《多元函数微分学》PPT课件.ppt

1 第七章多元函数微分学 2 第一节多元函数的基本概念 预备知识 多元函数的概念 多元函数的极限 多元函数的连续性 小结思考题作业 第七章多元函数微分学 3 一 预备知识 1 平面点集n维空间 实数组 x y 的全体 即 坐标面 坐标平面上具有某种性质P的点的集合 称为 平面点集 记作 1 平面点集 二元有序 多元函数的基本概念 距离 4 邻域 Neighborhood 设P0 x0 y0 是xOy平面上的一个点 令 多元函数的基本概念 几何表示 P0 有时简记为 称之为 将邻域去掉中心 称之为 去心邻域 5 1 内点 显然 E的内点属于E 2 外点 如果存在点P的某个邻域 则称P为E的 外点 3 边界点 如点P的任一邻域内既有属于E的点 也有不属于E的点 称P为E的边界点 任意一点 与任意一点集 之间 必有以下三种关系中的一种 设E为一平面点集 若存在 称P为E的 内点 E的边界点的全体称为E的 边界 记作 使U P E 点P的某个邻域 多元函数的基本概念 显然 E的外点不属于E 显然 E的边界点可能属于E 也可能不属于E 6 例如 设点集 则P为E的内点 则P为E的边界点 E的边界 为集合 多元函数的基本概念 7 聚点 如果点P的任一去心邻域 内总含有属于E的点 则称P是E的 聚点 1 聚点P本身可属于E 也可不 属于E 例如 设点集 都是E的聚点 则 2 E的内点一定是E的聚点 3 E的边界点可能是聚点 也可能不是聚点 多元函数的基本概念 8 开集 若E的任意一点都是内点 称E为开集 例 为开集 闭集 若E的余集 是开集 称E为闭集 例 为闭集 如对E内任何两点 连通集 都可用折线连结起来 且该折线上的点都属于E 称E为连通集 有界集 设O 0 0 如果存在r 0 使得 则称E为有界集 否则称E为无界集 多元函数的基本概念 9 例 则E1是开集 E2和E3是闭集 E1和E2是连通集 E3不是连通集 E1 E2和E3都是有界集 则E4是连通的无界闭集 多元函数的基本概念 10 平面区域 重要 连通的开集称 开区域 如 都是开区域 多元函数的基本概念 11 开区域连同其边界 称为 有界区域 否则称为 多元函数的基本概念 都是闭区域 如 总可以被包围在一个以原点为中心 适当大的圆内的区域 称此区域为 半径 可伸展到无限远处的区域 闭区域 有界区域 无界区域 12 有界开区域 有界半开半闭区域 有界闭区域 无界闭区域 多元函数的基本概念 13 n元有序数组 的全体 n维空间中的每一个元素 称为空间中 称为该点的第k个坐标 n维空间中两点 的距离定义为 n维空间中点 记作 及 的 邻域为 2 n维空间 多元函数的基本概念 n维空间 称为 即 的一个点 平面中上述概念可以类似推广到n维空间 14 二 多元函数的概念 1 二元函数的定义 例理想气体的状态方程是 称p为两个变量T V的函数 其中 1 定义 如温度T 体积V都在变化 则压强p依赖 多元函数的基本概念 R为常数 其中p为压强 V为体积 T为温度 于T V的关系是 15 按着某种关系有确定的 点集D称为该函数 称为该函数的 则称z是x y的 定义1 设D是R2平面上的点集 若在D内 每取定一个点P x y 时 实数 多元函数的基本概念 记为 称x y为 的 数集 二元函数 称z为 自变量 因变量 定义域 值域 与之对应 两个二元函数相同 当且仅当它们的定义域和对应法则都相同 16 二元及二元以上的函数统称为 2 多元函数定义域 定义域为符合实际意义的 自变量取值的全体 记为 函数在点处的函数值 多元函数的基本概念 或 类似 可定义n元函数 多元函数 实际问题中的函数 自变量取值的全体 纯数学问题的函数 定义域为使运算有意义的 17 例求下面函数的定义域 解 无界闭区域 多元函数的基本概念 即定义域为 18 解 定义域是 有界半开半闭区域 多元函数的基本概念 19 2 二元函数的几何意义 二元函数的图形通常是一张 多元函数的基本概念 曲面 20 的图形是双曲抛物面 多元函数的基本概念 如 由空间解析几何知 函数 的图形是以原点为中心 R为半径的上半球面 又如 最后指出 从一元函数到二元函数 在内容 和方法上都会出现一些实质性的差别 而多元 函数之间差异不大 因此研究多元函数时 将以 二元函数为主 21 三 多元函数的极限 讨论二元函数 怎样描述呢 1 P x y 趋向于P0 x0 y0 的 回忆 一元函数的极限 路径又是多种多样的 多元函数的基本概念 方向有任意多个 22 2 变点P x y 这样 可以在一元函数的基础上得出二元函数极限的一般定义 多元函数的基本概念 总可以用 来表示极限过程 与定点P0 x0 y0 之间的距离记为 不论 的过程多复杂 23 记作 多元函数的基本概念 定义2 有 成立 的极限 设二元函数 P0 x0 y0 是D的聚点 的定义 义域为D 如果存在常数A 此极限称为二重极限 其坐标表示形式为 关于二元函数的极限概念可相应地推广到n元函数上去 24 说明 1 定义中 多元函数的基本概念 的方式是任意的 2 一元极限的许多结论在二重极限中同样成立 如极限的保号性 无穷小与有界量的乘积仍是无穷小 极限的四则运算 夹逼定理 等价无穷小替换乘除因子定理 25 则当 例 证 取 有 证毕 多元函数的基本概念 解1 26 解2 所以 这里用到无穷小与有界量的乘积仍是无穷小 多元函数的基本概念 27 例 解 故 原式 多元函数的基本概念 28 相同点 多元函数的极限与一元函数的极限的 2 一元函数在某点的极限存在的充要 定义相同 差异 必须是点P在定义域内以任何方式和途径趋 而多元函数 于P0时 多元函数的基本概念 相同点和差异是什么 条件是左右极限都存在且相等 都有极限 且相等 1 多元函数的极限不能用L Hospital 法则 29 确定极限 多元函数的基本概念 不存在 的方法 则可断言极限不存在 若极限值与k有关 1 2 此时也可断言 找两种不同趋近方式 但两者不相等 处极限不存在 存在 沿直线 3 找一条特殊路径 使函数沿此路径的极限不存在 30 当 x y 沿直线y kx的方向无限接近点 其值随k的不同而变化 所以 极限不存在 多元函数的基本概念 0 0 时 设函数 证明 函数的极限不存在 例 证 31 练习 取 解 多元函数的基本概念 取 极限不存在 32 多元函数的极限的基本问题有两类 1 研究二元函数极限的存在性 常研究 若其依赖于k 则 欲证明极限存在 特别对于 不存在 多元函数的基本概念 常用定义或夹逼定理 欲证明极限不存在 通过观察 猜测 常选择两条不同路径 求出不同的极限值 2 求极限值 常按一元函数极限的求法求之 罗必达法则除外 33 例求极限 解 多元函数的基本概念 34 多元函数的基本概念 例求极限 解 将分母有理化 得 35 再来看二元函数的另一种极限的运算 这里计算时用的是一元极限的定义 用了两次 所以此极限称为f x y 的二次极限 累次极限 36 求 答 0 答 不存在 答 不存在 二次极限都不存在时 但二重极限也可能 多元函数的基本概念 练习 存在 二次极限与二重极限有本质的区别 二次极限不同于二重极限 是两个完全不同的概念 37 可证明当f x y 在P0 x0 y0 的一个邻域上 第二 一般也是不相同的 第三 由此看出 第一 不能理解为 多元函数的基本概念 连续时 上述三个极限均相等 或 38 四 多元函数的连续性 设二元函数 则称函数 定义3 多元函数的基本概念 P0 x0 y0 为D的聚点 且P0 D 如果 连续 如果函数f x y 在开区域 闭区域 D内的 每一点连续 则称函数 在D内连续 或称函数 是D内的连续函数 的定义域为D 39 的不连续点 多元函数的基本概念 若函数在点P0 x0 y0 不连续 称P0为函数 间断点 没有定义 若沿D内某些曲线 但在D内其余部分 都有定义 则在这些曲线上 即间断点 函数 都是函数 则 在单位圆 处处是间断点 函数 例 40 多元函数的基本概念 0 0 点是该函数的间断点 函数 例 41 称为多元初等函数 多元函数的基本概念 积 商 分母不为零 及复合仍是连续的 同一元函数一样 多元连续函数的和 差 每个自变量的基本初等函数经有限次四则 运算和有限次复合 由一个式子表达的函数 处均连续 在它们的定义域的内点 42 有界闭区域上连续的多元函数的性质 可以取得它的最大值和最小值 介于这两值之间的每一个值 1 最大值和最小值定理 2 介值定理 多元函数的基本概念 在有界闭区域D上的多元连续函数 在D上 在有界闭区域D上的多元连续函数 如果 在D上取得两个不同的函数值 则它在D上取得 43 五 小结 多元函数的极限 多元函数连续性 有界闭区域上连续多元函数的性质 与一元函数的极限加以比较 注意相同点与差异 多元函数的概念 多元函数的基本概念 预备知识 内点 边界点 聚点 开集 连通 区域 44 多元函数的基本概念 思考题 是非题 必定不存在 是 因为对不同的k值 不同 不存在 45 想一想 如何证明f x y 在 证 多元函数的基本概念 xOy面上处处连续 是初等函数 处处连续 46 又 于是 即证明了f x y 在 多元函数的基本概念 由于 xOy面上处处连续 证明f x y 在 xOy面上处处连续 47 作业 习题7 1 p8 1 1 3 5 2 1 3 1 2 3 4 1 2 6 5 多元函数的基本概念 48 用联立不等式表示下列平面闭区域D 圆弧 直线 解 多元函数的基本概念 及 49 提示 解 多元函数的基本概念 是否把极限 理解为 先求 的极限 再求 的极限 或者 先求 的极限 再求 的极限 思考 研究 有 有 50 2 同理 3 再来分析当点 x y 沿过原点的直线 因此 不存在 多元函数的基本概念 对任意的 有 趋向于 有 时