常考问题13立体几何中的向量方法.ppt

常考问题13立体几何中的向量方法 真题感悟 考题分析 1 直线与平面 平面与平面的平行与垂直的向量方法设直线l的方向向量分别为a a1 b1 c1 平面 的法向量分别为 a2 b2 c2 v a3 b3 c3 则 1 线面平行l a a 0 a1a2 b1b2 c1c2 0 2 线面垂直l a a k a1 ka2 b1 kb2 c1 kc2 3 面面平行 v v a2 a3 b2 b3 c2 c3 4 面面垂直 v 0 a2a3 b2b3 c2c3 0 3 二面角如图所示 二面角 l 平面 的法向量为n1 平面 的法向量为n2 n1 n2 则二面有 l 的大小为 或 3 用向量法证明平行 垂直问题的步骤 1 建立空间图形与空间向量的关系 可以建立空间直角坐标系 也可以不建系 用空间向量表示问题中涉及的点 直线 平面 2 通过向量运算研究平行 垂直问题 3 根据运算结果解释相关问题 4 空间向量求角时考生易忽视向量的夹角与所求角之间的关系 1 求线面角时 得到的是直线方向向量和平面法向量的夹角的余弦 而不是线面角的余弦 2 求二面角时 两法向量的夹角有可能是二面角的补角 要注意从图中分析 热点一向量法证明平行与垂直 例1 如图 在直三棱柱ABC A1B1C1中 ABC为等腰直角三角形 BAC 90 且AB AA1 D E F分别为B1A C1C BC的中点 求证 1 DE 平面ABC 2 B1F 平面AEF 热点与突破 规律方法 证明平行 垂直关系时 若用传统的几何法 难以找出问题与条件的关系时 可采用向量法 但向量法要求计算必须准确无误 利用向量法的关键是正确求平面的法向量 训练1 如图 在直三棱柱ADE BCF中 面ABFE和面ABCD都是正方形且互相垂直 M为AB的中点 O为DF的中点 求证 1 OM 平面BCF 2 平面MDF 平面EFCD 解如图所示 建立空间直角坐标系 点B为坐标原点 依题意得 规律方法 异面直线所成角的余弦等于两条异面直线方向向量夹角余弦的绝对值 线面所成角的正弦等于平面的法向量与直线方向向量夹角余弦的绝对值 二面角平面角余弦与二面角两平面法向量夹角的余弦绝对值相等 其正负可以通过观察二面角是锐角还是钝角进行确定 训练2 2013 新课标全国 卷 如图 在三棱柱ABC A1B1C1中 CA CB AB AA1 BAA1 60 1 证明 AB A1C 2 若平面ABC 平面AA1B1B AB CB 2 求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值 热点三利用空间向量解决探索性问题 例3 如图 在长方体ABCD A1B1C1D1中 AA1 AD 1 E为CD的中点 1 求证 B1E AD1 2 在棱AA1上是否存在一点P 使得DP 平面B1AE 若存在 求AP的长 若不存在 说明理由 3 若二面角A B1E A1的大小为30 求AB的长 规律方法 空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题 它无需进行复杂的作图 论证 推理 只需通过坐标运算进行判断 解题时 把要成立的结论当作条件 据此列方程或方程组 把 是否存在 问题转化为 点的坐标是否有解 是否有规定范围内的解 等 所以为使问题的解决更简单 有效 应善于运用这一方法解题 审题示例 七 利用向量法解与 夹角 有关的存在性问题 方法点评与 两异面直线所成的角 直线与平面所成的角和二面角 有关的存在性问题 常利用空间向量法解决 可以避开抽象 复杂地寻找角的过程 只要能够准确理解和熟练应用夹角公式 就可以把 是否存在 问题转化为 有关参数的方程是否有解 或是否有规定范围内的解 的问题等 事实说明 空间向量法是证明立体几何中存在性问题的强有力的方法 针对训练 如图 在直三棱柱ABC A1B1C1中 ACB 90 E是棱CC1上动点 F是AB中点 AC BC 2 AA1 4 1 当E是棱CC1中点时 求证 CF 平面AEB1 2 在棱CC1上是否存在点E 使得二面角A BE1 B的大小是45 若存在 求CE的长 若不存在 请说明理由