世纪金榜理科数学(广东版)选修.ppt

第二节参数方程 知识梳理 1 参数方程的概念一般地 在平面直角坐标系中 如果曲线上任意一点的坐标x y都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值 由这个方程组所确定的点M x y 都在这条曲线上 那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程 联系变数x y的变数t叫做参变数 简称参数 相对于参数方程而言 直接给出点的坐标间关系的方程F x y 0叫做普通方程 2 直线 圆与圆锥曲线的普通方程和参数方程 考点自测 1 思考 给出下列命题 曲线的参数方程中的参数都有实际意义 参数方程与普通方程互化后表示的曲线是一致的 圆的参数方程中的参数 与椭圆的参数方程中的参数 的几何意义相同 普通方程化为参数方程 参数方程的形式不惟一 其中正确的是 解析 错误 曲线的参数方程中的参数 可以具有物理意义 可以具有几何意义 也可以没有明显的实际意义 正确 两方程互化后所表示的曲线相同 错误 圆的参数方程中的参数 表示半径的旋转角 而椭圆的参数方程中的参数 表示对应的大圆或小圆半径的旋转角 也就是椭圆的离心角 正确 用参数方程解决动点的轨迹问题 若选用的参数不同 那么所求得的曲线的参数方程的形式就不同 答案 2 将参数方程 为参数 化为普通方程为 解析 消去参数 转化为普通方程得y x 2 其中x 2 3 y 0 1 答案 y x 2 2 x 3 3 参数方程 为参数 的曲线中心在第 象限 解析 曲线 为参数 的普通方程为 x 1 2 y 2 2 1 所以圆心 1 2 在第二象限 答案 二 4 2014 广州模拟 已知曲线C的参数方程是 为参数 以直角坐标系的原点为极点 x轴的正半轴为极轴 并取相同的长度单位建立极坐标系 则曲线C的极坐标方程是 解析 曲线C的参数方程为 为参数 它表示以点 0 1 为圆心 以1为半径的圆 则曲线C的标准方程为x2 y 1 2 1 化为一般方程即x2 y2 2y 0 化为极坐标方程得 2 2 sin 0 即 2 2 sin 两边约去 得 2sin 答案 2sin 5 将曲线 为参数 上的点的横坐标变为原来的5倍 纵坐标变为原来的4倍 得到曲线的焦距等于 解析 设圆 为参数 上任意一点为P x y 变换后的点为P x y 依题意 得所以代入圆 为参数 的普通方程x2 y2 1 得所以c2 a2 b2 9 2c 6 答案 6 6 2014 珠海模拟 已知直线L的参数方程为 t为参数 圆C的参数方程为 为参数 若直线L与圆C有公共点 则实数a的取值范围是 解析 直线L的参数方程 t为参数 化为普通方程为x y a 0 圆C的参数方程 为参数 化为普通方程为x2 y 1 2 1 由于直线L与圆C有公共点 则圆心到直线的距离满足即a 1 2 2 a 1 2 1 a 3 所以实数a的取值范围是 1 3 答案 1 3 考点1直线的参数方程与应用 典例1 若经过点P 1 2 倾斜角为的直线l与曲线 3相交于A B两点 则 PA PB 解题视点 将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程 利用直线参数方程的参数的几何意义以及一元二次方程的根与系数的关系计算 规范解答 直线l的参数方程为 t为参数 代入圆的直角坐标方程x2 y2 9 整理 得t2 t 4 0 设点A B对应的参数分别是t1 t2 则t1 t2 4 所以 PA PB t1t2 4 答案 4 互动探究 若本例条件不变 则 AB 解析 由本例解析可知 点A B对应的参数分别是t1 t2 则t1 t2 t1t2 4 得 AB PA PB t1 t2 答案 规律方法 直线的参数方程在交点问题中的应用已知直线l经过点M0 x0 y0 倾斜角为 点M x y 为l上任意一点 则直线l的参数方程为 t为参数 1 若M1 M2是直线l上的两个点 对应的参数分别为t1 t2 则 t1t2 t2 t1 2 若线段M1M2的中点为M3 点M1 M2 M3对应的参数分别为t1 t2 t3 则 3 若直线l上的线段M1M2的中点为M0 x0 y0 则t1 t2 0 t1t2 0 直线的参数方程中参数的几何意义已知直线l经过点M0 x0 y0 倾斜角为 点M x y 为直线l上任意一点 如图 设e是直线l的单位方向向量 得e cos sin 设 te 显然有 x x0 y y0 tcos tsin 所以直线l的参数方程为 t为参数 由 te 得 te t 所以参数t的几何意义是有向线段的数量 长度 方向 当t 0时 点M在点M0的上方 当t 0时 点M与点M0重合 当t0时 点M在点M0的右侧 当t 0时 点M与点M0重合 当t 0时 点M在点M0的左侧 变式训练 在平面直角坐标系中 直线l的参数方程为 t为参数 若以坐标原点O为极点 x轴正半轴为极轴建立极坐标系 则曲线C的极坐标方程为 则直线l被曲线C所截得的弦长等于 解析 由 得 sin cos 即 2 sin cos 得x2 y2 x y 0 将直线的参数方程代入圆的一般方程 整理 得5t2 21t 20 0 设直线l与曲线C的交点M N对应的参数分别为t1 t2 则t1 t2 t1t2 4 得答案 考点2圆的参数方程与应用 典例2 1 2013 陕西高考 如图 以过原点的直线的倾斜角 为参数 则圆x2 y2 x 0的参数方程为 2 已知实数x y满足x2 y2 2x 2y 0 若总有x y m 0 则实数m的最小值为 解题视点 1 由圆的标准方程 明确圆心的位置与半径 将圆上动点的坐标表示为参数的三角函数即可 2 首先利用圆的参数方程 求出x y的最值 再求实数m的最小值或利用圆心到直线的距离小于等于半径求解 规范解答 1 圆的方程 圆的半径r OP cos 2r cos x OP cos cos2 y OP sin cos sin 所以圆的参数方程为 为参数 答案 为参数 2 方法一 由实数x y满足x2 y2 2x 2y 0 得 x 1 2 y 2 4 由圆的参数方程 得则x y 1 2cos 2sin 2 4sin 由于 6 x y 2 总有x y m 0 即总有 m x y 得 m 6 故m 6 所以实数m的最小值为6 方法二 将方程x2 y2 2x 2y 0配方 得 x 1 2 y 2 4 圆心C 1 r 2 令x y c 即x y c 0 依题意 直线与圆有公共点 得即c 2 4 6 c 2 因为总有x y m 0 即总有 m c x y 得 m 6 故m 6 所以实数m的最小值为6 答案 6 规律方法 利用圆的参数方程求最值 1 解决与圆上的点有关的取值范围以及最大值和最小值问题 通常可以转化为直线与圆的位置关系 2 如果设出圆的参数方程 就转化为求三角函数的值域 提醒 注意运用三角恒等式 辅助角公式求最值 asin bcos sin 其中或者tan a 0 且角 的终边经过点 a b 变式训练 设方程 为参数 表示的曲线为C 在曲线C上到原点O距离最小的点P的坐标为 解析 因为 OP 2 1 cos 2 sin 2 5 2sin 2cos 5 4sin 当 2k k Z时 OP 最小 此时点P的坐标为答案 考点3椭圆的参数方程与应用 典例3 1 2013 湖南高考 在平面直角坐标系xOy中 若l t为参数 过椭圆C 为参数 的右顶点 则常数a的值为 2 已知点P为椭圆在第一象限部分上的点 则x y的取值范围是 解题视点 1 先把直线和椭圆的参数方程化为普通方程 然后把椭圆的右顶点坐标代入直线方程即可 2 利用椭圆的参数方程 为参数 转化为三角函数求值域 规范解答 1 直线l的普通方程是x y a 0 椭圆C的普通方程是 其右顶点为 3 0 代入直线方程得a 3 答案 3 2 设椭圆上的点P cos sin 所以x y cos sin 2sin 0 由于函数y 2sin 在 0 上单调递增 在 上单调递减 当 时 y 2sin 2 当 0时 当 时 所以x y的取值范围是 1 2 答案 1 2 易错警示 注意参数的取值范围本例 2 由于所给的点为椭圆在第一象限部分上的点 所以点的坐标的参数方程中参数不能为任意实数 忽视这一点就会错解为x y 2 2 规律方法 圆与椭圆的参数方程的异同点 1 圆与椭圆的参数方程实质都是三角代换 有关圆或椭圆上的动点的最大值 最小值以及取值范围的问题 通常利用圆或椭圆的参数方程转化为三角函数解决 2 圆的参数方程中的参数与椭圆的参数方程中的参数的几何意义不同 圆的参数方程中的参数是圆心角 椭圆的参数方程中的参数是离心角 只有椭圆上的点在坐标轴上时 离心角才等于圆心角 变式训练 已知直线l t为参数 上一点为P 椭圆C 为参数 上一点为Q 则PQ的最大值为 此时点Q的坐标为 解析 方法一 直线l t为参数 的普通方程为2x y 4 0 椭圆C 为参数 上一点Q到直线的距离为其中cos sin 当sin 1 即 时 dmax 此时cos cos sin sin sin cos 所以即椭圆上的点Q的坐标为 方法二 直线l t为参数 的普通方程为2x y 4 0 即y 2x 4 椭圆C 为参数 的普通方程为即x2 2y2 2 0 将y 2x 4代入椭圆方程 得9x2 32x 30 0 由于 322 36 30 56 0 故直线与椭圆相离 令y 2x m 代入椭圆方程 整理 得9x2 8mx 2m2 2 0 令 64m2 36 2m2 2 0 得m2 9 解得m 3 当m 3时 平行线2x y 3 0与2x y 4 0之间的距离为 当m 3时 平行线2x y 3 0与2x y 4 0之间的距离为所以dmax 由m 3 方程 为9x2 24x 16 0 即 3x 4 2 0 解得x 故y 2x 3 即椭圆上的点Q的坐标为答案