高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 2.1 函数及其表示课件(理).ppt

第二章函数 导数及其应用第一节函数及其表示 知识梳理 1 函数与映射的概念 非空数集 非空集合 任意 唯一确定 任意 唯 一确定 2 函数的三要素函数由 和 三个要素构成 对函数y f x x A 其中 定义域 自变量x的取值范围 值域 函数值的集合 定义域 对应法则 值域 f x x A 3 函数的表示法表示函数的常用方法有 4 分段函数若函数在定义域的不同子集上 因 不同而分别用几个不同的式子来表示 这种函数称为分段函数 解析法 列表法 图象法 对应关系 特别提醒 1 判断函数相同的依据 1 两个函数的定义域相同 2 对应关系相同 2 分段函数的相关结论 1 分段函数虽由几个部分组成 但它表示的是一个函数 2 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集 值域等于各段函数的值域的并集 3 判断函数图象的常用结论与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点 小题快练 链接教材练一练1 必修1P17例1 1 改编 函数f x 的定义域为 A 0 2 B 2 C 0 2 2 D 2 2 解析 选C 由题意得解得x 0且x 2 2 必修1P23T2改编 如图是张大爷晨练时离家距离 y 与行走时间 x 之间的函数关系的图象 若用黑点表示张大爷家的位置 则张大爷散步行走的路线可能是 解析 选D 由y与x的关系知 在中间时间段y值不变 只有D符合题意 感悟考题试一试3 2015 陕西高考 设f x 则f f 2 解析 选C f x 则f f 2 f 2 2 4 2016 昆明模拟 函数f x 的定义域是 0 3 则函数的定义域是 解析 由题意可得解得答案 5 2015 全国卷 已知函数f x ax3 2x的图象过点 1 4 则a 解析 由f 1 a 2 4 a 2 答案 2 考向一求函数的定义域 典例1 1 2015 湖北高考 函数f x 的定义域为 A 2 3 B 2 4 C 2 3 3 4 D 1 3 3 6 2 若函数f x2 1 的定义域为 0 3 则函数f x 的定义域为 解题导引 1 根据根式 分式的意义及对数函数的性质构建不等关系求解 2 根据复合函数的定义域求法求解 规范解答 1 选C 由函数y f x 的表达式可知 函数的定义域应满足条件 4 x 0 解得 4 x 4 x 3或2 x 3 即函数f x 的定义域为 2 3 3 4 2 因为0 x 3 所以 1 x2 1 8 所以f x 的定义域为 1 8 答案 1 8 规律方法 函数定义域的求解策略 1 已知函数解析式 构造使解析式有意义的不等式 组 求解 2 实际问题 由实际意义及使解析式有意义构成的不等式 组 求解 3 抽象函数 若已知函数f x 的定义域为 a b 其复合函数f g x 的定义域由不等式a g x b求出 若已知函数f g x 的定义域为 a b 则f x 的定义域为g x 在x a b 时的值域 易错提醒 1 不要对解析式进行化简变形 以免定义域发生变化 2 定义域是一个集合 要用集合或区间表示 若用区间表示 不能用 或 连接 而应该用并集符号 连接 变式训练 1 2016 长沙模拟 函数的定义域为 A x x 0 B x x 1 C x x 1或x 0 D x 0 x 1 解析 选B 要使函数有意义 应满足所以故x 1 2 2016 临川模拟 已知函数y f x 1 的定义域是 2 3 则y f 2x 1 的定义域是 A 3 7 B 1 4 C 5 5 D 解析 选D 由x 2 3 得x 1 1 4 由2x 1 1 4 解得 加固训练 1 函数的定义域为 A 1 B 1 2 C 2 D 1 2 解析 选B 由log0 5 x 1 0 得0 x 1 1 所以1 x 2 所以定义域为 1 2 2 设函数f x 的定义域为M 函数g x ln 1 x 的定义域为N 则 A M N 1 1 B M N RC 1 D 1 解析 选C 由题意可知1 x 0 解得x0 解得x 1 所以N 1 所以M N 1 1 A B错 1 C正确 1 D错 3 函数f x 的定义域为 解析 要使函数f x 有意义 必须使解得所以函数f x 的定义域为答案 考向二求函数的解析式 典例2 1 已知则f x 2 函数f x 满足方程2f x 2x x R且x 0 则f x 解题导引 1 利用换元法 即设求解 2 利用解方程组法 将x换成求解 规范解答 1 设t 1 则x t 1 2 t 1 代入原式有f t t 1 2 2 t 1 t2 2t 1 2t 2 t2 1 故f x x2 1 x 1 答案 x2 1 x 1 一题多解 因为所以即f x x2 1 x 1 答案 x2 1 x 1 2 因为2f x 2x 将x换成 则换成x 得 f x 由 消去得3f x 所以f x x R且x 0 答案 x R且x 0 母题变式 1 若本例题 2 条件变为2f x f x 2x 求f x 解析 因为2f x f x 2x 将x换成 x得2f x f x 2x 由 消去f x 得3f x 6x 所以f x 2x 2 若本例题 2 条件变为f x 是一次函数 且2f x f x 1 2x 求f x 解析 因为f x 是一次函数 所以设f x kx b k 0 由2f x f x 1 2x得 2 kx b k x 1 b 2x 即3kx k 3b 2x 因此解得所以f x 易错警示 解答本例题 1 会出现以下错误 题目利用换元法求解析式 易忽视换元后t的取值范围 从而造成求出的函数定义域扩大而致误 规律方法 求函数解析式常用的四种方法 1 配凑法 由已知条件f g x F x 可将F x 改写成关于g x 的解析式 然后以x替代g x 便得f x 的解析式 2 待定系数法 若已知函数的类型 如一次函数 二次函数 可用待定系数法 3 换元法 已知复合函数f g x 的解析式 可用换元法 此时要注意新元的取值范围 4 解方程组法 已知关于f x 与或f x 的解析式 可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组 通过解方程组求出f x 变式训练 已知 lgx 则f x 解析 令得代入得f t 又因为x 0 所以t 1 故f x 的解析式是f x 答案 加固训练 1 已知则f x 解析 因为且 2或 2 所以f x x2 2 x 2或x 2 答案 x2 2 x 2或x 2 2 已知函数f x 的定义域为 0 且f x 则f x 解析 在f x 中 用代替x 得将代入f x 中 可求得f x 答案 考向三分段函数的应用 考情快递 考题例析 命题方向1 分段函数的求值问题 典例3 2015 全国卷 设函数f x f 2 f log212 A 3B 6C 9D 12 本题源自A版必修1P45B组T4 解题导引 直接代入相应解析式求解即可 规范解答 选C 由已知得f 2 1 log24 3 又log212 1 所以f log212 故f 2 f log212 9 命题方向2 分段函数的方程 不等式问题 典例4 2016 保定模拟 设函数f x 若f 2 f 0 f 1 3 则方程f x x的解集为 解题导引 由条件f 2 f 0 及f 1 3求出f x 的解析式 但在解方程f x x时应分x 0和x 0两种情况讨论 规范解答 当x 0时 f x x2 bx c 因为f 2 f 0 f 1 3 所以解得故f x 当x 0时 由f x x 得x2 2x 2 x 解得x 2或x 1 1 0 舍去 当x 0时 由f x x 得x 2 所以方程f x x的解集为 2 2 答案 2 2 技法感悟 1 分段函数的求值问题的解题思路 1 求函数值 先确定要求值的自变量属于哪一段区间 然后代入该段的解析式求值 当出现f f a 的形式时 应从内到外依次求值 2 求自变量的值 先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上 然后求出相应自变量的值 切记要代入检验 2 分段函数的方程 不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解 最后将讨论结果并起来 题组通关 1 2015 山东高考 设函数f x 若则b 解析 选D 当即时 得当即时 解得舍去 故注 本题也可以将逐一代入验算 2 2015 全国卷 已知函数f x 且f a 3 则f 6 a 解析 选A 若a 1 则2a 1 2 3 整理得2a 1 1 由于2x 0 所以2a 1 1无解 若a 1 则 log2 a 1 3 解得a 7 所以f 6 a f 1 2 2 2 3 2016 郑州模拟 已知函数f x 若f a f a 0 则实数a的取值范围是 A 1 1 B 2 0 C 0 2 D 2 2 解析 选D 依题意可知或解得a 2 2 4 2016 唐山模拟 设函数f x 若f x0 1 则x0的取值范围是 解析 依题意得或解得03 答案 0 2 3