《D52牛莱公式》PPT课件.ppt

二 积分上限的函数及其导数 三 牛顿 莱布尼兹公式 一 引例 第二节 微积分的基本公式 第五章 在上一节我们已经看到 直接用定义计算定积分是十分繁难的 因此我们期望寻求一种计算定积分的简便而又一般的方法 我们将会发现定积分与不定积分之间有着十分密切的联系 从而可以利用不定积分来计算定积分 微积分基本公式 变速直线运动中位置函数与速度函数的联系 变速直线运动中路程为 另一方面这段路程可表示为 一 引例 这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 考察定积分 记 积分上限函数 二 积分上限函数及其导数 积分上限函数的性质 证 由积分中值定理得 注 此定理表明连续函数取变上限定积分再对上限自变量x求导 其结果就等于被积函数在上限自变量x处的函数值 若上限不是x而是x的函数a x 则求导时必须按复合函数的求导法则进行 证 一般情况 例1求 解 分析 这是型不定式 应用洛必达法则 例2 确定常数a b c的值 使 解 原式 c 0 故 又由 得 证 只要证 证 令 定理2 原函数存在定理 定理的重要意义 1 证明了连续函数的原函数是存在的 2 初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系 前述变速直线运动的路程问题表明 定积分的值等于被积函数的一个原函数在时间区间上的增量 这个事实启发我们去考察一般的情况 得到肯定的回答 这就是微积分基本公式 定理3 微积分基本公式 三 Newton Leibniz公式 令 令 牛顿 莱布尼茨公式 证 注 微积分基本公式表明 2 N L公式揭示了积分学两类基本问题 不定积分与定积分两者之间的内在联系 3 求定积分问题转化为求原函数的问题 4 为定积分的计算提供了一个普遍 有效而又简便的方法 使得定积分的计算大为简化 注意 例5求 原式 例6设 求 解 解 例7求 解 由图形可知 例8求 解 解面积 例9 汽车以每小时36km的速度行驶 速停车 解 设开始刹车时刻为 则此时刻汽车速度 刹车后汽车减速行驶 其速度为 当汽车停住时 即 得 故在这段时间内汽车所走的距离为 刹车 问从开始刹 到某处需要减 设汽车以等加速度 车到停车走了多少距离 则有 1 微积分基本公式 积分中值定理 微分中值定理 牛顿 莱布尼兹公式 2 变限积分求导公式 内容小结 思考题 思考题解答 练习 解 1 设 求 定积分为常数 设 则 故应用积分法定此常数 求 解 的递推公式 n为正整数 由于 因此 所以 其中 备用题 练习题 练习题答案