模糊集的基本运算.ppt

第二章模糊集的基本运算 一 模糊集的表示方法 模糊集合是论域X到 0 1 的映射 因此用隶属函数来表示模糊集合是最基本的方法 除此以外 还有以下的表示方法 1 序偶表示法A x A x x X 例如 用集合X x1 x2 x3 x4 表示某学生宿舍中的四位男同学 帅哥 是一个模糊的概念 经某种方法对这四位学生属于帅哥的程度 帅度 做的评价依次为 0 55 0 78 0 91 0 56 则以此评价构成的模糊集合A记为 A x1 0 55 x2 0 78 x3 0 91 x4 0 56 2 向量表示法当论域X x1 x2 xn 时 X上的模糊集A可表示为向量A A x1 A x2 A xn 模糊集 帅哥 A可记为 A 0 55 0 78 0 91 0 56 向量的每个分量都在0与1之间 称之为模糊向量 3 Zadeh表示法当论域为有限集 x1 x2 xn 时 模糊集合可表示为A A x1 x1 A x2 x2 A xn xn 注意 这里仅仅是借用了算术符号 和 并不表示分数和运算 而只是描述A中有哪些元素 以及各个元素的隶属度值 对于任意论域X中的模糊集合A可记为 模糊集 年轻 A可表示为 注意 当论域明确的情况下 在序偶和Zadeh表示法中 隶属度为0的项可以不写出 而在向量表示法中 应该写出全部分量 例如 论域X为1到10的所有正整数 模糊集 近似于5 A可表示为 或 或 二 典型的隶属函数 构造恰当的隶属函数是模糊集理论应用的基础 一种基本的构造隶属函数的方法是 参考函数法 即参考一些典型的隶属函数 通过选择适当的参数 或通过拟合 整合 实验等手段得到需要的隶属函数 下面介绍典型隶属函数 1 偏小型降半矩形分布 降半 形分布 降半正态分布 降半柯西分布 降半梯形分布 降岭形分布 2 偏大型升半矩形分布 升半 形分布 升半正态分布 升半柯西分布 升半梯形分布 升岭形分布 年轻 模糊集合的隶属函数为降半柯西分布 其中取a 1 5 b 25 c 2 年老 模糊集合的隶属函数为升半柯西分布 其中取a 1 5 b 50 c 2 3 中间型 对称型 矩形分布 尖 形分布 正态分布 柯西分布 梯形分布 岭形分布 三 模糊集上的运算 几点说明经典集合可用特征函数完全刻画 因而经典集合可看成模糊集的特例 即隶属函数只取0 1两个值的模糊集 设X为非空论域 X上的全体模糊集记作F X 于是 P X F X 这里P X 为X的幂集 即X的全体子集构成的集合 特别地 空集 的隶属函数恒为0 全集X的隶属函数恒为1 即 X都是X上的模糊集 2 模糊集的包含关系设X为非空论域 A B为X上的两个经典集合 A B当且仅当属于A的元素都属于B 易证A B当且仅当对任意x X有CA x CB x 定义设X为非空论域 A B为X上的两个模糊集合 称A包含于B 记作A B 如果对任意x X有A x B x 这时也称A为B的子集 例论域X x1 x2 x3 x4 时 X上的模糊集A为 A 0 55 0 78 0 91 0 56 X上的模糊集B为 B 0 35 0 52 0 65 0 37 则根据定义有B A 帅哥 超男 定义论域X上的模糊集A与B称为是相等的 如果A B且B A 即对任意x X有A x B x 3 模糊集的并设X为非空论域 A B为X上的两个经典集合 A B x X x A或x B 易证CA B x max CA x CB x CA x CB x 定义设X为非空论域 A B为X上的两个模糊集合 A与B的并 记作A B 是X上的一个模糊集 其隶属函数为 A B x max A x B x A x B x x X A B x 4 模糊集的交定义非空论域X上的两个模糊集合A与B的交 记作A B 是X上的一个模糊集 其隶属函数为 A B x min A x B x A x B x x X A B x 5 模糊集的补定义非空论域X上的一个模糊集合A的补 记作A 或AC X上的一个模糊集 其隶属函数为A x 1 A x x X 注 两个模糊集的并 交运算可以推广到一般情形 即对任意指标集I 若Ai是X上的模糊集 i I 则模糊集的 任意 并 任意 交定义为 例设论域X x1 x2 x3 x4 为一个4人集合 X上的模糊集合A表示 高个子 A x1 0 6 x2 0 5 x3 1 x4 0 4 模糊集合B表示 胖子 B x1 0 5 x2 0 6 x3 0 3 x4 0 4 则模糊集合 高或胖 为 A B x1 0 6 0 5 x2 0 5 0 6 x3 1 0 3 x4 0 4 0 4 x1 0 6 x2 0 6 x3 1 x4 0 4 模糊集合 又高又胖 为 A B x1 0 5 x2 0 5 x3 0 3 x4 0 4 模糊集合 个子不高 为 A x1 0 4 x2 0 5 x3 0 x4 0 6 四 模糊集的运算性质 1 经典集合的运算性质经典集合关于并 交 补运算具有以下性质 设X为论域 A B C为X上的经典集合 则 1 幂等律 A A A A A A 2 交换律 A B B A A B B A 3 结合律 A B C A B C A B C A B C 4 吸收律 A A B A A A B A 5 分配律 A B C A B A C A B C A B A C 6 对合律 复原律 A A 7 两极律 同一律 A X A A X X A A A 8 DeMorgan对偶律 A B A B A B A B 9 排中律 互补律 A A X A A 注 满足上述前四条规律的代数系统称为格 可诱导出一个序A B A B A A B B 满足以上9条性质的代数系统称为布尔代数 Booleanalgebra 即 有补的有界分配格 2 模糊集合的运算性质定理设X为论域 A B C为X上的模糊集合 则 1 幂等律 A A A A A A 2 交换律 A B B A A B B A 3 结合律 A B C A B C A B C A B C 4 吸收律 A A B A A A B A 5 分配律 A B C A B A C A B C A B A C 6 对合律 复原律 A A 7 两极律 同一律 A X A A X X A A A 8 DeMorgan对偶律 A B A B A B A B 证明DeMorgan对偶律 对任意x X 由于 A B x 1 A B x 1 A x B x 1 A x 1 B x A x B x A B x 所以 A B A B 同理可证 A B A B 注 模糊集中互补律不成立 参见下面的反例 满足以上8条性质的代数系统称为DeMargan代数 也称为软代数 softalgebra 反例设论域X a b 上的模糊集A a 0 6 b 0 3 则A a 0 4 b 0 7 从而A A a 0 6 b 0 7 X A A a 0 4 b 0 3 五 L型模糊集 本节把模糊集合的隶属度取值范围推广到一般格上 并研究这类广义模糊集合及其性质 1 偏序集与格定义称 P 为偏序集 若P上的二元关系 满足以下三个条件 1 自反性 a P a a 2 反对称性 a b且b a a b 3 传递性 a b且b c a c 对于偏序集 P 如果对于任意a b P总有a b或b a成立 则称P为线性序集或全序集 设 P 为偏序集 若存在a P使得对任意b P都有a b 则称a为P的最小元 若存在a P使得对任意b P都有b a 则称a为P的最大元 易知 如果偏序集有最小元或最大元 则最小元或最大元是惟一的 为此 记0为最小元素 1为最大元素 设 P 为偏序集 X P 若存在a P使得对任意x X都有x a 则称a为X的上界 如果X的上界集合有最小元素 则称它为X的最小上界或上确界 记为supX或 X 对偶地 可以定义下界 最大下界或下确界 记为infX或 X 定义偏序集 L 称为格 如果 a b P 上确界a b与下确界a b都存在 任意子集都有上 下确界的格称为完备格 上 下确界运算满足分配律的格称为分配格 这里分配律指有限分配律 定理设 L 为格 则上 下确界运算满足 1 幂等律 a a a a a a 2 交换律 a b b a a b b a 3 结合律 a b c a b c a b c a b c 4 吸收律 a a b a a a b a 定理设代数系统 L 中的二元运算 满足 幂等律 a a a a a a 交换律 a b b a a b b a 结合律 a b c a b c a b c a b c 吸收律 a a b a a a b a 则 1 a b a a b b 2 在L中定义二元关系 如下a b a b a 那么 L 是格 且 是这个格 L 的上 下确界运算 2 Boole代数与DeMorgan代数定义设L是有界分配格 0 1分别是其最大元和最小元 对任意a L 若存在a L使得a a 1 a a 0 则称L为布尔代数 定义设P是偏序集 h P P是映射 如果当a b时恒有h a h b 则称h为保序映射 如果当a b时恒有h b h a 则称h为逆序映射 如果逆序映射h满足对合律h h a a 则h称为逆序对合对应或逆合映射 也称h为伪补 定义设L是有界分配格 h L L是L上的一元运算且满足 1 h h a a 2 h a b h a h b h a b h a h b 则称L为DeMorgan代数 易知DeMorgan代数中h是逆合映射 设X为非空集合 则幂集格 P X c 为布尔代数 而X上的模糊集全体构成的格 F X c 为DeMorgan代数 布尔代数是DeMorgan代数 反之不真 3 L型模糊集及其运算定义设X为论域 经典集合 L是一个有逆合映射 伪补 h的格 则映射A X L称为集合X上的L型模糊集合 记FL X A A X L为L型模糊集合 设A B FL X 若 x X有A x B x 则称A含于B 记为A B 易知 FL X 为偏序集 可分别定义并 交 补如下 A B x A x B x A B x A x B x Ac x h A x 容易验证 如果L是分配格 完备格 则FL X 也是分配格 完备格 如果L是DeMorgan代数 则FL X 也DeMorgan代数 例设L a b a b a b 0 1 a b c d L 规定 a b c d a c b d 则L是完备格 且如下定义的映射h L L h a b 1 b 1 a 是L上的伪补 于是 A X L是L型模糊集 这种模糊集在区间分析中是十分有用的 4 区间值模糊集许多情况下很难用一个确切的数值来表达一个对象隶属于一个模糊概念的程度 经验告诉我们 用一个数值范围来描述某点对一个模糊概念的相关程度会相对容易一些 这就产生了区间值模糊集