九年级数学下册 3.2 圆的对称性课件1 北师大版.ppt

圆对称性 1 垂径定理 九年级数学 下 第三章圆 3 2 圆的对称性 3 2圆的对称性 复习提问 1 什么是轴对称图形 我们学过哪些轴对称图形 如果一个图形沿一条直线对折 直线两旁的部分能够互相重合 那么这个图形叫轴对称图形 如线段 角 等腰三角形 矩形 菱形 等腰梯形 正方形 圆是轴对称图形吗 如果是 它的对称轴是什么 你能找到多少条对称轴 你是用什么方法解决上述问题的 圆是轴对称图形 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线 它有无数条对称轴 可利用折叠的方法即可解决上述问题 3 2圆的对称性 O A C B N M D 圆是轴对称图形 经过圆心的每一条直线都是它的对称轴 O A C B N M D 或 任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴 任意一条直径都是圆的对称轴 圆的相关概念 圆上任意两点间的部分叫做圆弧 简称弧 arc 直径将圆分成两部分 每一部分都叫做半圆 如弧 连接圆上任意两点间的线段叫做弦 chord 如弦AB 经过圆心的弦叫做直径 diameter 如直径AC 同心圆 圆心相同 半径不相等的两个圆叫做同心圆 弓形 由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形 等圆 等弧 能够重合的两个圆叫做等圆 在同圆或等圆中 能够互相重合的弧叫做等弧 练习1 判断题 1 直径是弦 2 过圆心的线段是直径 3 半圆是弧 4 两个半圆是等弧 5 面积不等的两圆不是等圆 6 长度相等的两条弧是等弧 看一看 AE BE AE BE AM BM 垂径定理 AB是 O的一条弦 你能发现图中有哪些等量关系 与同伴说说你的想法和理由 作直径CD 使CD AB 垂足为M 下图是轴对称图形吗 如果是 其对称轴是什么 由 CD是直径 CD AB 题设 结论 如图 小明的理由是 连接OA OB 则OA OB 在Rt OAM和Rt OBM中 OA OB OM OM Rt OAM Rt OBM AM BM 点A和点B关于CD对称 O关于直径CD对称 当圆沿着直径CD对折时 点A与点B重合 垂径定理 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦 并且平分弦所对的两条弧 题设 结论 1 直径 2 垂直于弦 3 平分弦 4 平分弦所对的优弧 5 平分弦所对的劣弧 垂径定理三种语言 定理 垂直于弦的直径平分弦 并且平分弦所对的两条弧 老师提示 垂径定理是圆中一个重要的结论 三种语言要相互转化 形成整体 才能运用自如 CD AB 如图 CD是直径 AM BM 在下列图形中 你能否利用垂径定理找到相等的线段或相等的圆弧 如图 已知在 O中 弦AB的长为8厘米 圆心O到AB的距离为3厘米 求 O的半径 E 解 连结OA 过O作OE AB 垂足为E 则OE 3厘米 AE BE AB 8厘米 AE 4厘米在Rt AOE中 根据勾股定理有OA 5厘米 O的半径为5厘米 练习 课题 垂直于弦的直径 2 垂径定理的推论 M O A C B N 直线MN过圆心 AC BC MN AB 弧AM 弧BM 弧AN 弧BN 探索一 结论 推论1 1 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 O A B M N 一个圆的任意两条直径总是互相平分 但是它们不一定互相垂直 因此这里的弦如果是直径 结论就不一定成立 推论1 1 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 C D M O A C B N MN AB AC BC 直线MN过圆心O 弧AM 弧BM 弧AN 弧BN 探索二 推论1 2 弦的垂直平分线经过圆心 并且平分弦所对的两条弧 M O A C B N MN AB AC BC 弧AM 弧BM 直线MN过圆心O 弧AN 弧BN 探索三 推论1 3 平分弦所对的一条弧的直径 垂直平分弦 并且平分弦所对的另一条弧 C D A B M T E F G H N P 错在哪里 等分弧时一定要作弧所夹弦的垂直平分线 作AB的垂直平分线CD 作AT BT的垂直平分线EF GH 你可以写出相应的命题吗 如图 在下列五个条件中 只要具备其中两个条件 就可推出其余三个结论 CD是直径 AM BM CD AB 垂径定理的逆定理 垂径定理及逆定理 垂直于弦的直径平分弦 并且平分弦所的两条弧 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 平分弦所对的一条弧的直径 垂直平分弦 并且平分弦所对的另一条弧 弦的垂直平分线经过圆心 并且平分这条弦所对的两条弧 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心 并且平分弦和所对的另一条弧 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心 垂直于弦 并且平分弦所对的另一条弧 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心 并且垂直平分弦 CD是直径 AM BM CD AB 垂径定理的推论2 如果圆的两条弦互相平行 那么这两条弦所夹的弧相等吗 老师提示 这两条弦在圆中位置有两种情况 垂径定理的推论圆的两条平行弦所夹的弧相等 讲解 如果圆的两条弦互相平行 那么这两条弦所夹的弧相等 推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等 挑战自我画一画 如图 M为 O内的一点 利用尺规作一条弦AB 使AB过点M 并且AM BM C D A B E 例 平分已知弧AB 已知 弧AB 作法 连结AB 作AB的垂直平分线CD 交弧AB于点E 点E就是所求弧AB的中点 求作 弧AB的中点 挑战自我画一画 C D A B E F G 变式一 求弧AB的四等分点 m n C A B E 变式二 你能确定弧AB的圆心吗 m n D C A B E m n O 你能破镜重圆吗 A B A C m n O 作弦AB AC及它们的垂直平分线m n 交于O点 以O为圆心 OA为半径作圆 破镜重圆 A B C m n O 弦的垂直平分线经过圆心 并且平分弦所对的两条弧 作图依据 判断 垂直于弦的直线平分弦 并且平分弦所对的弧 弦所对的两弧中点的连线 垂直于弦 并且经过圆心 圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分 平分弦的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 圆内两条非直径的弦不能互相平分 挑战自我填一填 6 平分弦的直径 平分这条弦所对的弧 7 平分弦的直线 必定过圆心 8 一条直线平分弦 这条弦不是直径 那么这条直线垂直这条弦 挑战自我填一填 9 弦的垂直平分线一定是圆的直径 平分弧的直线 平分这条弧所对的弦 弦垂直于直径 这条直径就被弦平分 挑战自我填一填 2 已知 如图 O中 弦AB CD AB CD 直径MN AB 垂足为E 交弦CD于点F 图中相等的线段有 图中相等的劣弧有 挑战自我填一填 3 已知 如图 O中 AB为弦 C为弧AB的中点 OC交AB于D AB 6cm CD 1cm 求 O的半径OA 挑战自我做一做 4 如图 圆O与矩形ABCD交于E F G H EF 10 HG 6 AH 4 求BE的长 M N 挑战自我做一做 5 已知 AB和CD是 O内的两条平行弦 AB 6cm CD 8cm O的半径为5cm 1 请根据题意画出符合条件的图形 2 求出AB 与CD间的距离 1 2 挑战自我做一做 解 1 OAB AOC 90 挑战自我做一做 解 2 挑战自我做一做 小结 解决有关弦的问题 经常是过圆心作弦的垂线 或作垂直于弦的直径 连结半径等辅助线 为应用垂径定理创造条件 已知 AB是 O直径 CD是弦 AE CD BF CD求证 EC DF 挑战自我再上新台阶 例 如右图所示 一条公路的转弯处是一段圆弧 即图中CD 点O是CD的圆心 其中CD 600m E为CD上一点 且OE CD 垂足为F EF 90m 求这段弯路的半径 分析 要求弯路的半径 连接OC 只要求出OC的长便可以了 因为已知OE CD 所以CF CD 300cm OF OE EF 此时得到了一个Rt CFO 利用勾股定理便可列出方程 四 讲例 驶向胜利的彼岸 回味引伸垂径定理及其推论1的实质是把 1 直线MN过圆心 2 直线MN垂直AB 3 直线MN平分AB 4 直线MN平分弧AMB 5 直线MN平分弧ANB中的两个条件进行了四种组合 分别推出了其余的三个结论 这样的组合还有六种 由于时间有限 课堂上未作进一步的推导 同学们课下不妨试一试 课堂小结 本节课探索发现了垂径定理的推论1和推论2 并且运用推论1等分弧 要分清推论1的题设和结论 即已知什么条件 可推出什么结论 这是正确理解应用推论1的关键 例3是基本几何作图 会通过作弧所夹弦的垂直平分线来等分弧 能够体会转化思想在这里的运用