D24多元函数积分学.ppt

高等数学考前辅导 中北三教授数学考研面授辅导班 住址 北苑小区38号楼7单元502室 报名咨询热线 13513515293 主讲教师 柳林 第十 十一章 第十 十一章 多元函数积分学 50 一 知识点与考点精讲 二 典型例题分析与解答 一 知识点与考点精讲 一 重积分 2 二 三 重积分的性质 非均匀空间体的质量 三重积分的物理意义 1 二 三 重积分的概念与几何和物理意义 二重积分的几何意义 曲顶柱体的体积 物理意义 非均匀平面薄片的质量 性质1 与定积分类似 则有 性质4 性质5 若 性质3 则有 若 性质2 其中 为D的面积 若 则有 推论1 若 则有 推论2 性质7 若f x y 是D上的连续函数 一点 成立 其中 表示D的面积 则有 如果积分区域D关于x轴上下对称 则在D上至少存在 性质8 对称性 则有 0 其中 为D的面积 f x y 关于y是偶函数 f x y f x y 即有 f x y 关于y是奇函数 f x y f x y 性质6 若M和m分别是f x y 在D上的最大值与最小值 使等式 如果积分区域D关于y轴左右对称 即有 则有 0 f x y 关于x是奇函数 f x y f x y f x y 关于x是偶函数 f x y f x y 如果积分区域D关于原点对称 即有 则有 0 f x y 关于x y是奇函数 f x y f x y f x y 关于x y是偶函数 f x y f x y 被积函数的奇偶 利用对称性计算二重积分时 对于三重积分也有类似的对称性 注意 即f x y z f x y z 性与积分区域的对称性必须匹配 若f x y z 关于z是奇函数 若积分区域 关于xoy坐标面上下是对称的 则有 若f x y z 关于z是偶函数 即f x y z f x y z 则有 在xoy 坐标面上方的部分为 若积分区域 关于xoz坐标面或yoz坐标面对称时 也有类似的性质 而被积函数有相应的奇偶性时 3 重积分的计算法 利用直角坐标计算二重积分 若积分区域D可表示为 则二重积分可化为二次积分 若积分区域D可表示为 则二重积分可化为二次积分 1 二重积分 化为累次积分计算 特别地 若积分区域D可表示为 则二重积分可化为两个定积分的乘积 而被积函数可表示为 利用极坐标计算二重积分 若积分区域D可表示为 则二重积分可化为二次积分 则D可表示为 若积分区域D的图形为 此时二重积分可化为二次积分 若积分区域为圆域或部分圆域 或 被积函数为 一般应选择极坐标计算二重积分 2 三重积分 先一后二法 先二后一法 利用直角坐标计算三重积分 利用柱面坐标计算三重积分 锥体 若积分区域 为柱体 利用球面坐标计算三重积分 或锥面与旋转抛物面围成 被积函数为 一般应选择柱面坐标计算三重积分 若积分区域 为球体或球体的一部分 被积函数为 一般应选择球面坐标计算三重积分 当 为空间曲线时 当L为平面曲线时 对弧长的曲线积分 其中ds为弧长元素 二 对弧长的曲线积分 第一型曲线积分 1 概念 物理意义 非均匀曲线弧的质量 2 性质 与定积分类似 性质8 即对弧长的曲线积分与曲线弧的方向无关 性质9 对称性 若平面曲线L关于y轴左右对称 函数 则有 被积 关于x是奇函数 即有 若被积函数 关于x是偶函数 即有 则有 其中 是L在 的部分 此外 若L关于x轴上下对称 关于 y具有奇偶性 3 计算法 化为定积分计算 1 若曲线L 则有 2 若曲线L 则有 被积函数 则对弧长的曲线积分有类似的对称性 3 若曲线L 则有 若曲线L 则有 4 若空间曲线 则有 三 对坐标的曲线积分 第二型曲线积分 1 概念 物理意义 质点在变力 的作用下沿有向曲线弧L从点A移动到点B所作功 2 性质 与定积分类似 性质8 其中 是与L方向相反的曲线弧 即对坐标的曲线积分与曲线弧的方向有关 3 计算法 化为定积分计算 若曲线L 起点A t 若曲线L 终点B t 则有 起点A x a 终点B x b 则有 若曲线L 起点A y c 终点B y d 则有 若曲线 起点A t 终点B t 则有 4 两类曲线积分的联系 其中 为有向曲线弧L上点 x y 处切向量的方向角 5 格林公式 若函数P x y Q x y 以及它们的一阶 偏导数 在闭区域D上连续 则有 其中L是D取正向的边界曲线 逆时针方向 6 曲线积分与路径无关的条件 设D是一个平面单连通区域 P x y Q x y 在D内具 有一阶连续偏导数 则曲线积分 在D 的充分必要条件是在D内恒有 即若 是D内两条起点与终点相同 但路径不同的曲线 则有 内与路径无关 或者 则有 若L是D内任意一条封闭曲线 7 对坐标的曲线积分的计算流程图 L不闭合 与路径无关 L闭合 与路径有关 L闭合 用格林公式化为二重积分 L不闭合 补边后用格林公式 直接计算 起点 终点 1 概念 四 对面积的曲面积分 第一型曲面积分 物理意义 其中dS为曲面面积元素 当曲面 的方程为z z x y 时 非均匀曲面的质量 当曲面 的方程为x x y z 时 当曲面 的方程为y y x z 时 2 性质 与定积分类似 性质8 则有 函数f x y z 则对面积的曲面积分有类似的对称性 若函数f x y z 关于z为奇函数 即有 则有 若曲面 关于xoz坐标面 yoz坐标面对称 有相应的奇偶性 f x y z f x y z 且函数f x y z 关于z为偶函数 即有 若曲面 关于xoy坐标面上下对称 为xoy坐标面上方 对称性 f x y z f x y z 的曲面 3 计算法 则有 曲积化为重积算 一代 二换 三投影 口诀 区域为 2 若曲面 的方程为x x y z 曲面 在yoz坐标面的投影 则有 3 若曲面 的方程为y y x z 曲面 在xoz坐标面的投影 区域为 则有 化为二重积分计算 1 若曲面 的方程为z z x y 曲面 在xoy坐标面的投影 区域为 1 概念 五 对坐标的曲面积分 第二型曲面积分 不可压缩的液体以速度 流过有向曲面 指定侧的流量 2 性质 物理意义 与定积分类似 性质8 其中 为 取 即对坐标的曲面积分与有向曲面的 相反侧的曲面 方向 侧 有关 3 计算法 首先应将曲面 的方程表示 1 要计算 此时曲面分上侧与下侧 再将曲面 投影 设投影区域为 则有 上侧取 下侧取 化为二重积分计算 2 要计算 首先应将曲面 的方程表示 再将曲面 投影 设投影区域为 为z z x y 到xoy坐标面 为x x y z 此时曲面分前侧与后侧 到yoz坐标面 则有 前侧取 后侧取 为y y x z 此时曲面分右侧与左侧 再将曲面 投影 设投影区域为 则有 右侧取 左侧取 口诀 一代 二投 三定侧 曲积化为重积算 首先应将曲面 的方程表示 到xoz坐标面 3 要计算 4 两类曲面积分的联系 其中 为曲面 上点M x y z 处的法向量 的方向余弦 5 高斯公式 其中 取封闭曲面的外侧 是 所围的空间区域 二 典型例题分析与解答 例1 的值为 解 按题目所给累次积分次序无法积分 所以应改变所给二次积分的次序 积不出来 积分 注释 本题考查二重积分计算 因为积分 由已给二次积分知积分区域D为 画积分区域D的图形 改变积分次序得 题型 一 二重积分 例2 解 则 设f x y 为连续函数 等于 依题意积分区域D为 画D的图形 由于四个选项对积分区域都不划分 只能先对x再对y积分 故选项 C 正确 C 注释 本题考查累次积分定限 例3 设区域D为 则 解 由于对称性 则有 极坐标 注释 本题考查二重积分对称性的应用和在极坐标下的计算 例4 解 设区域 计算二重积分 画积分区域图形 注释 本题考查利用对称性和极坐标计算二重积分 其中 极坐标 由于对称性 题型 二 三重积分 设有空间区域 及 例1 解 C 对于选项 A 则有 由于被积函数f x y z x关于x是奇函 数 积分区域 关于yoz坐标面前后对称 则有 故选项 A 错误 同样选项 B 与 D 也错误 对于选项 C 由于被积函数f x y z z关于x与y都是偶函数 积分区域 关于yoz和xoz坐标面都对称 故有 选项 C 正确 所围成的区域 画积分区域 的图形 例2 计算三重积分 其中 是由曲面 解 其中 利用对称性 球面坐标 若用 先二后一法 反而麻烦 例3 求 解 其中 是由曲线 绕z轴旋转一周而成的曲面与平面z 4所围成的立体 旋转曲面的方程为 画积分区域 的图形 柱面坐标 注释 本题考查利用柱面坐标计算三重积分 题型 三 对弧长的曲线积分 设平面曲线L为下半圆周 则曲线积分 解法1 由于下半圆周上的点 x y 也满足 则有 应填 例1 注释 本题考查对弧长曲线积分的计算法 下半圆周 的参数方程为 解法2 则有 显然解法1优于解法2 解 设L是椭圆 其周长为a 例2 椭圆L的方程可改写为 则 则有 由于xy是x的奇函数 曲线L关于y轴对称 则有 注释 本题考查对弧长曲线积分的计算法与解题技巧 又由于 所以 题型 四 对坐标的曲线积分 设L为取正向的圆周 例1 则曲线积分 解 原式 的值是 应填 注释 本题考查格林公式的应用 格林公式 例2 设L为正向圆周 在第一象限中的部分 则曲线积分 的值为 解 圆周 的参数方程为 起点参数为 终点参数为 则有 注释 本题考查对坐标的曲线的计算 L为从点A 2a 0 沿曲线 求 其中a b为正的常数 例3 到点O 0 0 的弧 解 画积分路径L的图形 原式 格林公式 注释 本题考查对坐标的曲线的计算 例4 在变力 的作用下 质点由原点沿直线运动到椭球面 问当 取何值时 并求出W的最大值 以下求在条件 上 第一卦限点M 力 所作的功W最大 解 的约束下 W 的最大值 令 由 得 从而 即得 由实际问题知 于是得 考查变力沿曲线作功的 本题是一道综合题 注释 计算和条件极值 题型 五 对面积的曲面积分 部分 例1 设S 为S在第一卦限的 解 则有 对选项 A 由于f x y z x关于x是奇函数 曲面S 所以有 故选项 A 错误 同理选项 B D 也错误 关于yoz坐标面对称 C 对于选项 C 即有 故选项 C 正确 注释 本题考查被积函数奇偶性和积分区域对称性 在对面积的曲面积分中的应用 所以有 由于f x y z z 关于x和y都是偶函数 所以有 曲面S关于yoz和xoz坐标面对称 又在曲面 上 x y z具有轮换对称性 例2 解 内的部分 则有 有 计算曲面积分 其中 为锥面 在柱体 锥面 在xoy坐标面的投影区域记为 极坐标 对锥面 注释 本题考查对面积的曲面积分的计算 题型 六 对坐标的曲面积分 例1 的外侧 解 计算曲面积分 设S为曲面 注释 本题考查利用高斯公式计算对坐标的曲面积分 由高斯公式知 其中 本题常出现的错误是把三重积分 的被积函数 用1代换 例2 计算 其中 是由曲面 所围立体 表面的内侧 解 积分区域为封闭曲面并取内侧 由高斯公式得 球面坐标 原式 注释 本题考查高斯公式的应用 例3 计算曲面积分 解 其中 为上半球面 补平面 注释 本题考查利用高斯公式计算对坐标的曲面积分 的上侧 并取其下侧 原式 解 计算曲面积分 其中 是曲面 例4 的上侧 注释 本题考查高斯公式的应用 补平面 并取其下侧 原式 柱面坐标 例5 是 的整个边界的外侧 设 是由锥面 与半球面 解 注释 本题考查用高斯公式计算对坐标的曲面积分 围成的空间区域 则 由高斯公式知