职高数学拓展模块(人教案)：椭圆的定义及标准方程.ppt

11 例题与练习 归纳小结 仙女座星系 星系中的椭圆 传说中的 飞碟 装饰中的椭圆 数学实验 1 取一条细绳 2 把它的两端固定在板上的两点F1 F2 3 用铅笔尖 M 把细绳拉紧 在板上慢慢移动看看画出的图形 观察做图过程思考 1 绳长与F1 F2之间的距离关系 2 在变化过程中 什么始终为定值 F1 F2 演示 一 椭圆的定义 平面上到两个定点的距离的和 2a 等于定长 大于 F1F2 的点的轨迹叫椭圆 定点F1 F2叫做椭圆的焦点 两焦点之间的距离叫做焦距 2c 椭圆定义的文字表述 椭圆定义的符号表述 二 椭圆方程推导的准备 1 建系设点 2 列等式 3 等式坐标化 4 化简 5 说明 方程推导 解 取过焦点F1 F2的直线为x轴 线段F1F2的垂直平分线为y轴 建立直角坐标系 如图 设M x y 是椭圆上任意一点 椭圆的焦距2c c 0 M与F1和F2的距离的和等于正常数2a 则F1 F2的坐标别是 c 0 c 0 将方程移项 两边平方 得 由椭圆的定义 椭圆就是集合 两边再平方 得 整理得 两边除以得 这就是椭圆方程 二 椭圆的标准方程 1 它表示 1 椭圆的焦点在x轴 2 焦点是F1 c 0 F2 c 0 3 c2 a2 b2 二 椭圆的标准方程 2 它表示 1 椭圆的焦点在y轴 2 焦点是F1 0 c F2 0 c 3 c2 a2 b2 F1 F2 M 0 x y 方程的特点 1 椭圆的标准方程有焦点在x轴和在y轴两种 2 椭圆标准方程的等号左边是两项的完全平方和 等号右边是1 3 椭圆标准方程中的a b及c有着特定的含义 且是一组三角勾股数a c 0 a b 0 a2 c2 b2 a最大 4 由标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母x y项的分母的大小来确定 焦点在分母大的项对应的字母所在的坐标轴上 例1写出适合下列条件的椭圆的标准方程 1 a 4 b 1 焦点在x轴 2 a 4 c 焦点在y轴上 3 两个焦点的坐标是 0 2 和 0 2 并且经过点 1 5 2 5 解 1 因为焦点在x轴上 所以设所求方程为 a 4 b 1 所求方程为 2 因为焦点在y轴上 所以设所求方程为 a 4 b 1 所求方程为 3 因为椭圆的焦点在y轴上 所以设它的标准方程为由椭圆的定义知 求一个椭圆的标准方程需求几个量 答 两个 a b或a c或b c 且a2 b2 c2注意 椭圆的标准方程 是个专有名词 就是指上述的两个方程 形式是固定的 又 所以所求椭圆方程为 例2 判定下列椭圆的焦点在 轴 并指明a2 b2 写出焦点坐标 答 在x轴 3 0 和 3 0 答 在y轴 0 5 和 0 5 答 在y轴 0 1 和 0 1 判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则 焦点在分母大的那一项对应的坐标轴上 例3 将下列方程化为标准方程 并判定焦点在哪个轴上 写出焦点坐标 在上述方程中 A B C满足什么条件 就表示椭圆 答 A B C同号 且A不等于B 例4 1 方程表示椭圆 求k的取值范围 变式 若焦点在y轴上 求k的范围 解 因为表示椭圆 所以 即16 k 24 k的取值范围是 16 24 解 因为表示椭圆 所以 即16 k 24 k的取值范围是 16 24 解 将椭圆方程5x2 ky2 5化为标准方程 焦点是 0 2 c2 4 b2 1 1 4 k 1 2 椭圆的一个焦点是 0 2 求k的值 例5已知B C是两定点 BC 6 且 ABC的周长等于16 求顶点A的轨迹方程 分析 1 判断 和是常数 常数大于两个定点之间的距离 故点的轨迹是椭圆 2 取过两个定点的直线做x轴 它的线段垂直平分线做y轴 建立直角坐标系 从而保证方程是标准方程 3 根据已知求出a c 再推出a b写出椭圆的标准方程 解 如图 以BC所在直线为x轴 以线段BC的垂直平分线为y轴 建立直角坐标系 由已知 AB AC BC 16 BC 6 有 AB AC 10 但当点A在BC上 即y 0时 A B C 三点不能构成三角形 所以A的轨迹方程是 即点A的轨迹是椭圆 且12c 6 2a 16 6 10 c 3 a 5 b2 52 32 16 A B C o x y 解题程序 1 根据椭圆定义判断点的轨迹是椭圆 2 象推导椭圆的标准方程时一样 以焦点所在直线为一个坐标轴 以焦点所在线段的垂直平分线为另一坐标轴 建立直角坐标系 从而保证椭圆的方程是标准方程 3 设椭圆标准方程 即用待定系数法 4 写出椭圆的标准方程 解题反思 练习 1 已知三角形ABC的一边BC长为8 周长为18 求顶点A的轨迹方程 答 归纳小结 1 本节课我们了解了椭圆的概念和椭圆的形成过程 2 给出了椭圆的准确定义并推出了椭圆的标准方程 3 椭圆的标准方程有两种 一种焦点在x轴 另一种焦点在y轴 4 给出了椭圆标准方程焦点位置的判断方法 5 求椭圆标准方程的方法主要是利用待定系数的方法求解出a和b 作业 教材96页1 3 2 3 1 3