《gs45微分中值定理》PPT课件.ppt

一 罗尔中值定理 引理 费马 设y f x 在开区间 a b 内有定义 在x0 a b 处取得最大值 最小值 且f x 在x0处可导 则f x0 0 证 因f x 在x0处可导 4 5微分中值定理 设f x0 为f x 在开区间 a b 内的最大值 即 x a b 有f x f x0 故当 x 充分小时 有x0 x a b 从而f x0 x f x0 0 因x0 a b 1 当 x 0时 由保号性定理 令 x 0 2 当 x 0时 由保号性定理 令 x 0 综合 1 2 有0 f x0 0 故f x0 0 类似可证f x 在x0取最小值的情形 注1 因f x0 表示曲线y f x 上点M x0 f x0 处切线斜率 而f x0 0表示该点处切线斜率为0 因此 引理在几何上表示 若y f x 在 a b 内部某点x0处取最大 小 值 且在x0可导 则在M x0 f x0 处的切线平行于x轴 如图 b M a x 0 y x0 M x0 y f x 注2 若f x 在区间 a b 的端点a 或b 处取得最大 小 值 不能保证f a 或f b 0 即 在端点M a f a 或M b f b 处切线不一定平行于x轴 如图 0 a b x y y f x 定理1 罗尔中值定理 若y f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 且f a f b 则在 a b 内至少存在一点 使得f 证 因f x 在 a b 上连续 从而可取得最大值M f x0 和最小值m f x1 其中 x0 x1 a b 1 若m M 因m f x M 即 M f x M 所以f x M 有f x 故 a b 有f 2 若m M 因f a f b 故在m M中必至少有一个不等于f a f b 由引理 f x0 记 x0 即 a b 使f 不妨设M f x0 f a f b 故x0 a x0 b 从而x0 a b 注1 几何意义 如图 若连续曲线y f x 除端点外处处有不垂直于x轴的切线 且两端点的纵坐标相等 则在曲线上至少存在一点M 在M点的切线平行于x轴 也就是平行于弦AB 注2 从方程的角度看 f 表示 是方程f x 的根 因此 罗尔定理的意义是若f x 满足定理条件 则方程f x 在 a b 内至少有一个根 注3 定理的条件 f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 f a f b 不能减弱 否则 结论不对 比如 f x x 在 1 1 上连续 在除x 0外的每一点x处都可导 且f 1 f 1 但是 不存在 1 1 使得f 0 如图 例1 设函数f x x 1 x 2 x 3 试判断方程f x 有几个实根 分别在何区间 解 因为f 1 f 2 f 3 且f x 在 1 2 上连续 在 1 2 内可导 由罗尔定理 1 1 2 使f 1 同理 2 使f 2 又因f x 是二次方程 至多两个实根 故f x 有两个实根 分别位于 1 2 和 2 3 内 1 修改 f x x 1 x 2 x 3 x 4 结论如何 2 修改 不解方程 问 x 2 x 3 x 1 x 3 x 1 x 2 0有几个实根 分别在何区间 二 拉格朗日中值定理 在罗尔定理中 曲线上存在一点M 使得M点处切线平行于x轴 由于f a f b 从而该切线平行于弦AB 如果f a f b 那么在曲线上是否仍然存在一点M 使得M点处切线平行于弦AB呢 定理2 若y f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 则至少存在一点 a b 使得 如图 分析 注意到 因此 拉格朗日定理回答了上述问题 只须证 即 若将括号内函数看作 x 则只须证 0即可 这就是罗尔定理的结论 因此 只须证明 x 满足罗尔定理条件即可 证 构造函数 令 易见 x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 且 即 a b 由罗尔定理 a b 使 注1 若f a f b 这正是罗尔定理的结论 公式可改写为f b f a f b a a b 也可写为f a f b f a b a b 因此 以后使用这一公式时 不须考虑是a b 还是a b 但 介于a b之间 注2 若y f x 在 a b 上满足拉格朗日定理条件 x a b y f x x f x f x f x x x 其中 x 充分小 介于x和 x之间 0 1 使得 x x 如图 注3 定理的条件 f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 不能减弱 推论1 若f x 在 a b 内的导数恒为0 即 x a b 有f x 0 则f x 在 a b 内是一个常数 即 x a b f x C 常数 证 取定x0 a b 只须证明 x a b 有f x f x0 即可 因f x 在 a b 内可导 从而在 a b 内连续 故f x 在 x0 x a b 或 x x0 a b 上满足拉格朗日定理的条件 f x f x0 f x x0 0 介于x和x0之间 即 x a b 有f x f x0 例2 证 记f x arcsinx arccosx 在 1 1 内可导 且 从而在 1 1 内 f x C 常数 取x 0 得 故当 1 x 1时 有 当x 1或x 1时 仍然有 从而 当 1 x 1时 有 例3 设f x x2 x 在 1 1 上验证拉格朗日中值定理的正确性 解 1 f x x2 x在 1 1 上连续 在 1 1 内可导 2 看是否存在 1 1 使得f 1 f 1 f 2 即2 2 1 2 0 或4 0 0 1 1 故 0 1 1 使得f 1 f 1 f 2 例4 证明当x 0时 证 改写原式 利用公式 证不等式时 往往要把待证式中的一部分写成的形式 以便构造函数f x 所以 记f t ln 1 t 知f t 在 0 x 上满足拉格朗日中值定理的条件 且 因 故 三 柯西中值定理 定理3 若f x g x 都在 a b 上连续 在 a b 内可导 且g x 0 则至少存在一点 a b 使得 分析 若分别对f x g x 用拉格朗日中值定理 可得上式左端 但 1 2不一定相同 故 不能用这一方法 只须证 即 证 知 x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 且 从而 b a 0 由罗尔中值定理 a b 使 0 例5 设f x 在 内可导 f 0 0 证明 使得2f f 3 2 f2 1 证 这一类问题 往往可考虑用中值定理解决 变形 注意到 左端 从而 待证式为 故 记F x f2 x g x x3在 0 1 上连续 在 0 1 内可导 由柯西中值定理 0 1 使得 若修改例5为 f 0 0 f 1 0 证明 使得f f 0 则可用罗尔定理证 四 泰勒中值定理 在近似计算和理论分析中 对于复杂函数f x 常希望用一个多项式P x a0 a1x a2x2 anxn来近似表示f x 比如 当 x 很小时 ex 1 x sin x 都是用一次函数表示函数f x 的例子 缺陷 1 精度不高 误差仅为o x 2 没有误差估计式 从几何上看 缺陷 1 是由于我们在x 0附近用直线代替曲线 精度当然不高 能否改用二次曲线 三次曲线 代替 精度是否能提高 或者说 曲线的吻合程度是否会更好些呢 y ex 1 y 1 x 看图 我们要解决的问题是 设f x 在x x0的某邻域内有直到n 1阶导数 1 试求一个关于x x0的n次多项式 Pn x a0 a1 x x0 a2 x x0 2 an x x0 n 使Pn x 能在x0的附近近似表示f x 即 f x 和Pn x 在x x0处的函数值以及k阶 k n 导数值都相等 即 f x0 Pn x0 f x0 P n x0 f x0 P n x0 f n x0 P n n x0 2 误差f x Pn x 的表达式 首先解决问题 1 即设f x 在x x0的某邻域U x0 内有直到n 1阶导数 求Pn x a0 a1 x x0 a2 x x0 2 an x x0 n 满足f x0 Pn x0 f x0 P n x0 f x0 P n x0 f n x0 P n n x0 将x x0代入Pn x 得Pn x0 a0 f x0 对Pn x 求导 再将x0代入 得P n x0 a1 f x0 对Pn x 求二次导 将x0代入 得P n x0 2 a2 f x0 Pn x a0 a1 x x0 a2 x x0 2 an x x0 n 同理 一般 得 Pn x a0 a1 x x0 a2 x x0 2 an x x0 n 得 定理4 泰勒中值定理 如果f x 在含x0的某个区间 a b 内有直到n 1阶的导数 则对 x a b 有 其中 是介于x0与x 之间的一个值 只须证明 或 证 由于f x 和Pn x 在 a b 内有直到n 1阶导数 从而Rn x 在 a b 内有直到n 1阶导数 注意到 有 1介于x0与x之间 对函数R n x 和 n 1 x x0 n在 x0 1 或 1 x0 上用柯西中值定理 有 2介于x0与 1之间 继续下去 经n次后 有 其中 n 1介于x0与 n之间 从而介于x0与x之间 注1 公式 称为f x 按 x x0 的幂 展开到n阶的泰勒公式 称为拉格朗日型余项 也可写成 注2 当n 0时 泰勒公式变为拉格朗日中值公式 注3 若 且 可是 误差Rn x 是 x x0 n的高阶无穷小 当x x0时 即Rn x 0 x x0 n 称为皮亚诺余项 注4 若在泰勒中值定理中取x0 0 则公式为 其中 介于x与0之间 0 1 称为马克劳林公式 例6 写出f x ex展开到n阶的马克劳林公式 解 f n x ex f n 0 1 故 特别 取x 1 有 误差 例7 求f x sinx在x0 0的展开式 解 sin0 0 故 0 n 2k时 1 k n 2k 1时 将sinx在x0 0展开到n 2m阶 得 其中 同理 其中 例8 求 解 展开 相减 从而