统计量与抽样分布.ppt

第四章统计量与抽样分布 4 1总体和样本的统计分布 1 总体分布和样本性质总体 研究对象全体元素组成的集合所研究的对象的某个 或某些 数量指标的全体 它是一个随机变量 或多维随机变量 记为X 即总体的每个数量指标 可看作随机变量X的某个取值 用表示 样本 从总体中抽取的部分个体 称为总体X的一个容量为n的样本观测值 或称样本的一个实现 用表示 n为样本容量 样本空间 样本所有可能取值的集合 若总体X的样本满足 一般 对有限总体 放回抽样所得到的样本为简单随机样本 但使用不方便 常用不放回抽样代替 1 与X有相同的分布 2 相互独立 则称为简单随机样本 简单随机样本 设总体X的分布函数为F x 则样本 若总体X的密d f 为f x 则样本 的联合d f 为 的联合分布函数为 例如设某批产品共有N个 其中的次品数为M 其次品率为 若p是未知的 则可用抽样方法来估计它 X服从参数为p的0 1分布 可用如下表示方法 从这批产品中任取一个产品 用随机变量X来描述它是否是次品 设有放回地抽取一个容量为n的样本 的联合分布为 其样本值为 样本空间为 设是取自总体X的一个样本 为一实值连续函数 且不含有未知参数 称 定义 例是未知参数 若 已知 则为统计量 是一样本 是统计量 其中 则 常用的统计量 为样本均值 为样本方差 为样本标准差 为样本的k阶原点矩 为样本的k阶中心矩 例如 顺序统计量 为样本值 且 定义r v 其中 独立 与总体同分布 独立 与同分布 由辛钦大数定律知 样本矩的特性 都存在 其中为连续函数 设总体的均值和方差 样本均值与样本方差的数字特征 是来自总体的样本 则 都存在 证 样本均值与样本方差的实际意义 反映了实验数据与数据中心的偏离程度 反映了全体实验数据的离散程度 4 3抽样分布 样本 统计量 包含了各种有用信息 集中 提炼数据中包含的有用信息 它们是随机变量 必须确定其分布 称为抽样分布 来自标准正态总体的抽样分布 主要讨论 来自一般正态总体的抽样分布 分布分布分布 五个抽样分布定理 随着自由度的增加曲线重心向右下方移动 称服从自由度为的分布 记为 推广 则 于是 理解为可独立变化的r v个数 证 取个独立同分布的 随着自由度的增加曲线越来越趋近 称服从自由度为的分布 记为 易知 利用伽马函数的斯特林公式 即 故当较大时 可认为 英国统计学家兼化学家戈塞特 GossetWS1876 1937 于1908年用笔名Student发表了关于t分布的论文 这是一篇在统计学发展史上划时代的文章 它创立了小样本代替大样本的方法 开创了现代统计学的新纪元 Gosset Student的最后一个字母都是t 故取名为 t分布 又称为 学生氏分布 称服从自由度为的分布 记为 分布是为了纪念著名统计学家 费歇耳 R A Fisher1890 1962 而命名 2 抽样分布定理 最重要的总体 分析 对的推断是通过构造统计量实现的 如何构造 好 的统计量 服从什么分布 统计推断中最重要的结论 五个抽样分布定理 仍服从正态分布 且 定理一 证 本 则 独立同分布 由正态分布的性质知 线性组合 定理二 分别为样本均值和样本方差 则有 相互独立 分析 证略 定理三 分别为样本均值和样本方差 则有 证 由定理一 定理二有 且与独立 由分布的定义有 结果分析 即 平均 说来与的差别不大 故可用 代替 两个未知参数 一个未知参数 定理四 证 由定理二 有 因两样本独立 故独立 定理五 证 其中 且相互独立 又 由的独立性及分布的可加性有 由两样本的独立性及分布的定义有 面积为 则称为分布密度的上分位点 上分位点 的上分位点记为 则称为分布密度的上分位点 的上分位点记为 查标准正态分布表 可求得 例 上分位点 则称为分布密度的上分位点 的上分位点记为 查t分布表 可求得 例 上分位点 则称为分布密度的上分位点 的上分位点记为 例 查分布表 可求得 若则故 上分位点