《概率论与数理统计》样卷分析.ppt

概率论与数理统计重修 河海大学理学院数学系2010 07 一 古典概率 一 内容提要 随机事件 概率及其性质 古典概型与几何概型 条件概率 乘法公式 全概率公式与贝叶斯公式 事件的独立性 伯努利概型 二 相关问题 1 已知P A 0 3 P A B 0 4 则 3 已知P 0 5 P B 0 4 P 0 6 则P A 2 袋中有20只黄球30只白球 二人依次从中任取一球 则第二人抽得黄球的概率为 4 设事件A与B相互独立 已知P A 0 5 P A B 0 8 则 5 设A B为任意两事件 且A B P B 0 则下列不等式正确的是 A P A P A B B P A P A B C P A P A B D P A P A B 6 甲 乙 丙三人同时对飞机射击 三人击中的概率分别为0 4 0 6 0 8 飞机被一人击中而被击落的概率为0 3 被两人击中而被击落的概率为0 7 若三人都击中飞机 飞机必定被击落 1 求飞机被击落的概率 2 若已知飞机被击落 求因被两人击中而被击落的概率 7 设有来自三个班级的各10名 15名和25名学生参加一个文体节目 其中各班的女生分别为3名 7名和5名 随机地选一个班级 再从中先后选取两人做一个节目 1 求先选到的一人为女生的概率 2 已知后选到的一人为男生 求求先选到的一人为女生的概率 8 若事件A B的概率为正 则事件A B互不相容与事件A B相互独立同时成立 二 随机变量及其分布 一 内容提要 随机变量及其分类 一维离散型随机变量 分布律及其性质 分布函数及其性质 一维连续型随机变量 密度函数及其性质 二维随机变量的联合分布 边缘分布 随机变量的独立性 随机变量函数的分布 二 相关问题 1 已知随机变量X的分布函数F x A Barctgx 则A B 概率密度f x 2 设某类电子管的使用寿命X 以小时计 的概率密度是f x 一等品的使用寿命在110小时以上 二等品的使用寿命在80 110小时 三等品的使用寿命在80小时以内 一等品 二等品 三等品的包装损坏率分别是0 002 0 20与0 30 现从一大批这类电子管 一 二 三等品混合 中任取一只 求 1 它碰巧是一只由于包装导致损坏的电子管的概率 2 若已知这是一只由于包装导致损坏的电子管 求它原来是二等品的概率 3 设随机变量X服从参数为 2 p 的二项分布 随机变量Y服从参数为 4 p 的二项分布 若P X 1 5 9 则P Y 1 4 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间 以分计 服从指数分布 其密度函数为 某顾客在窗口等待服务 若超过10分钟 他就离开 他一个月要到银行5次 以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数 求出的分布律 并求P Y 4 5 设 若k使得P X k 2 3 则k的取值范围是 6 设F1 x 与F2 x 分别为r v X1与X2的分布函数 为使F x aF1 x bF2 x 是某一r v 的分布函数 在下列给定的各组数值中应取 A a 3 5 b 2 5 B a 2 3 b 2 3 C a 1 2 b 3 2 D a 1 3 b 3 2 7 已知随机变量X Y相互独立且都来自参数为 0的指数分布 试用两种方法求出Z X Y的概率密度 8 设随机变量X概率密度是求 1 F x 2 Y aX b的概率密度 其中a 0 b为常数 9 设二维随机变量 X Y 的分布律为试验证X与Y是不相关的 也不是相互独立的 1 设r v X Y相互独立 D X 2 D Y 4 则D 2X Y 三 随机变量的数字特征 一 内容提要 随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质 方差及其性质 协方差与相关系数 二 相关问题 2 设随机变量X与Y独立同分布 且U X Y V X Y 则协方差cov U V 3 已知随机变量X N 0 1 0 为常数 试证明 X N 2 4 设二维连续型随机变量 X Y 的密度函数为求 1 关于X和Y的边缘密度函数fX x fY y 2 Y的期望和方差E Y D Y 3 X与Y的协方差Cov X Y 4 Z max X Y 的密度函数 5 设连续型随机变量的密度函数为且E X 1 3 则a b 6 设随机变量X在区间 1 2 上服从均匀分布 随机变量Y是X的函数 且 则方差D Y 7 设二维r v X Y 在矩形G x y 0 x 2 0 y 1 上服从均匀分布 记 试求 1 U和V的联合概率分布 2 U和V的相关系数 8 游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光 电梯于每个整点的第5分钟 第25分钟 第55分钟从底层起行 假设某游客在早八点第X分钟到达底层侯梯处 且X在 0 60 上均匀分布 求该游客等候时间的数学期望 9 设X是r v EX DX 2 则对任意常数C 必有 A E X C 2 EX2 C2 B E X C 2 E X 2 C E X C 2 E X 2 D E X C 2 E X 2 10 设二维r v X Y 服从二维正态分布 则r v X Y与 X Y不相关的充分必要条件为 A E X E Y B E X2 E X 2 E Y2 E Y 2 C E X2 E Y2 D E X2 E X 2 E Y2 E Y 2 四 样本与抽样分布 一 内容提要 总体与样本 经验分布与统计量 统计中的三个重要分布 正态总体的抽样分布理论 二 相关问题 1 设X1 Xn是来自正态总体N 2 的一个样本 则 2 设X1 Xn是来自正态总体N 2 的一个样本 则 服从 3 设X N 1 12 Y N 2 22 X1 Xn1 Y1 Yn2分别是两总体相互独立的样本 则的分布是 4 设X1 X2 X3是来自正态总体N 0 1 的简单随机样本 X X12 a X2 2X3 2 则当a 时 统计量X服从 2分布 自由度为 5 设X N 1 12 Y N 2 22 X1 Xn Y1 Ym分别是两相互独立的样本 则 6 设X1 X2 X3 X4是来自正态总体N 0 22 的简单随机样本 X a X1 2X2 2 b 3X3 4X4 2 则当a b 时 统计量服从 2分布 其自由度为 1 设总体X的密度函数为其中为未知参数 求的矩估计量和极大似然估计量 并说明的极大似然估计量是否为其无偏估计量 请给出理由 2 若P X k ke k k 0 1 2 则 的极大似然估计量 五 参数估计 一 内容提要 估计量与估计值 矩估计 极大似然估计 估计量的评价 区间估计 正态分布均值与方差的置信区间 二 相关问题 3 设总体X的概率函数为f x 其中 为未知参数 X1 Xn为来自总体X的一个样本 1 试求未知参数 的矩估计量和极大似然估计量 2 讨论未知参数 的极大似然估计量的无偏性 并说明理由 4 设总体X的概率密度为 其中 1是未知参数 X1 Xn是来自总体X的一个容量为n的简单随机样本 分别用矩估计法和极大似然估计法求 的估计量 5 设X1 Xn Xn 1是来自总体X的简单随机样本 则 服从的分布是 A N 0 1 B t n C t n 1 D t n 1 6 假设0 50 1 25 0 80 2 00是来自总体X简单随机样本 已知Y lnX服从正态分布N 1 1 求X的数学期望EX 记EX为b 2 求 的置信度为0 95的置信区间 3 利用上述结果求b的置信度为0 95的置信区间 1 假设检验中常见的两类错误是和 六 假设检验 一 内容提要 假设检验的概念 正态总体参数的假设检验 二 相关问题 2 下面列出的是某工厂随机选取的9只部件的装配时间 分 9 8 10 4 10 6 9 6 9 7 9 9 8 9 10 9 11 1设装配时间总体服从正态分布 1 试问装配时间与10是否有显著性的区别 给定显著性水平 0 05 2 求出该总体均值的置信度为0 95的置信区间 3 某自动包装机包装大米 额定标准为每袋净重50千克 设包装机称得的米重服从正态分布 某日任取该包装机所包装的9袋大米 称得其重量 千克 如下 49 7 50 6 51 8 50 4 49 8 51 1 51 0 50 5 51 2 t分布表P T t n 1 问这天该包装机工作是否正常 给定显著性水平 0 05 2 求正态总体均值的置信度为0 95的置信区间 THEEnd