《离散型随机变量》PPT课件.ppt

3 3 离散型随机变量 3 3 1 离散型随机变量及其分布律 一 离散型随机变量概率分布的定义 其中 k 1 2 满足 2 用这两条性质判断一个函数是否是概率函数 解 依据概率函数的性质 从中解得 二 表示方法 1 列表法 2 公式法 X 三 举例 例2 某篮球运动员投中篮圈概率是0 9 求他两次独立投篮投中次数X的概率分布 X的分布函数 P X4 解 X可取0 1 2为值 P X 0 0 1 0 1 0 01 P X 1 2 0 9 0 1 0 18 P X 2 0 9 0 9 0 81 且P X 0 P X 1 P X 2 1 常常表示为 这就是X的概率分布 其余的呢 3 3 离散型随机变量 3 3 2 几种常见的离散型随机变量 用X表示n重贝努里试验中事件A 成功 出现的次数 则 称r vX服从参数为n和p的二项分布 记作 X B n p 当n 1时 P X k pk 1 p 1 k k 0 1称X服从0 1分布 1 二项分布 例3已知100个产品中有5个次品 现从中有放回地取3次 每次任取1个 求在所取的3个中恰有2个次品的概率 解 依题意 每次试验取到次品的概率为0 05 设X为所取的3个中的次品数 于是 所求概率为 注 若将本例中的 有放回 改为 无放回 那么各次试验条件就不同了 不是贝努里概型 此时 只能用古典概型求解 例4某类灯泡使用时数在1000小时以上的概率是0 2 求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率 解 设X为三个灯泡在使用1000小时已坏的灯泡数 X B 3 0 8 把观察一个灯泡的使用时数看作一次试验 使用到1000小时已坏 视为 成功 每次试验 成功 的概率为0 8 P X1 P X 0 P X 1 0 2 3 3 0 8 0 2 2 0 104 对于固定n及p 当k增加时 概率P X k 先是随之增加直至达到最大值 随后单调减少 当 n 1 p不为整数时 二项概率P X k 在k n 1 p 达到最大值 称k为最可能成功次数 x 表示不超过x的最大整数 对于固定n及p 当k增加时 概率P X k 先是随之增加直至达到最大值 随后单调减少 当 n 1 p为整数时 二项概率P X k 在k n 1 p和k n 1 p 1处达到最大值 二项分布的泊松近似 当试验次数n很大时 计算二项概率变得很麻烦 如教材例4中 要计算 或诸如此类的计算问题 必须寻求近似方法 定理的条件意味着当n很大时 pn必定很小 因此 泊松定理表明 当n很大 p很小时有以下近似式 其中 n100 np10时近似效果就很好 实际计算中 其中 可将问题略为转换一下 仍然可以应用泊松近似 当n很大时 p不是很小 而是很大 接近于1 时 下面我们看一个应用例子 例5为保证设备正常工作 需要配备适量的维修人员 设共有300台设备 每台的工作相互独立 发生故障的概率都是0 01 若在通常的情况下 一台设备的故障可由一人来处理 问至少应配备多少维修人员 才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于0 01 设需配备N个维修人员 所求的是满足 P X N 0 01的最小的N P X N n大 p小 np 3 用 np 3的泊松近似 即至少需配备8个维修人员 查书末的泊松分布表得 N 19 即N8 2 泊松分布 设随机变量X概率分布为 其中 0是常数 则称X服从参数为的泊松分布 记作X P 历史上 泊松分布是作为二项分布的近似 于1837年由法国数学家泊松引入的 近数十年来 泊松分布日益显示其重要性 成为概率论中最重要的几个分布之一 在实际中 许多随机现象服从或近似服从泊松分布 二 二项分布与泊松分布 稀有事件出现的次数近似地服从泊松分布 我们把在每次试验中出现概率很小的事件称作稀有事件 如地震 火山爆发 特大洪水 意外事故等等 例6 一家商店采用科学管理 由该商店过去的销售记录知道 某种商品每月的销售数可以用参数 5的泊松分布来描述 为了以95 以上的把握保证不脱销 问商店在月底至少应进某种商品多少件 解 设该商品每月的销售数为X 已知X服从参数 5的泊松分布 设商店在月底应进某种商品m件 进货数 销售数 查泊松分布表得 P X m 0 05 也即 于是得m 1 10 或 m 9件