《椭圆的标准方程》PPT课件.ppt

圓錐曲線 圓錐曲線 英語 conicsection 又稱圓錐截痕 圓錐截面 二次曲線 是數學 幾何學中通過平切圓錐 嚴格為一個正圓錐面和一個平面完整相切 得到的一些曲線 圓錐曲線在約公元前200年時就已被命名和研究了 其發現者為古希臘的數學家阿波羅尼奧斯 那時阿波羅尼奧斯對它們的性質已做了系統性的研究 用垂直於錐軸的平面去截圓錐 得到的是圓 把平面漸漸傾斜 得到橢圓 當平面傾斜到 和且僅和 圓錐的一條母線平行時 得到拋物線 當平面再傾斜一些就可以得到雙曲線 阿波羅尼曾把橢圓叫 虧曲線 把雙曲線叫做 超曲線 把抛物線叫做 齊曲線 事實上 阿波羅尼奧斯在其著作中使用純幾何方法已經取得了今天高中數學中關於圓錐曲線的全部性質和結果 橢圓及其標準方程 哈雷慧星及其運行軌道 認識橢圓 橢圓形的尖嘴瓶 橢圓形的餐桌 橢圓形的精品 嫦娥二號 於2010年10月1日18時59分57秒在西昌衛星發射中心發射升空 橢圓定義中容易遺漏的三處地方 1 必須在平面內 2 兩個定點 兩點間距離確定 3 繩長 軌跡上任意點到兩定點距離和確定 1 橢圓定義 平面內與兩個定點的距離和等於常數 大於 的點的軌跡叫作橢圓 這兩個定點叫做橢圓的焦點 兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距 注意 在同樣的繩長下 兩定點間距離較長 則所畫出的橢圓較扁 線段 在同樣的繩長下 兩定點間距離較短 則所畫出的橢圓較圓 圓 由此可知 橢圓的形狀與兩定點間距離 繩長有關 1 改變兩圖釘之間的距離 使其與繩長相等 畫出的圖形還是橢圓嗎 2 繩長能小於兩圖釘之間的距離嗎 1 改變兩圖釘之間的距離 使其與繩長相等 畫出的圖形還是橢圓嗎 2 繩長能小於兩圖釘之間的距離嗎 2 當2a F1F2 時 此時M點的軌跡為線段F1F2 3 當2a F1F2 時 此時M點的軌跡不存在 1 當2a F1F2 時 此時M點的軌跡為橢圓 於是 我們得到 平面內動點M到兩定點F1與F2的距離的和等於常數的點的軌跡可分為 其中 探討建立平面直角坐標系的方案 方案一 原則 盡可能使方程的形式簡單 運算簡單 一般利用對稱軸或已有的互相垂直的線段所在的直線作為坐標軸 取過焦點F1 F2的直線為x軸 線段F1F2的垂直平分線為y軸 建立平面直角坐標系 如圖所示 設M x y 是橢圓上任意一點 橢圓的焦距2c c 0 M與F1和F2的距離的和等於正常數2a 2a 2c 則F1 F2的坐標分別是 c 0 c 0 由橢圓的定義得 2 橢圓的標準方程的推導 得方程 移項 得 兩邊除以 得 由橢圓定義可知 2a 2c 即a c 所以 两邊再平方 得 整理得 移項 得 設 得 兩邊平方 1 剛才我們得到了焦點在x軸上的橢圓方程 如何推導焦點在y軸上的橢圓的標準方程呢 這個方程叫做橢圓的標準方程 它所表示的橢圓的焦點在x軸上 焦點是F1 c 0 F2 c 0 這裡 如果橢圓的焦點在y軸上 焦點是F1 0 c F2 0 c 只要將方程 1 的x y互換 就可以得到它的方程 這時方程為 這個方程也是橢圓的標準方程 總體印象 對稱 簡潔 像 直線方程的截距式 2 焦點在y軸 1 焦點在x軸 因此 橢圓有兩種標準方程 橢圓的標準方程的特點 橢圓標準方程的形式 左邊是兩個分式的平方和 右邊是1 2 橢圓的標準方程中三個參數a b c滿足a2 b2 c2 3 兩種標準方程中a b c總是滿足a b 0和a c 0 4 橢圓的標準方程中 x2與y2的分母哪一個大 則焦點在哪一個軸上 分母哪個大 焦點就在哪個軸上 平面內到兩個定點F1 F2的距離的和等於常數 大於F1F2 的點的軌跡 再認識 則a b c 焦點在 練習 則a b c 焦點在 則a b c 焦點在 則a b c 焦點在 兩個焦點的坐標分別是 4 0 4 0 橢圓上的一點P到焦點的距離之和等於10 2 b 5 焦距為8 例1求適合下列條件的橢圓的標準方程 兩個焦點的坐標分別是 4 0 4 0 橢圓上的一點P到焦點的距離之和等於10 2 b 5 焦距為8 例1求適合下列條件的橢圓的標準方程 例2已知橢圓的焦點在軸上 且經過點求這個橢圓的標準方程 例3已知B C是兩個定點 BC 6 且 ABC的周長為16 求頂點A的軌跡方程 1 動點P到兩個定點F1 4 0 F2 4 0 的距離之和為8 則P點的軌跡為 練習 A 橢圓B 線段F1F2C 直線F1F2D 不能確定 2 方程的曲線是焦點在y軸上的橢圓 則k的取值範圍是 A 0 B 0 2 C 1 D 0 1 3 如果椭圓上一點P到焦點F1的距離为6 則點P到另一焦點F2的距離為 4 橢圓的焦點坐標是 1 b 4 c 2 焦點在y軸上 2 焦點坐標為 0 4 0 4 且經過點 5 求適合下列條件的橢圓的標準方程 6 已知線段AB的長為a 它的兩個端點分別在x軸和y軸上滑動 求內分AB成m n的點M的軌跡方程 1 本節課學習了圓錐曲線中的橢圓的形成及定義 2 通過橢圓的定義推出了橢圓的標準方程 橢圓的標準方程有兩種 一種焦點在x軸 一種焦點在y軸 3 給出了橢圓的標準方程焦點位置的判斷方法 4 橢圓的標準方程主要是利用待定係數法求出a b的值從而求出橢圓的標準方程 小結 思考题 1 ABC中 B 3 0 C 3 0 求頂點A的軌跡方程 2 方程表示的曲線是橢圓 求 的取值範圍 3 在推導橢圓標準方程過程中 得到方程變形為 觀察式子的幾何意義 提出合理的猜想