《H图形和方程》PPT课件.ppt

在前面 我们已知 空间平面对应于一个三元一次方程 反之 任意一个三元一次方程也对应于空间中的一个平面 如果平面 的方程是 1 其含义是平面 上任意动点 x y z 都是 1 的解 而 1 的每一组解也对应于 上某一点 1 1 图形与方程 定义1 设空间曲面S及三元方程F x y z 0 如果S上任一点M x y z 其坐标x y z都满足F x y z 0 反之 F x y z 0的任一解 x y z 对应的空间点 x y z 也在S上 则称F x y z 0为曲面S的方程 而曲面S则称为方程F x y z 0的图形 空间中曲面的一般方程 空间直线可以表示为两个平面的交一样 空间两个曲面一般地相交于一条曲线 所以我们称方程组 为空间中曲线的一般方程 空间中曲线的一般方程 球面 建立球心在P0 x0 y0 z0 半径为r的球面的方程 解 代入坐标得 根据图形知 球面上任一点到球心的距离为r 把球面的方程 展开得到一种特殊的三元二次方程 方程 1 的特点 1 没有乘积项 2 平方项系数都相等 另外一方面 任何一个具备上述特点的方程 都可以化为球面的方程 这表示一个中心在 半径为的球面 注 如果此时图形上没有实点 通常叫做虚球面 平面和球面相交 其交线是一个圆 所以 可以把球面和平面的方程联立起来 表示空间中圆的方程 空间中圆的方程 例1 求经过三点的圆的方程 2 柱面 圆柱面 和一条给定的直线的距离为一常数的点形成的曲面 把直线叫做圆柱面的轴 如果就是轴 此时 圆柱面的方程是 即 上面所得到的柱面的方程中不含有项 反映了圆柱面是由平行于轴的直线组成的 注 柱面 一族平行线所形成的曲面 母线 构成柱面的平行线 准线 和所有母线都相交的曲线 如果知道母线的方向 那么 从准线的各点沿母线的方向做平行线就可以得到柱面 红色的曲线就是图所表示的柱面的准线 柱面方程的特点 取轴与母线平行 建立坐标系 此时柱面的方程对没有限制 因此柱面的方程不包含 可以写成 如果母线平行于一个坐标轴时 柱面的方程不包含对应的坐标 反之 一个不包含某个坐标的方程 表示母线平行于对应坐标轴的柱面 所以 在求柱面的方程的时候 为了使方程足够简单 我们通常取和柱面的母线平行的方向作为某个坐标轴的方向建立坐标系 例如方程表示母线平行于轴的柱面 它的一条准线是 所以 坐标平面上的任意一条曲线都确定一个柱面 该柱面的母线垂直于这个坐标平面 注意 如果母线不平行于坐标轴 那么柱面的方程就会包含所有的坐标 例 下列方程 各表示一个柱面 母线都平行于轴 由于这些方程都是二次的 所以统称为二次柱面 椭圆柱面 双曲柱面 抛物柱面 这些柱面和平面的交就是相应的二次曲线 准线 顶点 3锥面锥面 经过一个定点的直线所形成的曲面 母线 直线 顶点 定点 准线 和所有的母线都相交但不过顶点的曲线 把准线和顶点用直线连接起来就得到锥面 圆锥面 一种特殊的锥面 准线是一个圆 并且顶点在过圆心垂直于圆面的直线上 那么它们所决定的锥面就是圆锥面 锥面的特征 顶点和曲面上任意一点的连线都在锥面上 如果满足锥面的方程 那么也满足锥面的方程 锥面方程的特点 定理如果是一个齐次方程 那么就是一个顶点在原点的锥面 所表示的曲面是一个顶点在原点的锥面 一条准线为 如方程 这是一个椭圆 二次锥面 二次方程所表示的锥面 如 它们所表示的锥面也都是二次锥面 例3一个锥面 顶点在原点 准线为 求它的方程 如顶点在原点 准线为抛物线的锥面的方程 例4方程所表示的曲面是顶点在原点的锥面 它在平面上的准线是 作业P83 843 1 2 6 8 9