中取球两次 每次随机地取一只 考虑两种取球方式 a 放回抽样 第一次取一只 观其颜色后放回 搅匀后再取一只 b 不放回抽样 第一次取一球不放回 第二次从剩余的球中再取一球 试分别就上面两种情况求 1 取到的两只球都是白球的概率 2 取到的两只球颜色相同的概率 3 取到的两只球中至少有一只是白球的概率 解 b 不放回抽样 从袋中任取两球 总的取法为 设 A 取到的两只球都是白球 B 取到的两只球都是红球 C 取到的两球中至少有一只白球 D 取到的两只球颜色相同 则显然有 取到的两只球都是白球的取法为 于是 取到的两只球都是红球的取法为 例2一口袋装有6只球 其中4只白球 2只红球 从袋中取球两次 每次随机地取一只 考虑两种取球方式 a 放回抽样 第一次取一只 观其颜色后放回 搅匀后再取一只 b 不放回抽样 第一次取一球不放回 第二次从剩余的球中再取一球 试分别就上面两种情况求 1 取到的两只球都是白球的概率 2 取到的两只球颜色相同的概率 3 取到的两只球中至少有一只是白球的概率 解 b 不放回抽样 设 A 取到的两只球都是白球 B 取到的两只球都是红球 C 取到的两球中至少有一只白球 D 取到的两只球颜色相同 则显然有 又因 从而有 例3有10个外观相同的电阻 其电阻分别是1欧 2欧 10欧 现从中任意取出3个 希望一个电阻值小于5欧 一个等于5欧 一个大于5欧 问一次抽取就能达到要求的概率 解 样本点为从10个不同电阻中任取三个的组合 样本空间总数为 计算有利场合数 有利场合数为 构成一个有利场合可分三个步骤 第一步 从小于5欧的电阻值中任取出一个 事件A 第二步 从等于5欧的电阻值中任取出一个 第三步 从大于5欧的电阻值中任取出一个 例4将r个球置于n个箱中 每个球以1 n的概率被置入某一特定箱中 若n r 试求任一箱内的球数均不超过1的概率 解 先计算样本空间总数 第一个球置于一箱中 共有n种放法 相继将每一个球置于一箱中都有n种放法 1 1 1 1 1 1 1 1 这样放完r个球构成一个可能的结果 样本点 再计算有利场合数 第一个球置于一箱中 共有n种放法 第二个球由于不能放到第一个球所在箱 所以只有n 1种放法 第r个球不能放到前r 1个球所在箱 所以只有n r 1种放法 有利场合数 由乘法原理 r个球的不同的放法有 于是 许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型 有n个人 设每个人的生日是任一天的概率为1 365 求这n n 365 个人没有两个人的生日相同 n人生日互不相同 的概率 可计算当n 40时 P 0 109 我敢打睹 我们班至少有两人生日在同一天 根据上公式得 许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型 有n个旅客 乘火车途经N个车站 设每个人在每站下车的概率为1 N N n 求指定的n个站各有一人下车的概率 某城市每周发生7次车祸 假设每天发生车祸的概率相同 求每天恰好发生一次车祸的概率 例5袋中有大小相同的a个黄球 b个白球 现将球从袋中一一随机摸出来 试求第k次摸出的球是黄球的概率 解法一 认为球是不相同的 可辩的 黄球编号为1 a 白球编号为1 b 设样本点为 依次取出的a b个球的排列 样本点总数为 a b 事件A 构成A的有利场合分两步 从a个黄球中任取出一个放到第k个位置 有a种方式 1 1 3 a 2 3 4 b 2 第k个位置 其余a b 1个位置是 a b 1 个球的任意排列 有 a b 1 种方式 A的有利场合数为 a a b 1 故 例5袋中有大小相同的a个黄球 b个白球 现将球从袋中一一随机摸出来 试求第k次摸出的球是黄球的概率 事件A 解法二 认为黄球及白球分别是没有区别的 不可辩的 总数 构成A的有利场合分两步 从a个黄球中任取出一个放到第k个位置 有1种方式 第k个位置 其余a b 1个位置是 a 1 个黄球和b个白球的两类排列 把依次取出的a b个球成一列 样本点为 两类元素 a个黄球和b个白球 的排列 有种方式 例6设100件产品中有5件次品 现从中任意抽出3件 求恰有2件是次品被抽出的概率 解法一 设样本点为从100件产品抽出3件的组合 正品95 M件次品 100件产品 A 总数 构成A的有利场合分两步 从5件次品中抽出2件 从95件正品中抽出3件 N件产品 次品5件 次品M件 正品N M 例6设100件产品中有5件次品 现从中任意抽出3件 求恰有2件是次品被抽出的概率 这是一种无放回抽样情形 有放回抽样时P A 解法二 设样本点为从100件产品抽出3件的排列 M件次品 A 总数 构成A的有利场合分两步 先确定正品次品的位置 即两类元素 一个正品和两个次品 的排列问题 正品从95件中取出一件有 第一件次品从5件中取出一件 第二件次品从4件中取出一件 能用组合作为样本点吗 正品95 100件产品 次品5件 例7在1 2000的整数中随机地取一个数 问取到的整数既不能被6整除 又不能被8整除的概率是多少 例8把C C E E I N S七个字母分别写在七张同样的卡片上 并且将卡片放入同一盒中 现从盒中任意一张一张地将卡片取出 并将其按取到的顺序排成一列 求排列结果恰好拼成一个英文单词的概率 C I S N C E E 拼成英文单词SCIENCE的情况数 有利场合数 为 故该结果出现的概率为 这个概率很小 这里算出的概率有如下的实际意义 如果多次重复这一抽卡试验 则我们所关心的事件在1260次试验中大约出现1次 解 七个字母的排列总数为7 这样小概率的事件在一次抽卡的试验中就发生了 人们有比较大的把握怀疑这是魔术 具体地说 可以99 921 的把握怀疑这是魔术 错误的概率是0 00079 小概率事件通常可以构成一个假设检验的依据 通常假定某 假设H 为真 在该前提下建立一小概率事件 如果在一次试验中该小概率事件发生 则判断该 假设H 不真 这是概率统计中假设检验的基本原理 实际推断原理 小概率事件在一次试验中实际上几乎是不会发生的 上推断过程是 假设H 设取到每一张牌的可能性相等 假设H不真 即认为抽到每一张牌的可能性不相等 例9某接待站在某一周曾接待过12次来访 已知所有这12次接待都是在周二和周四进行的 问是否可以推断接待时间是有规定的 分析 假设接待站的接待时间没有规定 即各来访者在一周 中任一天去接待站是等可能的 那么 12次来访者都是在周二和周四的概率为 由实际推断原理 有理由怀疑假设的正确性 从而推断接待站不是每天都接待来访者 即认为其时间是有规定的 几何概型 Geometricprobability 把古典概型推广到无限个样本点又具有 等可能 场合 人们引入了几何概型 由此形成了确定概率的另一方法 几何方法 如果一个试验具有以下两个特点 1 样本空间 是一个大小可以计量的几何区域 如线段 那么 事件A的概率由下式计算 研究相应的概率问题为几何概型问题 2 向区域内任意投一点 落在区域内任意点处都是 等可 平面 立体 能的 测度测度 几点说明 1 向区域 上随机投掷一点 这里 任意投掷一点 的含义是指该点落入 内任何部分区域内的可能性只与这部分区域的面积成比例 而与这部分区域的位置和形状无关 2 假如样本空间 可用一线段 或空间中某个区域表示 并且向 上随机投掷一点的含义如前述 则事件A的概率仍可用公式确定 只不过把事件的测度理解为长度或体积即可 那么 当两船相会时所求的事件发生 甲 乙两船将在同一天的0点到24点之间随机地到达码头 设该码头只有一个泊位 若甲先到 需停靠6小时后才离开码头 若乙先到 则要停靠8小时后才离开码头 问这两船中有船需等候泊位空出的概率 例10会面问题 解 设甲船 乙船到达码头的时间分别是x和y 两船到码头时刻 相当于向方形区域内投点 即乙比甲晚到6小时 或甲比乙晚到8小时 即A发生 6 8 例11 在长为l的线段AD中任取两点B C 将AD分成三折线 试求此三折线能构成三角形的概率 解 设线段被分成的三段长分别为x y和l x y 则样本空间 其面积 x y和l x y可以构成三角形 由两 边之和大于第三边 即有 即 构成三角形DCE 其面积为 于是 由几何概型 的概率计算公式有 例12随机地向半圆 a为正常数 内掷一点 点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比 求原点和该点的连线与x轴的夹角小于的概率 蒲丰问题 例131777年 法国科学家蒲丰 Buffon 提出了投针试验问题 平面上画有等距离为a 0 的一些平行直线 现向此平面任意投掷一根长为l l a 的针 试求针与任一平行直线相交的概率P 解 由投掷的任意性可知 这是一个几何概型问题 则A发生的充分必要条件是 蒲丰投针试验的应用及意义 历史上一些学者的计算结果 直线距离a 1