a函数极限概念和性质.ppt

微积分讲课提纲 微积分 I 浙江大学理学院讲课人 朱静芬Email jfzhu 第三节函数极限 一 函数极限的概念 二 函数极限的性质 三 函数极限存在的准则 五 两个重要极限 四 无穷小量 无穷大量 阶的比较 一 自变量趋向无穷大时函数的极限 播放 通过上面演示实验的观察 问题 如何用数学语言刻划函数 无限接近 1 定义 2 几何解释 例 证 例 证明 直线y 0是函数的图形的水平渐近线 对函数 当取正值且无限增大时 函数值无限趋近于常数A 则称当时 函数以A为极限 记作 定义 几何解释 记作 对函数 当取负值且无限增大时 函数无限趋近于常数A 则称当时 函数以A为极限 定义 例 不存在 解 结论 由图容易看出 分析 需要证明之处 例 证明 证明 二 自变量趋向有限值时函数的极限 1 2 表示时有无极限与有无定义没有关系 3 任意给定后 才能找到 依赖于 且越小 越小 4 不唯一 也不必找最大的 只要存在即可 几何意义如果函数f x 当x x0时极限为A 以任意给定一正数 作两条平行于x轴的直线y A 和y A 存在点x0的 邻域 x0 x0 当x在邻域 x0 x0 内 但x x0时 曲线y f x 上的点 x f x 都落在两条平行线之间 例 证 例 证 例 证 函数在点x 1处没有定义 例 证 例 证 例 证明 幂函数 指数函数 对数函数 三角函数及反三角函数等基本初等函数 在其定义域内的每点处的极限都存在 并且等于函数在该点处的值 结论 单侧极限 例如 左极限 右极限 左右极限存在但不相等 例 证 证当时的左极限 而右极限 因为左极限和右极限存在但不相等 所以不存在 证 所以 小结 注 分段函数分点处的极限 要分别求左极限和右极限 证明函数极限不存在的方法是 1 证明左极限与右极限至少有一个不存在 2 或证明左极限和右极限均存在 但不相等 小结 函数极限的统一定义 见下表 1 唯一性 证 注意 局部有界性 3 不等式性质 定理 保号性 推论 4 四则运算法则 设 则有 法则1 法则2 法则3 推论1 推论2 注意 法则1和法则2均可推广到有限个变量的情形 例 求 解 一般 设 例 求 注 对于有理分式函数 首先要验分母极限是否为零 解 结论 一般 例 例 求 解 例 解 将分子 分母同乘以因子 1 x 则 5 复合函数求极限法则 1 若满足 即函数符号与极限符号可以交换顺序 则 说明 设函数是由和复合而成 2 若满足 且在内 则 且在内 证明 证毕 例 解 三 函数极限的存在准则 1 夹逼准则 解 当x 0时 有 故 由夹逼定理得 另一方面 当x 0时 有 故 由夹逼定理得 综上 我们可得 2 归结原则子列收敛性 函数极限与数列极限的关系 定义 定理 证 例如 函数极限与数列极限的关系 函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在 且相等 注1归结原则也可简述为 例 证 二者不相等 一 自变量趋向无穷大时函数的极限 一 自变量趋向无穷大时函数的极限 一 自变量趋向无穷大时函数的极限 一 自变量趋向无穷大时函数的极限 一 自变量趋向无穷大时函数的极限 一 自变量趋向无穷大时函数的极限 一 自变量趋向无穷大时函数的极限 一 自变量趋向无穷大时函数的极限 一 自变量趋向无穷大时函数的极限 结束