全国各地高考理科数学试题及详解汇编(二)

1 2013 全国各地高考理科数学试题及详解汇编（二） 目 录 1四川卷2 2湖南卷26 3安徽卷45 4江西卷51 4浙江卷59 5江苏卷68 6福建卷78 7广东卷 87 8海南卷 92 2 2013 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数 学（理工类） 本试题卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题） 第卷 1 至 2 页，第卷 3 至 4 页，共 4 页考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上大题无 效满分 150 分考试时间 120 分钟考试结束后，将本试题卷和答题卡上一并交回 第卷 （选择题 共 50 分） 注意事项： 必须使用 2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只 有一个是符合题目要求的 1设集合 ，集合 ，则 （ ）|20Ax2|40BxAB （A） （B ） （C） （D）, 2如图，在复平面内，点 表示复数 ，则图中表示 的共轭复数的点是（ zz ） （A） （B） （C） （D） 3一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（ ） 4设 ，集合 是奇数集，集合 是偶数集若命题 ，则（ xZAB:,2pxAB ） （A） （B）:,2px （C） （D）,xB 5函数 的部分图象如图所示，()sin()0,)2fx 则 的值分别是（ ）, （A） （B） （C） 23,64,6 （D） 4, 6抛物线 的焦点到双曲线 的渐近线的距离是（ ）2yx213yx （A） （B） （C） （D）1 3 7函数 的图象大致是（ ） 23xy yxDBAOC 3 8从 这五个数中，每次取出两个不同的数分别为 ，共可得到 的不1,3579 ,ablgab 同值的个数是（ ） （A） （B） （C） （D ）101820 9节日 家前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，若接通电后的 4 秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯在内 4 秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电 后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过 2 秒的概率是（ ） （A） （B） （C） （D）14 378 10设函数 （ ， 为自然对数的底数） 若曲线 上存在()xfeaResinyx 使得 ，则 的取值范围是（ ）0(,xy0y （A） （B） （C） （D）11,1,e1,e 第二部分 （非选择题 共 100 分） 注意事项： 必须使用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答作图题可先 用铅笔绘出，确认后再用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔描清楚答在试题卷上无效 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 11二项式 的展开式中，含 的项的系数是_ （用数字作答）()xy23xy 12在平行四边形 中，对角线 与 交于点 ， ，则ABCDABDOABDO _ 13设 ， ，则 的值是_sin2si(,)2tan 14已知 是定义域为 的偶函数，当 时， ，那么，不等式()fxRx02()4fx 的解集是_5f 15设 为平面 内的 个点，在平面 内的所有点中，若点 到12,nP P 点的距离之和最小，则称点 为 点的一个“中位点” 例如，线 P12,n 段 上的任意点都是端点 的中位点则有下列命题：AB,AB 若 三个点共线， 在线段上，则 是 的中位点；,CC,AB 直角三角形斜边的点是该直角三角形三个顶点的中位点； 若四个点 共线，则它们的中位点存在且唯一；,D 梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点 其中的真命题是_ （写出所有真命题的序号） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16(本小题满分 12 分) 在等差数列 中， ，且 为 和 的等比中项，求na2184a23 数列 的首项、公差及前 项和na 4 17(本小题满分 12 分) 在 中，角 的对边分别为 ，且ABC, ,abc 2 3cossin()si5ABAB （）求 的值； （）若 ， ，求向量 在 方向上的投影4a5b 18(本小题满分 12 分) 某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量 在x 这 个整数中等可能随机产生1,23,4 （）分别求出按程序框图正确编程运行时输出 的值为 的概率 ；yi(1,23)iP （）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行 次后，统计记n 录了输出 的值为 的频数以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据y(1,23)i 甲的频数统计表（部分） 乙的频数统计表（部分） 当 时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出 的值为210n y 的频率（用分数表示） ，并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的(,3)i 可能性较大； （）按程序框图正确编写的程序运行 3 次，求输出 的值为 2 的次数 的分布列及数学y运行次数 n输出 的值为 的频数1输出 的值为 的频数 输出 的值y为 的频数304610 2797运行次数 n输出 的值y为 的频数1输出 的值y为 的频数2输出 的值y为 的频数3317 205695 5 期望 19(本小题满分 12 分) 如图，在三棱柱 中，侧棱 底面 ，1ABC1ABC ， ， 分别是线段 的中点， 是线段12ABC20BA1,D1,P 的中点D （）在平面 内，试作出过点 与平面 平行的直线 ，说明理由，并证明直线Pl 平面 ；l1 （）设（）中的直线 交 于点 ，交 于点 ，求二面角 的余lMACN1AMN 弦值 20(本小题满分 13 分) 已知椭圆 ： 的两个焦点分别为C 21,(0)xyab ，且椭圆 经过点 12,0)(,F41(,)3P （）求椭圆 的离心率；C （）设过点 的直线 与椭圆 交于 、 两点，点 是线段 上的点，且,)AlMNQMN ，求点 的轨迹方程2221|QMNQ 21(本小题满分 14 分)已知函数 ，其中 是实数设 2,0()ln,xafa ， 为该函数图象上的两点，且 1,)Axf2(,Bxf 12x （）指出函数 的单调区间；) （）若函数 的图象在点 处的切线互相垂直，且 ，求 的最小值；,AB021x （）若函数 的图象在点 处的切线重合，求 的取值范围(f a D1DC BA 1 B1C1AP 6 10 11 12 13 14 解析 1. 2. 3. 4. 15 5. 6. 16 7. 8. 9. 17 10. 11. 18 12 .1 3 14. 15. 19 16. 20 17. 21 18. 22 19. 23 24 25 20. 26 21 27 28 21. 29 30 2013 年湖南省高考数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在答题卡上. 1 （5 分）i 是虚数单位，复数 =（ ） A 2+i B 2i C 1+2i D 12i 2 （5 分）若 M=直线，N=抛物线，则 MN 的元素个数是（ ） A 0 B 1 C 2 D 不能确定 3 （5 分）如图为一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图中曲线部分为 半圆，尺寸如图，则该几何体的体积为（ ） A +2 B C 2+2 D 2 4 （5 分）高三某班团支部换届进行差额选举，从已产生的甲、乙、丙、丁四名候选人中 选出三人分别担任书记、组织委员和宣传委员，并且要求乙是上届组织委员不能连任原职， 则换届后不同的任职结果有（ ） A 16 种 B 18 种 C 20 种 D 22 种 5 （5 分）若在区域 内任取一点 P，则点 P 恰好在单位圆 x2+y2=1 内的概率 为（ ） A B C D 6 （5 分）设直线 l 的方程为： x+ysin2013=0（ R） ，则直线 l 的倾斜角 的范围是（ ） A 0， ） B C D 7 （5 分）下列命题正确的有 用相关指数 R2 来刻画回归效果越小，说明模型的拟合效果越好； 命题 p：“x 0R，x 02x010”的否定 p：“ xR，x 2x10”； 31 设随机变量 服从正态分布 N（0，1） ，若 P（ 1）=p，则 ； 回归直线一定过样本中心（ ） （ ） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 8 （5 分）在平面直角坐标系中，定义点 P（x 1，y 1） 、Q（x 2，y 2）之间的“ 理想距离”为： d（P，Q）=|x 1x2|+|y1y2|；若 C（x，y）到点 A（2，3） 、B（8，8）的“理想距离”相等，其 中实数 x、y 满足 0x8、0y8，则所有满足条件的点 C 的轨迹的长度之和是（ ） A 3+ B C 10 D 5 二、填空题：本大题共 8 小题，考生作答 7 小题，每小题 0 分，共 35 分，把答案填在答题 卡中对应号后的横线上 （一）选做题（请考生在第 9，10，11 三题中任选两题作答，如果 全做，则按前两题记分） （二）必做题（1216 题） 9计算 的值等于 _ 10 （5 分）如图，点 A，B，C 是圆 O 上的点，且 ， ，则圆 O 的面积 等于 _ 11 （5 分）若曲线 C 的极坐标方程为 cos2=2sin，则曲线 C 的普通方程为 _ 12 （5 分）看图程序运行后的输出结果 s= _ 13 （5 分）已知 、 是不同的两个平面，直线 a，直线 b，命题 p：a 与 b 没有公共 点；命题 q： ，则 p 是 q 的 _ 条件 14 （5 分）为了保证信息安全传输，有一种称为秘密密钥密码系统，其加密、解密原理如 下：明文 密文 密文 明文现在加密密钥为 y=loga（x+2） ，如 上所示，明文“6” 通过加密后得到密文“ 3”，再发送，接受方通过解密密钥解密得到明文 “6”若接受方接到密文为“4”，则解密后得明文为 _ 32 15 （5 分）已知 a，b，c 成等差数列，则直线 axby+c=0 被曲线 x2+y22x2y=0 截得的弦长 的最小值为 _ 16 （5 分）已知 x，yN *，且 1+2+3+4+y=1+9+92+9x1，当 x=2 时，y= _ ；若把 y 表示成 x 的函数，其解析式是 y= _ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （12 分）已知 ，设 0， ， ，若 f（x）图象中相邻的两条对称轴间的距 离等于 （1）求 的值； （2）在ABC 中，a ，b，c 分别为角 A，B ，C 的对边， 当 f（A） =1 时，求 b，c 的值 18 （12 分）在一次考试中共有 8 道选择题，每道选择题都有 4 个选项，其中有且只有一 个选项是正确的某考生有 4 道题已选对正确答案，其余题中有两道只能分别判断 2 个选 项是错误的，还有两道题因不理解题意只好乱猜 （）求该考生 8 道题全答对的概率； （）若评分标准规定：“每题只选一个选项，选对得 5 分，不选或选错得 0 分” ，求该考 生所得分数的分布列 19 （12 分）正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的底面边长是 ，侧棱长是 3，点 E、F 分别在 BB1、DD 1 上，且 AEA1B，AFA 1D （1）求证：A 1C面 AEF； （2）求截面 AEF 与底面 ABCD 所成二面角 的正切值 20 （13 分）京广高铁于 2012 年 12 月 26 日全线开通运营，G808 次列车在平直的铁轨上 匀速行驶，由于遇到紧急情况，紧急刹车时列车行驶的路程 S（t） （单位：m ）和时间 t（单位：s）的关系为： （1）求从开始紧急刹车至列车完全停止所经过的时间； （2）求列车正常行驶的速度； （3）求紧急刹车后列车加速度绝对值的最大值 21 （13 分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点 M（1，2） ，它们在 x 轴上有共同焦点， 椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点 33 （1）求这三条曲线的方程； （2）对于抛物线上任意一点 Q，点 P（a ，0）都满足|PQ| |a|，求 a 的取值范围 22 （13 分）已知二次函数 f（x）=x 2ax+a（xR）同时满足： 不等式 f（x） 0 的解集有且只有一个元素； 在定义域内存在 0x 1x 2，使得不等式 f（x 1）f（x 2）成立 设数列a n的前 n 项和 Sn=f（n） ， （1）求数列a n的通项公式； （2）数列b n中，令 ，T n= ，求 Tn； （3）设各项均不为零的数列c n中，所有满足 cici+10 的正整数 i 的个数称为这个数列 cn的变号数令 （n 为正整数） ，求数列c n的变号数 34 2013 年湖南省高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在答题卡上. 1 （5 分）i 是虚数单位，复数 =（ ） A 2+i B 2i C 1+2i D 12i 考点： 复数代数形式的乘除运算407442 专题： 计算题 分析： 要求两个复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分子和分母上进行 复数的乘法运算，最后结果要化简成最简形式 解答： 解：复数 = = =2i 故选 B 点评： 本题考查复数的代数形式的乘除运算，是一个基础题，这种题目运算量不大，解题 应用的原理也比较简单，是一个送分题目 2 （5 分）若 M=直线，N=抛物线，则 MN 的元素个数是（ ） A 0 B 1 C 2 D 不能确定 考点： 函数的零点407442 专题： 函数的性质及应用 分析： 根据两个集合的意义，两个集合的交集的定义，求得 MN 的元素个数 解答： 解：由于 M=直线，表示所有直线构成的集合，N=抛物线 ，表示所有的抛物线 构成的集合， 故 MN=，故 MN 的元素个数是 0， 故选 A 点评： 本题主要考查两个集合的交集的定义和求法，集合的表示方法，属于基础题 3 （5 分）如图为一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图中曲线部分为 半圆，尺寸如图，则该几何体的体积为（ ） A +2 B C 2+2 D 2 35 考点： 由三视图求面积、体积407442 专题： 计算题；空间位置关系与距离 分析： 由三视图知，几何体是一个组合体，包括一个三棱柱和半个圆柱，再利用体积公式， 即可得到结论 解答： 解：由三视图知，几何体是一个组合体，包括一个三棱柱和半个圆柱， 三棱柱的是一个底面是斜边为 2 的等腰直角三角形，高是 2，圆柱的底面半径是 1， 高是 2， 所以该几何体的体积为 =+2 故选 A 点评： 本题考查由三视图还原几何体的直观图，考查几何体体积的计算，属于基础题 4 （5 分）高三某班团支部换届进行差额选举，从已产生的甲、乙、丙、丁四名候选人中 选出三人分别担任书记、组织委员和宣传委员，并且要求乙是上届组织委员不能连任原职， 则换届后不同的任职结果有（ ） A 16 种 B 18 种 C 20 种 D 22 种 考点： 排列、组合及简单计数问题407442 专题： 概率与统计 分析： 利用两个计数原理及排列和组合的计算公式即可得出 解答： 解：分为以下两类： 一类：若选出的 3 人中有乙，还得选出另外 2 人有 ，又乙只能从书记、宣传委员 中选出一个职位，可有 ， 因此，共有 =12 种不同的结果； 另一类：若选出的 3 人中没有乙，则可有 =6 种不同的结果 综上共有：12+6=18 种不同的结果 故选 B， 点评： 熟练掌握两个计数原理及排列和组合的计算公式是解题的关键 5 （5 分）若在区域 内任取一点 P，则点 P 恰好在单位圆 x2+y2=1 内的概率 为（ ） A B C D 考点： 简单线性规划的应用；几何概型407442 专题： 计算题；不等式的解法及应用 36 分析： 作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的AB0 及其内部单位圆 x2+y2=1 位于 AB0 内的部分为一个圆心角为 的扇形，由此结合几何概型计算公式和面积公式， 即可算出所求的概率 解答： 解：作出不等式组 表示的平面区域， 得到如图的AB0 及其内部，其中 A（1，0） ，B（0，1） ，0 为坐标原点 单位圆 x2+y2=1 位于AB0 内的部分为一个扇形，其圆心角为 在区域 内任取一点 P， 点 P 恰好在单位圆 x2+y2=1 内的概率为 P= = = 故选：A 点评： 本题给出不等式组表示的平面区域内一点，求点 P 恰好在单位圆 x2+y2=1 内的概 率着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和几何概型等知识，属于基础 题 6 （5 分）设直线 l 的方程为： x+ysin2013=0（ R） ，则直线 l 的倾斜角 的范围是（ ） A 0， ） B C D 考点： 直线的一般式方程407442 专题： 直线与圆 分析： 当 sin=0 时，直线 l 的斜率不存在，倾斜角 = ，当 sin0 时，直线 l 的斜率 k= 结合正弦函数的值域及反比例函数的性质，可以分析出直线 l 的斜率 k 的 取值范围，进而得到倾斜角的范围，综合讨论结果，可得答案 解答： 解：当 sin=0 时，直线 l 的方程为：x 2013=0 此时倾斜角 = 当 sin0 时，直线 l 的方程为：y= x+2013 37 直线 l 的斜率 k= （，1 1，+） 直线 l 的倾斜角 综上所述：直线 l 的倾斜角 故选 C 点评： 本题考查的知识点是直线的方程，直线斜率与倾斜角的关系，解答时易忽略直线 l 的 斜率不存在，倾斜角 = ，而错选 D 7 （5 分）下列命题正确的有 用相关指数 R2 来刻画回归效果越小，说明模型的拟合效果越好； 命题 p：“x 0R，x 02x010”的否定 p：“ xR，x 2x10”； 设随机变量 服从正态分布 N（0，1） ，若 P（ 1）=p，则 ； 回归直线一定过样本中心（ ） （ ） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 考点： 命题的真假判断与应用；命题的否定；线性回归方程；正态分布曲线的特点及曲线 所表示的意义407442 专题： 证明题 分析： 相关指数表示拟合效果的好坏，指数越大，相关性越强存在性命题的否定是 全称命题正态分布函数曲线的特点是：关于 x=对称，在 x=处达到最大值 性回归方程一定过样本中心点，在一组模型中残差平方和越小，拟合效果越好， 解答： 解：R 2 越大拟合效果越好，故不正确， 由存在性命题的否定是全称命题得 正确， 正态分布函数曲线的特点是：关于 x=0 对称，在 x=0 处达到最大值，且 p（0 ）= ，若 P（1） =p 则若 P（1）=p 所 以 故正确 样本中心点在直线上，故 正确 故选 C 点评： 本题考查衡量两个变量之间相关关系的方法，要想知道两个变量之间的有关或无关 的精确的可信程度，只有利用独立性检验的有关计算，才能做出判断大于 0.75 时， 表示两个变量有很强的线性相关关系 8 （5 分）在平面直角坐标系中，定义点 P（x 1，y 1） 、Q（x 2，y 2）之间的“ 理想距离”为： d（P，Q）=|x 1x2|+|y1y2|；若 C（x，y）到点 A（2，3） 、B（8，8）的“理想距离”相等，其 中实数 x、y 满足 0x8、0y8，则所有满足条件的点 C 的轨迹的长度之和是（ ） A 3+ B C 10 D 5 考点： 两点间的距离公式407442 专题： 新定义 38 分析： 利用新定义对 x、y 分类讨论即可得出 解答： 解： d（C，A ）=|x 2|+|y3|，d（C ，B）=|x 8|+|y8|，d（C，A）=d（C，B） ， |x2|+|y3|=|x8|+|y8|， （*） 实数 x、y 满足 0x8、0 y8，则可以分以下 4 种情况： 当 0x2， 0y3 时， （*）化为 2x+3y=8x+8y，即 11=0，矛盾，此种情况不可 能； 当 0x2， 3y8 时， （*）化为 2x+y3=8x+8y，得到 y= 8，此时矛盾，此 种情况不可能； 当 2x8，0y 3 时， （*）化为 x2+3y=8x+8y，得到 x= ，此时满足条件的点 C（x，y）的轨迹的长度为 3； 当 2x8，3y8 时， （*）化为 x2+y3=8x+8y，得到 x+y=10.5，令 y=8，得 x=2.5，点（2.5，8） ； 令 y=3，得 x=7.5，点（7.5，3） 此时满足条件的点 C（x，y）的轨迹的长度 = = 综上可知：所有满足条件的点 C 的轨迹的长度之和是 3+5 故选 A 点评： 正确理解新定义、分类讨论的思想方法是解题的关键 二、填空题：本大题共 8 小题，考生作答 7 小题，每小题 0 分，共 35 分，把答案填在答题 卡中对应号后的横线上 （一）选做题（请考生在第 9，10，11 三题中任选两题作答，如果 全做，则按前两题记分） （二）必做题（1216 题） 9计算 的值等于 2 考点： 定积分407442 专题： 计算题 分析： 根据定积分的计算法则进行计算，求出 3x2 的原函数即可； 解答： 解： = =13（1） 3=2， 故答案为 2 点评： 此题主要考查定积分的计算，这是高考新增的知识点，此题是一道基础题 10 （5 分）如图，点 A，B，C 是圆 O 上的点，且 ， ，则圆 O 的面积 等于 4 39 考点： 正弦定理407442 专题： 计算题 分析： 设圆的半径为 R，由正弦定理可得， 可求圆的半径，进而可求圆的面 积 解答： 解：设圆的半径为 R 由正弦定理可得， ， 2R= R=2，S=4 故答案为：4 点评： 本题主要考查了正弦定理的简单应用，属于基础试题 11 （5 分）若曲线 C 的极坐标方程为 cos2=2sin，则曲线 C 的普通方程为 x 2=2y 考点： 简单曲线的极坐标方程407442 专题： 直线与圆 分析： 曲线的方程即 2cos2=2sin，根据极坐标和直角坐标之间的互化公式，求出它的 直角坐标方程 解答： 解：曲线 C 的极坐标方程为 cos2=2sin，即 2cos2=2sin，化为直角坐标方程 为 x2=2y， 故答案为 x2=2y 点评： 本题主要考查曲线的极坐标方程和直角坐标方程之间的互化，属于基础题 12 （5 分）看图程序运行后的输出结果 s= 21 考点： 伪代码407442 专题： 图表型 分析： 先读懂程序的算法，再据算法规则依次算出结果可以看出这是一个循环结构依 其特点求解即可 解答： 解：程序是一个循环结构，步长是 2，每循环一次 i 就加进 2，初始 i=1， 40 可循环 4 次，第 4 次进入循环体后 i=9，故 S=92+3=21 故答案为：21 点评： 考查算法语言的结构，此类题的做法通常是把值代入，根据其运算过程求出值 13 （5 分）已知 、 是不同的两个平面，直线 a，直线 b，命题 p：a 与 b 没有公共 点；命题 q： ，则 p 是 q 的 必要不充分 条件 考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断407442 分析： a 与 b 没有公共点，则 a 与 b 所在的平面 可能平行，也可能相交（交点不在直线 b 上） ；但 ，则面面平行的性质定理，我们易得 a 与 b 平行或异面结合充要条件 定义即可得到结论 解答： 解： a 与 b 没有公共点时，a 与 b 所在的平面 可能平行，也可能相交（交点不在 直线 b 上） ； 命题 p：a 与 b 没有公共点命题 q： ，为假命题； 又 时，a 与 b 平行或异面，即 a 与 b 没有公共点 命题 q：命题 p：a 与 b 没有公共点，为真命题； 故 p 是 q 的必要不充分条件 故答案：必要不充分 点评： 本题考查的知识点是必要条件、充分条件与充要条件的判断，我们先判断 pq 与 qp 的真假，再根据充要条件的定义给出结论 14 （5 分）为了保证信息安全传输，有一种称为秘密密钥密码系统，其加密、解密原理如 下：明文 密文 密文 明文现在加密密钥为 y=loga（x+2） ，如 上所示，明文“6” 通过加密后得到密文“ 3”，再发送，接受方通过解密密钥解密得到明文 “6”若接受方接到密文为“4”，则解密后得明文为 14 考点： 通讯安全中的基本问题407442 专题： 计算题 分析： 根据题意中给出的解密密钥为 y=loga（x+2） ，及明文“6” 通过加密后得到密文“ 3”，可 求出底数 a 的值，若接受方接到密文为“4”，不妨解密后得明文为 b，构造方程，解 方程即可解答 解答： 解： 加密密钥为 y=loga（x+2） ， 由其加密、解密原理可知，当 x=6 时，y=3，从而 a=2； 不妨设接受方接到密文为“4”的“ 明文”为 b，则有 4=log2（ b+2） ，从而有 b=242=14 即解密后得明文为 14 故答案为：14 点评： 本题考查新运算，解题的关键是：根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运 算，易得最终结果 15 （5 分）已知 a，b，c 成等差数列，则直线 axby+c=0 被曲线 x2+y22x2y=0 截得的弦长 的最小值为 2 考点： 直线与圆锥曲线的关系407442 专题： 计算题 41 分析： 利用等差数列的定义得到 2b=a+c，求出圆心坐标及半径，求出圆心到直线的距离 d，利用勾股定理求出弦长，求出最小值 解答： 解：因为 a，b，c 成等差数列， 所以 2b=a+c 因为 x2+y22x2y=0 表示以（1，1）为圆心，以 为半径的圆， 则圆心到直线的距离为 d= = 则直线 axby+c=0 被曲线 x2+y22x2y=0 截得的弦长 l= 2 所以 0 截得的弦长的最小值为 2， 故答案为 2 点评： 求直线与圆相交的弦长问题，一般通过构造直角三角形，利用勾股定理求出弦长 16 （5 分）已知 x，yN *，且 1+2+3+4+y=1+9+92+9x1，当 x=2 时，y= 4 ；若把 y 表示成 x 的函数，其解析式是 y= 考点： 等比数列的前 n 项和；等差数列的前 n 项和407442 专题： 等差数列与等比数列 分析： 把 x=2 代入已知可得 =10，解之即可；由又求和公式可得 = ，解之可得答案 解答： 解：由题意可得 x=2 时，1+2+3+4+y=1+9， 故可得 =10，解得 y=4， 又由 1+2+3+4+y=1+9+92+9x1 可得 = ，即 y（y+1）= ， 故 y= ， 故答案为：4； 点评： 本题考查等差数列和等比数列的求和公式，属中档题 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （12 分）已知 ，设 0， ， ，若 f（x）图象中相邻的两条对称轴间的距 离等于 42 （1）求 的值； （2）在ABC 中，a ，b，c 分别为角 A，B ，C 的对边， 当 f（A） =1 时，求 b，c 的值 考点： 余弦定理；平面向量数量积的运算407442 专题： 三角函数的图像与性质；解三角形；平面向量及应用 分析： （1）由数量积的定义和三角函数的公式可得 f（x）= ，又可得 ，由周期公式可得； （2）由题意可得 ，由余弦定理和面积可得 b，c 的方程组，解之即可 解答： 解：（1） = = ， 又 ，解得 =1； （2）f （A）=1 ， ， 由 0A 得 ， 又 解得 或 点评： 本题考查平面向量数量积的运算，以及余弦定理的应用，属中档题 18 （12 分）在一次考试中共有 8 道选择题，每道选择题都有 4 个选项，其中有且只有一 个选项是正确的某考生有 4 道题已选对正确答案，其余题中有两道只能分别判断 2 个选 项是错误的，还有两道题因不理解题意只好乱猜 （）求该考生 8 道题全答对的概率； （）若评分标准规定：“每题只选一个选项，选对得 5 分，不选或选错得 0 分” ，求该考 生所得分数的分布列 考点： 相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列407442 专题： 应用题 分析： （）根据题意，该考生 8 道题全答对即另四道题也全答对，根据相互独立事件概 率的乘法公式，计算可得答案 （）根据题意，分析可得，该生答对题的个数可能为 4，5，6，7，8，分别求出其 概率，进而可得其分布列 43 解答： 解：（）根据题意，该考生 8 道题全答对即另四道题也全答对， 即相互独立事件同时发生，故其概率为：P= （5 分） （）根据题意，分析可得，该生答对题的个数可能为 4，5，6，7，8， 其概率分别为： P（=8）= 分布列为： （13 分） 点评： 本题考查相互独立事件概率的乘法公式与随机变量的分布列，两者经常一起考查， 平时要加强这方面的训练 19 （12 分）正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的底面边长是 ，侧棱长是 3，点 E、F 分别在 BB1、DD 1 上，且 AEA1B，AFA 1D （1）求证：A 1C面 AEF； （2）求截面 AEF 与底面 ABCD 所成二面角 的正切值 考点： 直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法407442 专题： 计算题；证明题；空间角 分析： （1）连接 A1C，证明 AEA1C，AFA 1C，利用直线与平面垂直的判定定理证明 A1C面 AEF； （2）如图说明NAO= 就是截面 AEF 与底面 ABCD 所成二面角 ，通过解三角形， 求出 AC，BE，即可求解 的正切值 解答： 证明：（1）连接 A1C 正四棱柱CB平面 ABB1A1CBAE 又 AEA1B AE平面 A1BCAEA1C 同理可得：AF A1C 44 A1C平面 AEF （2）AE A1BRtABA1RtABEABA1=BEA， 如图 EF 的中点为 N，AC 的中点为 O，连结 NO，则NAO= ， 又 底面边长是 ，侧棱长是 3 ， 得 ，BE=1 同理 DF=1 又 ， 点评： 本题考查直线与平面垂直的判定定理，二面角的求法，考查空间想象能力与计算能 力 20 （13 分）京广高铁于 2012 年 12 月 26 日全线开通运营，G808 次列车在平直的铁轨上 匀速行驶，由于遇到紧急情况，紧急刹车时列车行驶的路程 S（t） （单位：m ）和时间 t（单位：s）的关系为： （1）求从开始紧急刹车至列车完全停止所经过的时间； （2）求列车正常行驶的速度； （3）求紧急刹车后列车加速度绝对值的最大值 考点： 函数模型的选择与应用；导数的运算407442 专题： 导数的综合应用 分析： （1）利用导数求出列车的速度关于 t 的表达式，令 v（t ） =0 解出即可； （2）利用（1） ，令 t=0，解出即可； （3）因为加速度 a（t）=V （ t） ，利用导数求出即可 解答： 解：（1）紧急刹车后列车的速度 V（t ）=S（t） ， ， 当列车完全停止时 V（t）=0m/s， t24t60=0， 解得 t=10 或 t=6（舍去） 即从开始紧急刹车至列车完全停止所经过的时间为 10s （2）由（1）知，从开始紧急刹车至列车完全停止所经过的时间为 10 s， 45 又由列车的速度 火车正常行驶的速度当 t=0 时，V （0）=90m/s （3）紧急刹车后列车运行的加速度 a（t ）=V （t ） |a（t） |= |a（0）|最大， |a（t）| max=84m/s2 点评： 熟练掌握 v（t）=s （t） ，a（t）=v （t）是解题的关键 21 （13 分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点 M（1，2） ，它们在 x 轴上有共同焦点， 椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点 （1）求这三条曲线的方程； （2）对于抛物线上任意一点 Q，点 P（a ，0）都满足|PQ| |a|，求 a 的取值范围 考点： 圆锥曲线的共同特征；抛物线的简单性质407442 专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程 分析： （1）由题意求出平行方程，得到椭圆与双曲线的焦点坐标，求出椭圆与双曲线中 a，b，然后求椭圆与双曲线的方程； （2）设出抛物线上任意一点 Q 的坐标，点 P（a ，0）求出|PQ|，利用|PQ| |a|恒成立， 求 a 的取值范围 解答： 解：（1）设抛物线方程为 y2=2px（p0） ， 将 M（1，2）代入方程得 p=2 抛物线方程为：y 2=4x 由题意知椭圆、双曲线的焦点为 F（1，0） 1，F 2（1，0） ， c=1 对于椭圆， ， 所以椭圆方程为 对于双曲线， ， 所以双曲线方程为 （2）设 由|PQ|a|得 ， t2+168a0，t 28a16 恒成立 则 8a160，a 2 a（，2 点评： 本题考查圆锥曲线的共同特征，三种曲线的求法，两点间的距离公式的应用，考查 46 学生分析问题与解决问题的能力，考查转化思想 22 （13 分）已知二次函数 f（x）=x 2ax+a（xR）同时满足： 不等式 f（x） 0 的解集有且只有一个元素； 在定义域内存在 0x 1x 2，使得不等式 f（x 1）f（x 2）成立 设数列a n的前 n 项和 Sn=f（n） ， （1）求数列a n的通项公式； （2）数列b n中，令 ，T n= ，求 Tn； （3）设各项均不为零的数列c n中，所有满足 cici+10 的正整数 i 的个数称为这个数列 cn的变号数令 （n 为正整数） ，求数列c n的变号数 考点： 数列与函数的综合407442 专题： 综合题；等差数列与等比数列 分析： （1）由 f（x）0 的解集有且只有一个元素可知=a 24a=0，从而可求得 a 值，又定 义域内存在 0x 1x 2，使得不等式 f（x 1）f （x 2）成立，对 a 进行检验取舍，可 确定 a 值，利用 Sn 与 an 的关系即可求得 an （2）由（1）求得 bn，根据其结构特征利用错位相减法即可求得 Tn； （3）先求出 Cn，判断 n3 时数列的单调性，根据变号数的定义可得 n3 时的变号数， 根据 c1=3，c 2=5，c 3=3，可得此处变号数，从而可求得数列c n的变号数 解答： 解：（1）f （x） 0 的解集有且只有一个元素， =a24a=0a=0 或 a=4， 当 a=0 时，函数 f（x）=x 2 在（0，+）上递增， 故不存在 0x 1x 2，使得不等式 f（x 1）f （x 2）成立， 当 a=4 时，函数 f（x）=x 24x+4 在（0，2）上递减， 故存在 0x 1x 2，使得不等式 f（x 1）f （x 2）成立 综上，得 a=4，f（x）=x 24x+4， ， ； （2） = ， bn=n， ， ， 得，T n=2+22+2nn2n+1= n2n+1， ； 47 （3）由题设 n3 时， ， n3 时，数列c n递增， ，由 ， 可知 a4a50，即 n3 时，有且只有 1 个变号数； 又 c1=3，c 2=5，c 3=3， 即 c1c20，c 2c30， 此处变号数有 2 个 综上得 数列c n共有 3 个变号数，即变号数为 3； 点评： 本题考查数列与函数的综合，考查学生综合运用所学知识分析问题解决问题的能力， 考查学生解决新问题的能力，综合性强，难度大，对能力要求高 2013 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷） 数学（理科） 本试卷分第卷和第 II 卷（非选择题）两部分，第卷第 1 至第 2 页，第 II 卷第 3 至第 4 页。全卷满分 150 分，考试时间为 120 分钟。 参考公式： 如果事件 A 与 B 互斥，那么()()PP 如果事件 A 与 B 相互独立，那么 第卷（选择题 共 50 分） 48 一选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 （1） 设 是虚数单位， 是复数 的共轭复数，若 ，则 =i_z|()0Ixf+2ziA （A） （B）+1i （C） （D）1- （2） 如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是 （A） （B）6254 （C） （D）341 版权所有：高考资源网( ) （3）在下列命题中，不是公理的是 （A）平行于同一个平面的两个平面相互平行 （B）过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 （C）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上 所有的点都在此平面内 （D）如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么他们有且只有一条过该点的公共直线 （4） “是函数 在区间 内单调递增”的“0a()=-1fxa(0,+) （A） 充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （5）某班级有 50 名学生，其中有 30 名男生和 20 名女生，随机询问了该班五名男生和五 名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为 86,94,88,92,90，五名女生的成绩 分别为 88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是 （A）这种抽样方法是一种分层抽样 （B）这种抽样方法是一种系统抽样 （C）这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 （D）该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 （6）已知一元二次不等式 的解集为 ，则 的解集为()xf （A） （B）|lg2x或 |-1lg （C） （D ） （7）在极坐标系中，圆 的垂直于极轴的两条切线方程分别为=cosp （A） （B）=0()R和 =()cos=22R和 （C） （D）s12和 01和 （8）函数 的图像如图所示，在区间 上可找到()yfx,ab()n 49 个不同的数 使得 则 的取值范围是12,.,nx12()()=,nfxfxf （A） （B）34,34 （C） （D）,5 （9）在平面直角坐标系中， 是坐标原点，两定点 满足 则o,AB2,OAB 点集 所表示的区域的面积是,1,|POAR （A） （B ）223 （C） （D）44 （10）若函数 有极值点 ， ，且 ，则关于 的方程3()=+bfxc1x21()=fxx 的不同实根个数是213()0f （A）3 （B）4 （C） 5 （D）6 第卷（非选择题 共 100 分） 考生注意事项： 请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。 二.填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。把答案填在答题卡的相应位置。 （11）若 的展开式中 的系数为 7，则实数 _。 83ax4xa （12）设 的内角 所对边的长分别为 。若 ，则ABC, ,bc2a 则角 _.3sin5i, （13）已知直线 交抛物线 于 两点。若该抛物线上存在点 ，使得ya2yx,ABC 为直角，则 的取值范围为_。 （14）如图，互不相同的点 和 分别在角 O 的两条边上，12,nX 12,n 所有 相互平行，且所有梯形 的面积均相等。设 若nAB .nAa 则数列 的通项公式是_。12,ana （15）如图，正方体 的棱长为 1，P 为 BC1CDAB 的中点，Q 为线段 上的动点，过点 A,P,Q 的平面截该正方1 体所得的截面记为 S。则下列命题正确的是_（写出所 有正确命题的编号） 。 当 时，S 为四边形02 当 时，S 为等腰梯形1C 当 时，S 与 的交点 R 满足34Q1D13C 当 时，S 为六边形 当 时，S 的面积为C62 三.解答题：本大题共 6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解 答写在答题卡上的指定区域内。 50 （16） （本小题满分 12 分） 已知函数 的最小正周期为 。()4cosin(0)4fxx （）求 的值； （）讨论 在区间 上的单调性。f0,2 （17） （本小题满分 12 分） 设函数 ，其中 ，区间()(1)xax0a|()0Ixf （）求的长度（注：区间 的长度定义为 ） ；, （）给定常数 ，当时，求 长度的最小值。0,kl （18） （本小题满分 12 分） 设椭圆 的焦点在 轴上 22:1xyEax （）若椭圆 的焦距为 1，求椭圆 的方程；E （）设 分别是椭圆的左、右焦点， 为椭圆 上的第一象限内的点，直线 交1,FP2FP 轴与点 ，并且 ，证明：当 变化时，点 在某定直线上。yQPap （19） （本小题满分 13 分） 如图，圆锥顶点为 。底面圆心为 ，其母线与底面所成的角为 22.5。 和 是底poABCD 面圆 上的两条平行的弦，轴 与平面 所成的角为 60，OOCD （）证明：平面 与平面 的交线平行于底面；PABCD （）求 。cosO （20） （本小题满分 13 分） 设函数 ，证明： 22()1(,)3nnnxxfxRN （）对每个 ，存在唯一的 ，满足 ；nN1n(0nfx （）对任意 ，由（）中 构成的数列 满足 。px1np （21） （本小题满分 13 分） 某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张 老师负责，已知该系共有 位学生，每次活动均需该系 位学生参加（ 和 都是固定的nkk 正整数） 。假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系 位学生， 且所发信息都能收到。记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为 x （）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率； （）求使 取得最大值的整数 。()PXmm 51 52 53 54 绝密启用前 2013 年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷) 数学(理科) 第卷（选择题 共 50 分） 一、选择题：本大题共 10 小题。每小题 5 分，共 50 分。在每个小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1.设集合 M=1，2，zi,i 为虚数单位，N=3，4 ，MN=4 ，则复数 z= （ ） A. -2i B. 2i C. -4i D.4i 2.函数 y= ln（1-x）的定义域为 （ ） A.(0,1) B.0,1) C.(0,1 D.0,1 3.等比数列 x，3x+3，6x+6，的的第四项等于 （ ） A.-24 B.0 C.12 D.24 4.总体由编号为 01，02，19，20 的 20 个个体组成.利用下面的随机数表选取 5 个个体，选取方法从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右一次选 取两个数字，则选出来的第 5 个个体的编号为 （ ） 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4934 8200 3623 4869 6938 7481 A.08 B.07 C.02 D.01 5.（x 2- ） 5展开式中的常数项为 （ ） A80 B.-80 C.40 D.- 40 6.若 ，则 s1,s2,s3 的大小关系为 A. s1s 2s 3 B. s2s 1s 3 C. s2s 3s 1 D. s3s 2 s1 7.阅读如下程序框图，如果输出 i=5，那么在空白矩形框中应填入的语句为 A.S=2i-2 B.S=2i-1 C.S=2I D.S=2i+4 8.如果，正方体的底面与正四面体的底面 在同一平面 上，且 AB/CD，正方体的 六个面所在的平面与直线