《D37洛必达法则》PPT课件.ppt

3 7 3其他未定式的定值法 3 7 1未定式的分类 3 7 2商类洛比达法则 3 7 机动目录上页下页返回结束 洛必达法则 第3章 微分中值定理 函数之商的极限 导数之商的极限 转化 洛必达法则 洛必达目录上页下页返回结束 本节内容概述 Cauchy中值公式 3 7 1未定型的分类 设 未定型一般 分为以下几类 1 商类 型 若 型 若 2 积类 型 若 3 和类 型 若 型 若 4 幂类 型 若 型 若 3 7 2商类洛比达法则 定理 洛必达法则 机动目录上页下页返回结束 型 设 在 内 有定义 均可导且 存在 收敛或者 若 位于 证明 取 此时 显然 在以 Cauchy定理的条件 为端点的闭区间上满足 机动目录上页下页返回结束 此时 由 知 在 内必连续 是 的可去间断点 在 内必连续 之间 由 知 令 故 C 公式 2 取 此时 由 类似地 可证 取另外四种情形时定理也是成立的 证毕 例1 解 原式 注意 不是未定式不能用洛必达法则 机动目录上页下页返回结束 求 例2 解 原式 思考 如何求 n为正整数 机动目录上页下页返回结束 求 例3 解 原式 例4 解 原式 计算 计算 例5 解 在 处二阶可导 设函数 计算极限 原式 定理 洛必达法则 设函数 内有定义 都在 均存在 且 存在 型 若 收敛或者 证明 收敛的情形 从而 机动目录上页下页返回结束 1 先证 考虑取 收敛于一非零的常数 若 则有 若 则取常数 由 中结论 机动目录上页下页返回结束 2 再证 的情形 完全类似 分别取 之一时 只须将定理中的条件2 作相应的修改 定理仍然成立 定理2目录上页下页返回结束 由已证1 的 得 从而 为 定理证毕 例6 解 原式 例7 解 原式 机动目录上页下页返回结束 其中 均为常数 求 求 其中 为常数 例8 求 解 原式 但原极限 例9 求 解 原式 但原极限 发散 循环 收敛 收敛 3 7 3其他未定式的定值法 解决方法 通分 取倒数 取对数 例5 解 原式 机动目录上页下页返回结束 未定式的形式 计算 其中 0为常数 解 原式 例10 求 机动目录上页下页返回结束 通分 取倒数 取对数 例11 求 解 例5目录上页下页返回结束 通分 取倒数 取对数 例12 求 解 注意到 原式 机动目录上页下页返回结束 例13 求 分析 为用洛必达法则 必须改求 法1用洛必达法则 但对本题用此法计算很繁 法2 原式 例3目录上页下页返回结束 对使用洛比达法则的说明 1 法则只适应商类的不定式 其他类型的不定式 须化为商类后才能用该方法 2 法则可多次连续使用 但要注意满足定理的条件 3 数列极限可转化成相应函数的极限用此法则计算 4 使用该法则的过程中 要兼顾其它求极限的方法 将其综合使用 6 型化为 或 视具体形式而定 使其导函数简单 便于极限的计算 5 当 不存在或循环时 洛比达法则失效 但原极限仍可能存在 原则上是 内容小结 洛必达法则 机动目录上页下页返回结束 思考与练习 1 设 是未定式极限 如果 不存在 是否 的极限也不存在 举例说明 极限 说明目录上页下页返回结束 原式 分析 分析 3 原式 机动目录上页下页返回结束 则 4 求 解 令 原式 机动目录上页下页返回结束 求下列极限 解 备用题 机动目录上页下页返回结束 令 则 原式 解 用洛必达法则 继续用洛必达法则 机动目录上页下页返回结束 解 原式 第三节目录上页下页返回结束 例4 求 2 n不为正整数的情形 从而 由 1 用夹逼准则 存在正整数k 使当x 1时 机动目录上页下页返回结束 洛必达 1661 1704 法国数学家 他著有 无穷小分析 1696 并在该书中提出了求未定式极 限的方法 后人将其命名为 洛必达法 的摆线难题 以后又解出了伯努利提出的 最速降 线 问题 在他去世后的1720年出版了他的关于圆 锥曲线的书 则 他在15岁时就解决了帕斯卡提出 机动目录上页下页返回结束 作业 P1371 6 7 9 12 13 16 4 第三节目录上页下页返回结束 定理 证 仅就极限 收敛的情形加以证明 洛必达法则 机动目录上页下页返回结束 设 内有定义 在 均存在且 存在 型 若 例3 例4 对洛比达法则的说明 1 例3 例4表明 时 后者比前者趋于 更快 例如 而 用洛必达法则 2 在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决计算问题 机动目录上页下页返回结束 推论1 定理1中 换为 之一 推论2 若 理1条件 则 条件2 作相应的修改 定理1仍然成立 洛必达法则 定理1目录上页下页返回结束 3 若 例如 极限不存在 机动目录上页下页返回结束